江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题（80）

用心 爱心 专心1 江苏省江苏省 20122012 届高三数学二轮专题训练 解答题 届高三数学二轮专题训练 解答题 8080 本大题共本大题共 6 6 小题 小题 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1 本题满分 14 分 已知函数 2sin f xx 0 22 的图像如图所示 直线 3 8 x 7 8 x 是其两条对称轴 1 求函数 f x的解析式 2 若 6 5 f 且 3 88 求 8 f 的值 2 本题满分 14 分 设函数 2 2 cos 1 lnf xxakx k N N a R R 1 若2011k 1a 求函数 f x的最小值 2 若k是偶数 求函数 f x的单调区间 3 本题满分 15 分 ABC 中 A B C所对的边为a b c 已知 2cos 3sin mAA cos 2cos nAA 1m n 1 若2 3a 2c 求ABC 的面积S的大小 2 求 2 cos 60 bc aC 的值 用心 爱心 专心2 4 本题满分 15 分 某厂家拟在 2011 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 x万件与年促销费用0 m m 万元满足3 1 k x m k为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量是 1 万件 已知 2011 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每生产 1 万 件该产品需要再投入 16 万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 不包括促销费用 1 将 2011 年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数 2 该厂家 2011 年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 5 本题满分 16 分 已知函数 2 lnf xxax 2g xbxx 其中a bR 且2ab 函数 f x在 1 1 4 上是减函数 函数 g x在 1 1 4 上是增函数 1 求函数 f x g x的表达式 2 若不等式 f xmg x 对 1 1 4 x 恒成立 求实数m的取值范围 3 求函数 1 2 h xf xg xx 的最小值 并证明当 nN 2n 时 3f ng n 资 源 网 用心 爱心 专心3 6 本题满分 16 分 设数列 n a n b满足 1 4a 2 5 2 a 1 2 nn n ab a 1 2 nn n nn a b b ab 1 证明 2 n a 02 n b nN 2 设 3 2 log 2 n n n a c a 求数列 n c的通项公式 3 设数列 n a的前n项和为 n S 数列 n b的前n项和为 n T 数列 nn a b的前n项和为 n P 求证 8 3 nnn STP 2n 用心 爱心 专心4 1 本题满分 14 分 已知函数 2sin f xx 0 22 的图像如图所示 直线 3 8 x 7 8 x 是其两条对称轴 1 求函数 f x的解析式 2 若 6 5 f 且 3 88 求 8 f 的值 解 1 由题意 T T 2 7 8 3 8 2 又 0 故 2 f x 2sin 2x 2 2 分分 由f 2sin 2 解得 2k k Z Z 3 8 3 4 4 又 f x 2sin 2x 5 5 分分 2 2 4 4 由 2k 2x 2k k Z Z 知k x k k Z Z 2 4 2 8 3 8 函数f x 的单调增区间为 k k k Z Z 7 7 分分 8 3 8 2 解法 1 依题意得 2sin 2 即 sin 2 8 8 分分 4 6 5 4 3 5 0 2 8 3 8 4 2 cos 2 10 10 分分 4 1 sin2 2 4 1 3 5 2 4 5 f 2sin 2 8 4 4 sin 2 sin 2 cos cos 2 sin 4 4 4 4 4 4 2 2 3 5 4 5 7 2 10 f 14 14 分分 8 7 2 5 解法 2 依题意得 sin 2 得 sin2 cos2 9 9 分分 4 3 5 3 2 5 0 2 8 3 8 4 2 cos 11 11 分分 4 1 sin2 2 4 1 3 5 2 4 5 由 cos 2 得 sin2 cos2 4 4 5 4 2 5 用心 爱心 专心5 得 2sin2 7 2 5 f 14 分 8 7 2 5 解法 3 由 sin 2 得 sin2 cos2 9 9 分分 4 3 5 3 2 5 两边平方得 1 sin4 sin4 18 25 7 25 4 8 3 8 2 3 2 cos4 11 11 分分 1 sin24 24 25 sin22 又 2 sin2 1 cos4 2 49 50 4 3 4 7 2 10 f 14 14 分分 8 7 2 5 2 本题满分 14 分 设函数 2 2 cos 1 lnf xxakx k N N a R R 1 若2011k 1a 求函数 f x的最小值 2 若k是偶数 求函数 f x的单调区间 解 1 因为2011k 1a 所以 2 2lnf xxx 2 21 22 x fxx xx 0 x 由 0fx 得1x 且当1x 时 0fx f x在 1 上是增函数 当1x 时 0fx f x在 0 1 上是减函数 故 min 1 1f xf 5 5 分 分 2 当k是偶数时 2 2 lnf xxax 2 2 22 axa fxx xx 所以当0a 时 0fx f x在 0 上是增函数 9 9 分 分 当0a 时 由 0fx 得xa 且当xa 时 0fx 当xa 时 0fx 所以 f x在 0 a 上是减函数 f x在 a 上是增函数 1313 分 分 综上可得当0a 时 f x的增区间为 0 当0a 时 f x的减区间为 0 a 增区间为 a 1414 分 分 3 本题满分 15 分 用心 爱心 专心6 ABC 中 A B C所对的边为a b c 已知 2cos 3sin mAA cos 2cos nAA 1m n 1 若2 3a 2c 求ABC 的面积S的大小 2 求 2 cos 60 bc aC 的值 1 由 2 2cos2 3sincos1AAA 可知 sin 21 6 A 4 4 分 分 因为0A 所以 11 2 666 A 所以2 62 A 即 3 A 6 6 分 分 由正弦定理可知 sinsin ac AC 所以 1 sin 2 C 因为 2 0 3 C 所以 6 C 所以 2 B 8 8 分 分 所以 1 2 2 32 3 2 ABC S A A 1010 分 分 2 原式 0 sin2sin sincos 60 BC AC 0 sin2sin 3 cos 60 2 BC C 0 0 sin 120 2sin 3 cos 60 2 CC C 0 33 cossin 22 3 cos 60 2 CC C 0 0 3cos 60 3 cos 60 2 C C 2 1414 分 分 4 本题满分 15 分 某厂家拟在 2011 年举行促销活动 经调查测算 该产品的年销售量 即该厂的年产量 x万件与年促销费用0 m m 万元满足3 1 k x m k为常数 如果不搞促销活动 则该产品的年销售量是 1 万件 已知 2011 年生产该产品的固定投入为 8 万元 每生产 1 万 件该产品需要再投入 16 万元 厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1 5 倍 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金 不包括促销费用 1 将 2011 年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数 2 该厂家 2011 年的促销费用投入多少万元时 厂家的利润最大 解 1 由题意可知 当0 m时 1 x 13k 即2 k 用心 爱心 专心7 2 3 1 x m 每件产品的销售价格为 8 16 1 5 x x 元 2009 年的利润 168 168 5 1 mx x x xy m m mx 1 2 3 8484 0 29 1 1 16 mm m 8 8 分 分 2 0m 时 16 1 2 168 1 m m 82921y 当且仅当 16 1 1 m m 即3m 时 max 21y 1515 分 分 答 该厂家 2011 年的促销费用投入 3 万元时 厂家的利润最大 最大为 21 万元 1616 分 分 5 本题满分 16 分 已知函数 2 lnf xxax 2g xbxx 其中a bR 且2ab 函数 f x在 1 1 4 上是减函数 函数 g x在 1 1 4 上是增函数 1 求函数 f x g x的表达式 2 若不等式 f xmg x 对 1 1 4 x 恒成立 求实数m的取值范围 3 求函数 1 2 h xf xg xx 的最小值 并证明当 nN 2n 时 3f ng n 解 1 20 a fxx x 对任意的 1 1 4 x 恒成立 所以 2 2ax 所以2a 同理可得1b 2ab 2 1 ab 2 2ln 2f xxx g xxx 4 4 分 分 2 1 10f 17 0 44 g 且函数 f x在 1 1 4 上是减函数 函数 g x在 1 1 4 上是增函数 所以 1 1 4 x 时 0f x 0g x f x m g x 6 6 分 分 有条件得 2 min 1 12ln11 1 2112 f xf g xg 1 2 m 8 8 分 分 3 111 2 1 2 h xx xx 2 1 1 1 1 2 xxx x xx 当0 x 时 用心 爱心 专心8 2 1 1 1 0 2 xxx xx 当 0 1x 时 0 h x 当 1 x 时 0h x h x在 0 1x 递减 在 1 x 递增 1212 分 分 当2n 时 272ln2232ln4223h nh 3h n 所以 nN 2n 时 33 2 n f ng n 成立 1616 分 分 6 本题满分 16 分 设数列 n a n b满足 1 4a 2 5 2 a 1 2 nn n ab a 1 2 nn n nn a b b ab 1 证明 2 n a 02 n b nN 2 设 3 2 log 2 n n n a c a 求数列 n c的通项公式 3 设数列 n a的前n项和为 n S 数列 n b的前n项和为 n T 数列 nn a b的前n项和为 n P 求证 8 3 nnn STP 2n 1 1 2 nn n ab a 1 2 nn n nn a b b ab 两式相乘得 11nnnn a bab nn a b 为常数列 1 1 4 nn a bab 2 2 分 分 4 n n b a 1 14 2 2 nn n aa a 02 n b 若2 n a 则 1 2 n a 从而可得 n a为常数列与 1 4a 矛盾 4 4 分 分 2 3 2 log 2 n n n a c a 2 1 13333 1 12 2 2222 logloglog2log2 12 222 2 2 n nnnn nn nnn n n a aaaa cc aaa a a 又因为 1 1c n c 为等比数列 1 2n n c 8 8 分 分 用心 爱心 专心9 3 由 1 2n n c 可以知道 1 111 2 222 3124 22 12 313131 n nnn n a 令 1 2 4 31 n n d 数列 n d的前n项和为 n D 很显然只要证明 8 3 n D 2n 2 2 2314 n n 因为 1 2 4 31 n n d 22 2