中考中圆的压轴试题

圆的压轴题 1 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD O 为内切圆 E 为切点 1 求AOD 的度数 2 若8 AOcm 6 DOcm 求 OE 的长 2 如图 在ABC 中90ACB D是AB的中点 以DC为直径的OA交 ABC 的三边 交点分别是GFE 点 GECD 的交点为M 且4 6ME 2 5MD CO 1 求证 GEFA 2 求OA的直径CD的长 3 若cos0 6B 以C为坐标原点 CACB 所在的直线分别为X轴和Y轴 建立 平面直角坐标系 求直线AB的函数表达式 3 如图 已知 O 的半径为 2 以 O 的弦 AB 为直径作 M 点 C 是 O 优弧上的 A AB 一个动点 不与点 A 点 B 重合 连结 AC BC 分别与 M 相交于点 D 点 E 连结 DE 若 AB 2 3 1 求 C 的度数 2 求 DE 的长 3 如果记 tan ABC y x 0 x0 求 sin CAB n CD CF 25 如图 点 A B C D 是直径为 AB 的 O 上四个点 C 是 劣弧的中点 AC 交 BD 于点 E AE 2 EC 1 A BD 1 求证 3 分 DEC ADC A B Q P R O 第 27 题 A B Q O P N M 2 试探究四边形 ABCD 是否是梯形 若是 请你给予 证明并求出它的面积 若不是 请说明理由 4 分 3 延长 AB 到 H 使 BH OB 求证 CH 是 O 的切线 3 分 26 如图 BC 是 O 的直径 点 A 在圆上 且 AB AC 4 P 为 AB 上一点 过 P 作 PE AB 分别 BC OA 于 E F 1 设 AP 1 求 OEF 的面积 2 设 AP a 0 a 2 APF OEF 的面积分别记为 S1 S2 若 S1 S2 求 a 的值 若 S S1 S2 是否存在一个实数 a 使 S 15 3 若存在 求出一个 a 的值 若不存在 说明理由 27 15 分 如图 已知 和 相交于 两点 O OAB 过点作 的切线交 于点 过点作两圆的割线分别交 于 A OOCBO OE 与相交于点 1 求证 2 求证 FEFACPPFPCPEPA 3 当 与 为等圆时 且时 求 PB PF PC PE 2 2 O O5 4 3 EPCEPC 与的面积的比值 PEC FAP 28 本小题满分 9 分 如图 在中 以为直径的圆交于点 交于点 ABC ABAC ABOBCDACE 过点作 垂足为 DDFAC F 1 求证 为的切线 DFOA 2 若过点且与平行的直线交的延长线于点 连结 当是等边ABCBEGCGABC 三角形时 求的度数 AGC 29 图 在 Rt ABC 中 ACB 90 以 AC 为直 A G F E CB O 第 23 题 径的 O 与 AB 边交于点 D 过点 D 作 O 的切线 交 BC 于点 E 1 求证 点 E 是边 BC 的中点 2 若 EC 3 BD 求 O 的直径 AC 的长度 62 3 若以点 O D E C 为顶点的四边形是正方形 试判断 ABC 的形状 并说明理由 30 本小题10分 如图 AD是圆O的直径 BC切圆O于点D AB AC与圆O相交于点E F 1 求证 ACAFABAE 2 如果将图 中的直线BC向上平移与圆O相交得图 或向下平移得图 此时 是否仍成立 若成立 请证明 若不成立 说明理由 ACAFABAE 31 12 分 已知内接于以为直径的 过点作的切线交的延长ABC ABOACOABA 线于点 且 D 1 2DA AB 1 求的度数 CDB 2 在切线上截取 连结 判断直线与的位置关系 并证明 DCCECD EBEBOA 3 利用图中已标明的字母 连结线段 找出至少对相似三角形 不包含全等 不需要5 证明 多写者给附加分 附加分不超过 3 分 计入总分 但总分不超过 120 分 D C E B OA 第 26 题 32 如图 为圆的切线 为切点 为割线 的平分线交于点 PAAPBCAPC ABD 交于点 ACE 求证 1 2 ADAE AB AEAC DB AA 33 如图的内接中 外角的角平分线与相交于点 OAABC ACF OAD 垂足为 垂足为 DPAC PDHBF H 问 1 与是否相等 为什么 PDC HDC 2 图中有哪几组相等的线段 3 当满足什么条件时 为什么 ABC CPDCBA 34 如图 以为圆心的两个同心圆中 大圆的直径交小圆于两点 大圆的弦OADMN图 切小圆于点 过点作直线 垂足为 交大圆于两点 ABCCCEAD EFH图 1 试判断线段与的大小关系 并说明理由 ACBC 2 求证 FC CHAE AO AA 3 若是方程的两根 求图中阴影部分图形FCCH图 2 2 540 xx CHCF 的周长 A P B C E D A B H F D O P C A B C D E ON H M F 35 如图 13 已知是的直径 弦于 是上的一点 且ABOACDAB EFCE 延长交于 连结 FCFA AFOAGCG 1 试判断的形状 按边分类 并证明你的结论 ACG 2 若的半径为 求之值 OA52OE CF CDA 36 本题满分 8 分 如图 四点在上 的延长线相交于点 直径为 8 ABDE图图图OAAEBD图CAE 12OC EDCBAO 1 求证 2 计算的值 并指出的取值范围 CDCE ACCB CD CBACB 37 已知为直径 是直径上一动点 不与点重合 过点作直线BCOADBCBOC图图D 交于两点 是上一点 不与点重合 且 直线AHBC OAAH图FOABC图 AA ABAF 交直线于点 BFAHE 1 如图 当点在线段上时 试判断与的大小关系 并证明你的结论 aDBOAEBE 2 当点在线段上 且时 其它条件不变 DOCODDC 请你在图 中画出符合要求的图形 并参照图 标记字母 ba 判断 1 中的结论是否还成立 请说明理由 图 13 O C E D B A A O C D B 图 a H E F O CB 图 b 第 27 题图 38 本题满分 11 分 已知 AB 是 O 的直径 点 C 是 O 的交点 点 E 是 AC 上一点 AB 2 1 如图 10 1 点 D 是 BC 的中点 当 DE 也 AC 满足什么关系时 DE 是 O 的切线 请 说明理由 2 如图 10 2 AC 是 O 的切线 点 E 是 AC 的中点 DE AB 求的值 求阴影部分的面积 ADAB ADAB 39 如图 ABC 内接于 O 且 ABC C 点 D 在上运动 过点 D 作 DE BC A BC DE 交直线 AB 于点 E 连结 BD 1 求证 ADB E 2 求证 AD2 AC AE 3 当点 D 运动到什么位置时 DBE ADE 请你利用图 进行探索和证明 40 12 分 如图 已知点为斜边上一点 以为圆心 为半径的圆ORtABC ABOOA 与相切于点 与相交于点 BCDABE 1 试判断是否平分 并说明理由 ADBAC 2 若 求的半径 33BDBECD OA 41 本题满分 10 分 A C B E D O A C B E D O 第 27 题图 A B C D E O 如图 已知 C 是以 AB 为直径的半圆 O 上一点 CH AB 于点 H 直线 AC 与过 B 点的切线相交于点 D E 为 CH 中点 连接 AE 并延长交 BD 于点 F 直线 CF 交直线 AB 于点 G 1 求证 点 F 是 BD 中点 2 求证 CG 是 O 的切线 3 若 FB FE 2 求 O 的半径 42 10 分 如图 从 O 外一点 A 作 O 的切线 AB AC 切点分别为 B C 且 O 直经 BD 6 连结 CD AO 1 求证 CD AO 3 分 2 设 CD x AO y 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范 围 3 分 3 若 AO CD 11 求 AB 的长 4 分 43 本题满分 8 分 如图 分别是的直径和弦 ABAC图OA 点为劣弧上一点 弦分别交于点 D A ACEDOAE 交于点 交于ABHAC 点 过点的切线交的延长线于点 FCEDP 1 若 求证 PCPF ABED 2 点在劣弧的什么位置时 D A AC 才能使 为什么 2 ADDE DF 44 8 分 如图 为的直径 交于 BDOAABAC ADBCE 2AE 4ED 1 求证 并求的长 ABEADB AB 2 延长到 使 连接 那么直线与相切吗 为什么 DBFBFBO FAFAOA P C D A E H O B F F A C E B O D 45 如图 以为直径的半圆上有一点 过点作半圆的切线交的延长线于点ABOCABC D 1 求证 ADCBDA 2 过点作的平行线分别交 于 两点 若 OACOFBCEF32 BC 求 的长 1 EF 46 如图 在中 为的中点 以为圆心 为半径的ABC ABACO 图ABOOB 圆交于点 过作 垂足为 我们可以证得是的切线 BCDDDEAC EDEOA 1 若点沿向点移动 以为圆心 为半径的圆仍交于点 OABBOOBBCD 垂足为 不变 如图 那么与有什么位置关系 请DEAC EABAC DEOA 写出你的结论并证明 2 在 1 的条件下 若与相切于点 交于点 如图 已知OAACFABG 的半径长为 3 求的长 OA1CE AF 47 9 分 如图 在 ABC 中 C 900 以 BC 上一点 O 为圆心 以 OB 为半径的 圆交 AB 于点 M 交 BC 于点 N 1 求证 BA BM BC BN 2 如果 CM 是 O 的切线 N 为 OC 的中点 当 AC 3 时 求 AB 的值 A B A C O M N 第 22 题图 BC A B D E F O C 第 20 题图 AC A BD C E O 图 A BD C E O 图 A BD C E O 图 G F 第 22 题图 48 本题 9 分 如图 1 已知中 过点作RtABC 30CAB 5BC A 且 连接交于点 AEAB 15AE BEACP 1 求的长 PA 2 以点为圆心 为半径作 试判断与是否相切 并说明理由 AAPAABEAA 3 如图 2 过点作 垂足为 以点为圆心 为半径作 以点CCDAE DArAA 为圆心 为半径作 若和的大小是可变化的 并且在变化过程中保持和CRCArRAA 相切 且使点在的内部 点在的外部 求和的变化范围 CADAABAArR 49 9 分 如图 为的直径 分别和相切于点 点为ABOAACBDOAABE 圆上不与 重合的点 过点作的切线分别交 于点 连结ABEOAACBDCD 分别交 于点 OCODAEBEMN 1 若 求的半径及弦的长 4AC 9BD OAAE 2 当点在上运动时 试判定四边形的形状 并给出证明 EOAOMEN AB C P EE AB C P 27 题图 图 1图 2 A C E M O N B D 50 本小题满分 10 分 如图 O 是等腰三角形 ABC 的外接圆 AB AC 延长 BC 至点 D 使 CD AC 连接 AD 交 O 与点 E 连接 BE CE 与 AC 交于点 F 1 求证 ABE CDE 2 若 AE 6 DE 9 求 EF 的长 51 如图 已知 AB 是 O 的直径 直线 l 与 O 相切于点 C 且 弦 CD 交 AB 于 E BF l 垂足为 F BF 交 O 于 G 1 求证 CE2 FG FB 2 若 tan CBF AE 3 求 O 的直径 2 1 52 12 分 已知内接于以为直径的 过点作的切线交的延长ABC ABOACOABA 线于点 且 D 1 2DA AB 1 求的度数 CDB 2 在切线上截取 连结 判断直线与的位置关系 并证明 DCCECD EBEBOA 3 利用图中已标明的字母 连结线段 找出至少对相似三角形 不包含全等 不需要5 证明 多写者给附加分 附加分不超过 3 分 计入总分 但总分不超过 120 分 53 本题 10 分 如图 已知等边 以边为直径的半圆与边分别交ABC BCABAC图 于点 点 过点作 垂足为点 DEDDFAC F 1 判断与的位置关系 并证明你的结论 DFOA A B C O E F D 第 27 题图 D C E B OA 第 26 题 A C G F H D O E B m 2 过点作 垂足为点 若等边的边长为 4 求的长 结FFHBC HABC FH 果保留根号 54 如图 点是已知线段上一点 以为半径的交线段于点 以线段OABOAOAABC 为直径的圆与的一个交点为 过点作的垂线交的延长线于点 OBOADAABBDM 1 求证 是的切线 BDOA 2 若的长度是关于的方程的两个根 求的半径 BCBD图x 2 680 xx OA 3 在上述条件下 求线段的长 MD 55 如图 O 的直径 BC 4 过点 C 作 O 的切线 m D 是直线 m 上一点 且 DC 2 A 是线段 BO 上一动点 连接 AD 交 O 于点 G 过点 A 作 AD 的垂线交直线 M 于点 F 交 O 于点 H 连接 GH 交 BC 于点 E 1 当 A 是 BO 的中点时 求 AF 的长 2 若 AGH AFD 求 AGH 的面积 A D B O H C E F 第 22 题 A O B D C M 1 本小题满分 8 分 解 AB CD 180ADCBAD 1 分 O 内切于梯形ABCD AO平分BAD 有BADDAO 2 1 DO平分ADC 有ADCADO 2 1 90 2 1 ADCBADADODAO 90 180ADODAOAOD 4 分 在 Rt AOD中 8 AOcm 6 DOcm 由勾股定理 得10 22 DOAOADcm 5 分 E为切点 ADOE 有 90AEO 6 分 AODAEO 又OAD 为公共角 AEO AOD 7 分 AD AO OD OE 8 4 AD ODAO OEcm 8 分 2 9 分 1 连接DF CD 是圆直径 90CFD 即DFBC 90ACB DFAC 1 分 BDFA 在OA中BDFGEF GEFA 2 分 AB DC E O 2 D 是RtABC 斜边AB的中点 DCDA DCAA 又由 1 知GEFA DCAGEF 又OMEEMC OME 与EMC 相似 3 分 OMME MEMC 2 MEOMMC 4 分 又4 6ME 2 4 6 96OMMC 2 5MD CO 3 2OM MD 3 8OM MC 5 分 设3OMx 8MCx 3896xx 2x 直径1020CDx 6 分 3 RtABC 斜边上中线20CD 40AB 在RtABC 中cos0 6 BC B AB 24BC 32AC 7 分 设直线AB的函数表达式为ykxb 根据题意得 32 0 A 0 24 B 024 320 kb kb 解得 3 4 24 k b 直线AB的函数解析式为 3 24 4 yx 其他方法参照评分 9 分 3 解 1 连结 OBOM 则在中 RtOMB 2OB 3MB 1OM 1 2 OMOB 30OBM 60MOB 连结 则 OA120AOB 3 分 1 60 2 CAOB 或 延长与相交于点 连结 BOOAFAF 则有 且 ACBAFB 90FAB 在中 RtABF 2BO 22 24BFBO 又 2 33 sin 42 AB AFB BF E A D G B F C O M 第 25 题图 C E B M A D O 60AFB AFBACB 60C 2 在和中 CDE CBA CDECBA ECDACB CDECBA DEDC ABBC 连结 则 BD90BDCADB 在中 RtBCD 60BCD 30CBD 2BCDC 即 1 2 DC BC 1 2 DE AB 3 分 11 2 33 22 DEAB 或 点在上移动 恒为 长始终不变 当点移动到延长线 C A ABC 60 DECBO 与交点处时 可求得 OA 1 sin302 33 2 DEAB A 3 连结 AE 是的直径 AB MA90AEBAEC 由 可得 AD x DC ADx DC A 1 ACADDCxDC A 在中 RtACE cos CE ACE AC sin AE ACE AC 1 cos 1 cos60 1 2 CEACACExDCxDC AAAA 3 sin 1 sin60 1 2 AEACACExDCxDC AAAA 又由 2 知 2BCDC 3 分 11 2 1 3 22 BEBCCEDCxDCx DC AA 在中 RtABE 3 1 3 1 2 tan 1 3 3 2 xDC AEx ABC BEx x DC A A 1 分 3 1 03 3 x yx x 或 由 2 知 CDECBA DCCEDE BCACAB 又由 2 知 1 2 DE AB 2BCDC 1 2 CEAC 连结 在中 由勾股定理 得AERtACE 2 222 13 24 AEACCEACACAC 又 即 AD x DC 1 11 ADxACx DCDC 而 3 2 tan 1 2 2 AC AEAE yABE BEBCCE DCAC 3 33 1 3 1 2 03 11 413 241 21 xx x DC xx ACx AA 4 本题满分本题满分 1212 分分 解 解 1 MN BC AMN B ANM C AMN ABC 即 AMAN ABAC 43 xAN AN x 2 分 4 3 0 4 3 分S 2 1 33 2 48 MNPAMN SSx xx x 2 如图 2 设直线BC与 O相切于点D 连结AO OD 则AO OD MN 2 1 在 Rt ABC中 BC 5 22 ABAC 由 1 知 AMN ABC 即 AMMN ABBC 45 xMN 5 4 MNx 5 分 5 8 ODx A B C MN D 图 2 O Q A B C M N P 图 1 O 过M点作MQ BC 于Q 则 5 8 MQODx 在 Rt BMQ与 Rt BCA中 B是公共角 BMQ BCA BMQM BCAC 5 5 25 8 324 x BMx 25 4 24 ABBMMAxx x 49 96 当x 时 O与直线BC相切 7 分 49 96 3 随点M的运动 当P点落在直线BC上时 连结AP 则O点为AP的中点 MN BC AMN B AOM APC AMO ABP AM MB 2 1 2 AMAO ABAP 故以下分两种情况讨论 当 0 2 时 x 2 8 3 xSy PMN 当 2 时 8 分x 2 33 2 82 y 图图 当 2 4 时 设PM PN分别交BC于E F x 四边形AMPN是矩形 PN AM PN AM x 又 MN BC 四边形MBFN是平行四边形 FN BM 4 x 424PFxxx 又 PEF ACB 2 PEF ABC SPF ABS 9 分 23 2 2 PEF Sx 10 分 MNPPEF ySS 2 22 339 266 828 xxxx 当 2 4 时 x 2 9 66 8 yxx 2 98 2 83 x 当时 满足 2 4 11 分 8 3 x x2y 图图 A B C MN P 图 4 O EF A B C M N P 图 3 O 综上所述 当时 值最大 最大值是 2 12 分 8 3 x y 5 本题满分 10 分 解 连接 AC EB 则 CAM BEM 1 分 又 AMC EMB AMC EMB 即 3 分 EMMB AMMC AM MBEM MC 2 DC 为 O 的直径 DEC 90 EC 4 2222 8 15 7 DCDE 分 OA OB 4 M 为 OB 的中点 AM 6 BM 2 5 分 设 EM x 则 CM 7 x 代入 1 得 6 2 7 xx 解得 x1 3 x2 4 但 EM MC EM 4 7 分 3 由 2 知 OE EM 4 作 EF OB 于 F 则 OF MF OB 1 8 分 4 1 在 Rt EOF 中 EF 9 1514 2222 OFOE 分 sin EOB 10 分 4 15 OE EF 6 题 A B C E D O M F 7 本小题满分 10 分 1 证明 连结OEBE 是直径AB 1 分BEAC 是的中点D BC 2 分DEDB DBEDEB 又OEOB OBEOEB DBEOBEDEBOEB 即 4 分ABDOED 但90ABC 5 分90OED 是的切线 6 分DE OA 2 2222 2 3 64 3ACABBC 9 分 2 3 6 3 4 3 AB BC BE AC AA 10 分 22 1293AEABBE 8 1 证明 连接 OD OAOD 1 分 OADODA C O BA D MEN OADDAE 2 分 ODADAE 3 分 DOMN DEMN 90ODEDEM 即 4 分 ODDE 在上 D OA 是的切线 5 分 DC OA 2 解 90AED 6DE 3AE 6 分 2222 633 5ADDEAE 连接 CD 是的直径 AC OA 7 分 90ADCAED CADDAE 8 分 ACDADE ADAC AEAD 3 5 33 5 AC 则 cm 9 分 15AC 的半径是 7 5cm 10 分 OA 9 解 1 在上 1 分 2 O 1 OA 证明 过点 2 O A 1 O 12 OOr 又的半径也是 1 O Ar 点在上 3 分 2 O 1 OA 2 是等边三角形 5 分 NAB 证明 MNAB 90NMBNMA 是的直径 是的直径 BN 2 OAAN 1 OA O2 O1 N M B A 图 2 即 在上 在上 7 分 2BNANr 2 OBN 1 OAN 连结 则是的中位线 12 OO 12 OONAB 12 22ABOOr 则是等边三角形 9 分 ABBNAN NAB 3 仍然成立 11 分 证明 由 2 得在中所对的圆周角为 1 OA A MN60 在中所对的圆周角为 12 分 2 OA A MN60 当点在点的两侧时 AB M 在中所对的圆周角 1 OA A MN60MAN 在中所对的圆周角 2 OA A MN60MBN 是等边三角形 14 分 NAB 2 3 是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分 10 1 证明 如图 2 AB 是 O 的直径 E 90 1 分 又 BC 是 O 的切线 OBC 90 E OBC 3 分 OD 过圆心 BD DE AA EFFB BOC A 6 分 E 为中点 A AF AAA EFBFAE ABE 30 8 分 E 90 9 分 1 2 AEABOB ABE OCB 10 分 11 解 1 答案不唯一 只要合理均可 例如 BCBD OFBC BCDA BCEOAF 是直角三角形 是等腰三 2 BCBE AB A 222 BCCEBE ABC BCD 角形 3 分 2 连结 则 OCOCOAOB 4 分30D 30AD 120AOC 为的直径 AB OA90ACB C B A O F D E 在中 5 分RtABC 1BC 2AB 3AC OFAC AFCF 是的中位线 OAOB OF ABC 11 22 OFBC 6 分 1113 3 2224 AOC SAC OF A 7 分 2 1 33 AOC SOA 扇形 8 分 3 34 AOCAOC SSS 阴影扇形 12 解 1 过作轴于 CCDx D 1OAt 1OCt 1 cos60 2 t ODOC 3 1 sin60 2 t DCOC 点的坐标为 2 分 C 13 1 22 tt 2 当与相切时 如图 1 切点为 此时 PAOCCPCOC cos30OCOP 3 13 2 t A 4 分 3 3 1 2 t 当与 即与轴相切时 如图 2 则切点为 PAOAxOPCOP 过作于 则 5 分 PPEOC E 1 2 OEOC 7 分 13 3 cos30 22 t OP 3 31t 当与所在直线相切时 如图 3 设切点为 交于 PAABFPFOCG 则 PFOC 3 1 2 t FGCD 8 分 3 1 sin30 2 t PCPFOP B ADO P C x y 图 1 y x B C P OA E 图 2 过作轴于 则 CCHy H 222 PHCHPC 22 2 13 1 33 1 3 2222 ttt 化简 得 2 1 18 3 1 270tt 解得 19 36 6t 9 36 610t 9 36 61t 所求 的值是 和 10 分 t 3 3 1 2 3 31 9 36 61 13 1 证明 是 的直径ABO 90CDBADCADB 切 于点MNOB 90CBNABCABN CBNABCCDBADC ABCADC CDBCBN 2 如右图 连接 过点作于点 OCOD OCDOE E 平分CDADB BDCADC 弧弧AC BC 是 的直径ABO 90BOC 又 15DAB 30DOB CDOEOCOD 30ODE 2 OD 3 1 DEOE 322 DECD y x A F C B P O G H 图 3 E A B C D O M N 15 1 证明 连接 BP 1 分 AB2 AP AD ABAD APAB 又 BAD PAB ABD APB 3 分 ABC APB APB ACB ABC ACB AB AC 4 分 2 解 由 1 知 AB AC ABC 60 ABC 为等边三角形 BAC 60 5 分 P 为的中点 ABP PAC A AC 1 30 2 ABC BAP BAC PAC 90 BP 为直径 BP 2 7 分 AP 222 1 BP1 ABBPAP 2 3 AB2 AP AD 9 分 2 AB AD 3 AP 16 1 证明 连接 OT 切于 PQ OAT 1 分OTPQ 又 ACPQ OTAC 3 分TACATO 又OTOA ATOOAT 即平分 5 分OATTAC ATBAC 2 解 过点作于 6 分OOMAC M 1 2 AD AMMD 又 7 分90OTCACTOMC 四边形为矩形 8 分 OTCM 3OMTC 在中 RtAOM 22 3 12AOOMAM 即的半径为 2 10 分OA 17 解 1 证明 如图 3 连接 1 分 OC 2 分 OAOB CACB OCAB 是的切线 3 分 AB OA 2 4 分 2 BCBD BE A A B C D O PTQ M 第 23 题图 是直径 ED 90ECD 90EEDC 又 90BCDOCD OCDODC 5 分 BCDE 又 6 分 CBDEBC BCDBEC 7 分 BCBD BEBC 2 BCBD BE A 3 1 tan 2 CED 1 2 CD EC 8 分 BCDBEC 1 2 BDCD BCEC 设 则 BDx 2BCx 又 9 分 2 BCBD BE A 2 2 6 xx x A 解之 得 1 0 x 2 2x 0BDx 2BD 10 分 325OAOBBDOD 18 解 证明 AB BC CD分别与 O切于点E F G 1 分DCB OCBABC OBC 2 1 2 1 AB CD ABC DCB 180 DCBABCOCBOBC 90180 2 1 2 1 2 分 OCBOBC BOC 9090180 180 MN OB NMC BOC 90 MN是 O的切线 4 分 连接OF 则OF BC 5 分 由 知 BOC是 Rt OCDBBC1086 2222 OF BCOCOBS BOC 2 1 2 1 6 8 10 OF 0F 4 8 即 O的半径为 4 8cm 6 分 由 知 NCM BCO NMC BOC 90 NMC BOC 7 分 MN CO CM OB MN 8 8 48 6 即 MN 9 6 cm 8 分 说说明 不明 不带单带单位不扣分 位不扣分 19 解 1 ABC 30 BAC 60 又 OA OC AOC 是正三角形 又 CD 是切线 OCD 90 DCE 180 60 90 30 而 ED AB 于 F CED 90 BAC 30 故 CDE 为等腰三角形 4 分 2 证明 在 ABC 中 AB 2 AC AO 1 BC 22 12 3 OF AF AO OF 2 13 2 13 又 AEF 30 AE 2AF 1 CE AE AC BC 33 而 OCB ACB ACO 90 60 30 ABC 故 CDE COB 10 分 20 证明 1 如图 连结 CD 1 分 BC 是直径 BDC 90 即 CD AB 2 分 AC BC AD BD 3 分 2 连结 OD 4 分 A B AED BDC 90 ADE DCO OC OD DCO CDO CDO ADE 由 1 得 ADE CDE 90 CDO CDE 90 5 分 即 ODF 90 DF 是 O 的切线 6 分 3 在 Rt DOF 中 sin F OF 3 5 3 OF 5 7 分 OC 3 CF 5 3 2 由 2 得 DEA ODF 90 OD AC CEF ODF 9 分 10 分 OF CF DF EF 即 5 2 4 4 DE DE 11 分 5 12 O E D C B A O F C B A 21 解 1 在 ABC 中 AB AC ABC C 1 分 DE BC ABC E E C 2 分 又 ADB C ADB E 3 分 2 当点 D 是弧 BC 的中点时 DE 是 O 的切线 4 分 理由是 当点 D 是弧 BC 的中点时 则有 AD BC 且 AD 过圆心 O 5 分 又 DE BC AD ED DE 是 O 的切线 6 分 3 连结 BO AO 并延长 AO 交 BC 于点 F 则 AF BC 且 BF BC 3 7 分 2 1 又 AB 5 AF 4 8 分 设 O 的半径为 在 Rt OBF 中 OF 4 OB BF 3 rrr 3 4 9 分r 22 r 2 解得 O 的半径是 10 分r 8 25 8 25 22 1 连结 OC 交 DE 于 M 由矩形得 OM CG EM DM 因为 DG HE 所以 EM EH DM DG 得 HM DG 2 DG 不变 在矩形 ODCE 中 DE OC 3 所以 DG 1 3 设 CD x 则 CE 由得 CG 2 9x ECCDCGDE 3 9 2 xx 所以所以 HG 3 1 3 3 9 2 2 2 xxx xDG 3 6 3 22 xx 所以 3CH2 22 2 2 2 12 3 9 3 6 3x xxx 所以12123 2222 xxCHCD 23 证明 连结 是 的切线 4 分 OQ 90 OQRRQO 证明 延长 交于点AOOC 22 OPOBOPOBOPOBOPOAOPOCPAPCPQPB 4 分 22 OPPQPBOB 解 当时 易得 当与重合时 OARA 30 R 15 BRA 45 B 是延长线上的点 与不重合 ROARA 45 B 又 4 分 OARA 45 B 4515 B 23 本题 8 分 1 连接 与相切于点 OQPN OAQ 即 OQPN 90OQP 10OP 6OQ 22 1068 cm PQ 2 过点作 垂足为 点的运动速度为 5cm s 点的运动速度为 4cm s 运动OOCAB C AB 时间为 s t5PAt 4PBt 10PO 8PQ PAPB POPQ PP PABPOQ 90PBAPQO 90BQOCBQOCB 四边形为矩形 OCBQBQOC 的半径为 6 时 直线与相切 O A6BQOC ABOA 当运动到如图 1 所示的位置 AB 84BQPQPBt 由 得 6BQ 846t 解得 0 5 s t 当运动到如图 2 所示的位置 AB 48BQPBPQt 由 得 6BQ 486t 解得 3 5 s t 所以 当 为 0 5s 或 3 5s 时直线与相切 tABOA 24 本小题满分 10 分 证明 1 连接 DE ABC 90 ABE 90 图 1 A B Q O P N M C 图 2 A B Q O P N M C AE 是 O 直径 1 分 ADE 90 DE AC 2 分 又 D 是 AC 的中点 DE 是 AC 的垂直平分线 AE CE 3 分 2 在 ADE 和 EFA 中 ADE AEF 90 DAE FAE ADE EFA 4 分 AE AD AF AE 5 分 AE AE2 6 AE 2cm 6 分 3 3 AE 是 O 直径 EF 是 O 的切线 ADE AEF 90 Rt ADE Rt EDF 7 分 DF DE ED AD AD CD CF nCD DF 1 n CD DE CD 8 分 n CD CF n 1 在 Rt CDE 中 CE CD DE CD CD n 2 CD 2222 n 1 22 CE CD 9 分 2 n CAB DEC sin CAB sin DEC 10 分 CE CD 2 1 n2 2 n n 25 1 证明 C 是劣弧的中点 A BD 1 分DACCDB 而公共 ACD 3 分DEC ADC 2 证明 连结 由 得 OD DCEC ACDC 1 2 13CEACAEEC 2 3 13DCAC EC A 4 分3DC 由已知 是 O 的直径 3BCDC AB 90ACB 2 2222 3312ABACCB 四边形 OBCD 是菱形 2 3AB 3ODOBBCDC 四边形 ABCD 是梯形 5 分DCABDCAB G FH E D BOA C 法一 法一 过 C 作 CF 垂直 AB 于 F 连结 OC 则3OBBCOC 6 分60OBC sin60 CF BC 33 sin603 22 CFBC A 7 分 1139 3 2 33 2224 ABCD SCF ABDC 梯形 法二 法二 接上证得四边形 ABCD 是梯形 又 连结 OC 则 和的边长均为DCAB ADBC AOD DOC OBC 的等边三角形 6 分3 AOD DOC OBC 7 分 2 39 3 333 44 AODABCD SS A 梯形 3 证明 连结 OC 交 BD 于 G 由 2 得四边形 OBCD 是菱形 且 8 分OCBD OGGC 又已知 OB BH 9 分BGCH CH 是 O 的切线 90OCHOGB 26 解 1 BC 是 O 的直径 BAC 90 AB AC B C 45 OA BC B 1 45 PE AB 2 1 45 4 3 45 则 APF OEF 与 OAB 均为等腰直角三角形 AP l AB 4 AF OA 22 2 OE OF OEF 的面积为 2 1 1 2 OE OF 2 PF AP a 2 1 1 2 Sa 且 AF OE OF 一 2 一 a 2a2 22a2 2 2 1 2 2 SOE OFa 12 SS 22 1 2 2 aa 42 2a 02a 42 2a 2222 12 13344 2 44 22233 SSSaaaaa 当时 S 取得最小值为 4 3 a 4 3 154 33 不存在这样实数 a 使 S 15 3 27 15 分 解 1 证明 连结 切 于 ABCA OA FCAB ECAB FE CEAF PA PC PF PE PFPCPEPA 2 证明 在 中 OPCPAPEPB 得 PFPCPAPBPEPA 22 PB PF PC PE 2 2 3 连结 由 1 知 而AEPEC PFA 5 4 3 EPCEPC 5 4 3 PFFAPA 设xEPxCExPC5 4 3 222 CEPCEP 222 FAPAPF 0 90 CAFC 为 的直径 为 的直径AE OAF O 与 等圆 O OyAFAE4 即 222 AECEAC 222 4 4 33 yxyx 即071825 22 yxyx0 725 yxyx 25 7 y x 625 49 2 2 y x SS FAPECP 28 本小题满分 9 分 1 证明 连结ADOD 是的直径AB OA 2 分ADBC 是等腰三角形ABC BDDC 又AOBO ODAC 4 分DFAC A G F E CB O 第 23 题 OFOD DFOD 是的切线 5 分DF OA 2 是的直径AB OA BGAC 是等边三角形ABC 是的垂直平分线BG AC 7 分GAGC 又 AGBC 60ACB 60CAGACB 是等边三角形ACG 9 分60AGC 29 1 证明 连接 DO ACB 90 AC 为直径 EC 为 O 的切线 又 ED 也为 O 的切线 EC ED 2 分 又 EDO 90 BDE ADO 90 BDE A 90 又 B A 90 BDE B EB ED EB EC 即点 E 是边 BC 的中点 4 分 2 BC BA 分别是 O 的切线和割线 BC2 BD BA 2EC 2 BD BA 即 BA 36 62 BA 6 分63 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 AC 7 分 22 BCAB 22 6 63 23 3 ABC 是等腰直角三角形 8 分 理由 四边形 ODEC 为正方形 DOC ACB 90 即 DO BC 又 点 E 是边 BC 的中点 BC 2OD AC ABC 是等腰直角三角形 10 分 30 本小题满分 10 分 解 1 如图 连接 DE AD 是圆 O 的直径 AED 90 1 分 又 BC 切圆 O 于点 D AD BC ADB 90 2 分 在和中 EAD DABAEDRt ADBRt 3 分 AEDRt ADBRt 即 4 分 AB AD AD AE 2 ADABAE 同理连接 DF 可证 AFDRt ADCRt 2 ADACAF 5 分 ACAFABAE 2 仍然成立 6 分 ACAFABAE 如图 连接 DE 因为 BC 在上下平移时始终与 AD 垂直 设垂足为 D 则 7 分 90 BDA AD 是圆 O 的直径 AED 90 又 EADABD 8 分 BDARt AEDRt AE DA AD AB ADDAABAE 同理ADDAACAF 9 分 ACAFABAE 同理可证 当直线 BC 向下平移与圆 O 相离如图 时 仍然成立ACAFABAE 10 分 31 1 解 如图 连结 1 分 OC 是的切线 CD OA 90OCD 设的半径为 OAR 则 2ABR 1 2DA AB DAR 2DOR 在中 RtDOC 3 分 1 sin 2 OC CDO OD 即 4 分 30CDO 30CDB 2 直线与相切 5 分 EBOA 证法一 由 1 可知 6 分 3DCR 33 33 DCR DBR 7 分 3CECDR 2 3DER 3 3 DO DE 在与中 CDO BDE CDOBDE DCDO DBDE 8 分 CDOBDE 90OCDEBD 与相切 9 分 EB OA 证法二 如图 连结 由 1 可知 OC30CDO 60COD OCOB 30OBCOCB 6 分 CBDCDB CDCB 是的切线 CD OA90OCE 60ECB 又 CDCE CBCE 为等边三角形 8 分 CBE D C E B OA 第 26 题 90EBAEBCCBD 是的切线 9 分 EB OA 证法三 如图 连结 OEOCDE CECD 是线段的垂直平分线 6 分 OC DE OEOD 30OECD 60EOCDOC 在与中 60EOB EBO ECO OBOC EOBEOC OEOE 图 图 图 8 分 EBOECO 与相切 9 分 90EBOECO EB OA 证法四 提示 利用弦切角定理证明 3 如图 连结 相似三角形有OE 与 与 与 与 CDO BDE CEO BDE BEO BDE CBA BDE 与 与与 与与 OAC BCE DAC DCB DOE BOC DCB DOE 32 证法一 1 平分 1 分PE APB APDCPE 为圆的切线 2 分PA PADPCE AEDPCECPEADEAPDPAD 3 分AEDADE 4 分ADAE 2 且 AEDADE APDCPE 5 分PDBPAE 7 分 DBPB EAPA 且 PABPCA APBCPA 8 分PABPCA 9 分 ABPB ACPA 10 分 ABDB ACEA AB AEAC DB AA 证法二 1 同上 2 过点作交于点 DDFAC BCF DFAC DBFABC 且 DBDF ABAC DFPACBPAB 又 PDPDAPDFPD A B C D EF M N A P BF C E D APDFPDADFD 由 1 知 ADAEAEDF 按相应的给分 DBAE ABAC AB AEAC DB AA 33 1 答 相等 1 分 因为为的角平分线 已知 CDACF DCPDCH DPACDHBF 图90DPCDHC 3 分PDCHDC 2 写出一组得 1 分 7 分PCHCDPDHAPBHADBD 图图图 3 且时 9 分90ABC 60ACB CPDCBA 因为为直角 所以为直角 为的角平分线 CPD ABC CDACF 所以 10 分PCDDCFACB 60ACB 34 1 相等 1 分 连结 则 故 3 分OCCOAB ACBC 2 由 得 4 分ACHFCB 2 AC CBFC CHAC AA 又由 得 5 分ACEAOC 2 ACAE AO A 6 分FC CHAE AO AA 3 解方程得 7 分51CH 51CF 5 51 1CE 2 42ACAC 图 在中 RtACE 1 sin 2 CE A AC 30A 60120AOCCON 图 在中 ACO 32 tan23 33 COACA 4 3 sin603 AC AO 4 32 32 3 333 AMAOOM 弧长 9 分CN 14 3 2 39 A 2 32 3 222 3 33 ANAMOC 阴影部分周长 10 分 A 4 3 22 3 9 ACANCN 35 1 解 是等腰三角形 证明如下 ACG 1 分CDAB AA ADAC 2 分GACD 3 分FCFA ACDCAG GCAG 是等腰三角形 4 分ACG 2 解 连结 5 分ADBC 由 1 知 AA ACAD ACAD 6 分DACD DGCAG 又 ACFDCA 7 分ACFDCA 即 8 分 AC CDCF AC 2 ACCF CD A CDAB 9 分 2 52 52 21CEAE EB A 11 分 2222 52 2130ACAECE 12 分30CF CD A 36 1 证明 EDCBAOCC 图 CDECAB 3 分 CDCE ACCB 2 直径 812AEOC 图 124161248ACCE 图 又 6 分 CDCE ACCB 16 8128CD CBAC CE 连接 在中 OBOBC 1 4 2 OBAE 12OC 8 分816BC 37 解 1 1 分AEBE 证法 为直径 于点 BC OAAHBC D 3 分 AA ABBH 又 AA ABAF 4 分 AA BHAF 5 分12 AEBE 证法 连AFAC图