2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系

专注于中小学全科培优 大润发校区 0736 2554561 常德市妇幼保健院旁鹏驰汽车美容四楼 老体育馆校区 0736 7777951 常德市青年南路 209 号老体育馆大门正对面 第二章第二章 点 直线 平面之间的位置关系 点 直线 平面之间的位置关系 1 空间中点 直线 平面之间的位置关系空间中点 直线 平面之间的位置关系 一 平面一 平面 1 平面含义平面含义 没有大小之分 没有厚度 平面是平的且可以无限延展的 2 2 平面的基本性质 平面的基本性质 1 公理公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都 在这个平面内 符号表示为 Al Bl l AB 2 公理公理2 经过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 若 A B C 不共线 则 A B C 确定平面 推论1 经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 若 则点A和 确定平面Al l 推论2 经过两条相交直线 有且只有一个平面 若 则确定平面 mnA m n 推论3 经过两条平行直线 有且只有一个平面 若 则确定平面m nA m n 3 公理公理3 如果两个平面 不重合的两个平面 有一个公共点 那么它们还有其他公共点 且所有这些公共点的集合是一条 过这个公共点的直线 PPlPl 且 4 公理公理4 平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行 平行线的传递性 a b c ba c AAA 四个公理的作用四个公理的作用 1 公理1 判断直线在平面内 由直线在平面内判断直线上的点在平面 内 2 公理2 公理2及其推论的作用 确定一个平面 判断 直线共面 的方法 3 公理3 判定两平面相交 作两平面相交的交线 证明多点共线 4 公理4 判断空间两条直线平行的依据 强调 公理4实质上是说平行具有传递性 在平面 空间这个性质都适用 5 5 等角等角定理 空间中若两个角的两边分别对应平行 则这两个角相等或互补 定理 空间中若两个角的两边分别对应平行 则这两个角相等或互补 1212aa bb AA且与方向相同 1212 180aa bb AA且与方向相反 作用 该定理也叫等角定理 可以用来证明空间中的两个角相等 作用 该定理也叫等角定理 可以用来证明空间中的两个角相等 专注于中小学全科培优 大润发校区 0736 2554561 常德市妇幼保健院旁鹏驰汽车美容四楼 老体育馆校区 0736 7777951 常德市青年南路 209 号老体育馆大门正对面 二 二 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系 1 位置关系的分类 空间的两条直线有如下三种关系 共面共面直线 相交相交直线 同一平面内 有且只有一个公共点 平行平行直线 同一平面内 没有公共点 异面异面直线 不同在任何一个平面内 没有公共点 既不平行 也不相交 注 注 判定异面直线的两种方法 1 判定定理 平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是 异面直线 2 反证法 证明两线不可能平行 相交或证明两线不可能共面 从而可得两线 异面 2 异面直线所成的角 定义 设a b是两条异面直线 经过空间任一点O作直线 把与aa A bb A a 所成的锐角锐角或直角直角叫做异面直线a b所成的角 或夹角 b 注意点 注意点 a 与b 所成的角的大小只由a b的相互位置来确定 与O的选择无关 为了简 便 点O一般取在两直线中的一条上 三步骤 1 平移 转化为相交直线所成角 2 找锐角 或直角 作为夹角 3 求解 两条异面直线所成的角取值范围 0 90 当两条异面直线所成的角是直角时 我们就说这两条异面直线互相垂直 记 作a b 两条直线互相垂直 有共面垂直与异面垂直两种情形 三 三 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系 直线在平面内 有无数个公共点 符号 a 直线与平面相交 有且只有一个公共点 符号 aA 直线与平面平行 没有公共点 符号 a A 说明 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 可用来表示a 四 四 平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系 平行 没有公共点 符号 A 相交 有一条公共直线 符号 a a 专注于中小学全科培优 大润发校区 0736 2554561 常德市妇幼保健院旁鹏驰汽车美容四楼 老体育馆校区 0736 7777951 常德市青年南路 209 号老体育馆大门正对面 当堂练习当堂练习 1 下列图形不一定是平面图形的是 A 三角形 B 四边形 C 圆 D 梯形 2 共点的三条直线可确定几个平面 A 1 B 2 C 3 D 1 或 3 3 不共线的四点可以确定 个平面 4 下列说法 若一条直线和一个平面有公共点 则这条直线在这个平面内 过两条相交直线的平面有且只有一个 若两个平面有三个公共点 则两个平面重合 两个平面相交有且只有一条交线 过不共线三点有且只有一个平面 其中正确的有 5 空间两条互相平行的直线指的是 A 在空间没有公共点的两条直线 B 分别在两个平面内的两条直线 C 分别在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线 D 在同一平面内且没有公共点的两条直线 6 正方体 ABCD A1B1C1D1中 与直线 BD 异面且成 600角的面对角线有 条 A 4 B 3 C 2 D 1 7 一条直线和一个平面平行 夹在这条直线和平面间的两条线段相等 则这两 条线段的位置关系是 A 平行 B 相交 C 异面 D 以上均有可能 8 下列命题中正确的个数是 若直线 l 上有无数个点不在平面 内 则 l 若直线 l 与平面 平行 则 l 与平面 内的任意一条直线都平行 如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行 那么另一条直线也与 这个平面平行 若直线 l 与平面 平行 则 l 与平面 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 专注于中小学全科培优 大润发校区 0736 2554561 常德市妇幼保健院旁鹏驰汽车美容四楼 老体育馆校区 0736 7777951 常德市青年南路 209 号老体育馆大门正对面 全盘巩固 一 选择题 1 若空间三条直线 a b c 满足 a b b c 则直线 a 与 c A 一定平行 B 一定相交 C 一定是异面直线 D 平行 相交或异面都有可 能 2 若直线 a b 且直线 a 平面 则直线 b 与平面 的位置关系是 A b B b C b 或 b D b 与 相交或 b 或 b 3 下列四个命题中 真命题的个数为 如果两个平面有三个公共点 那么这两个平面重合 两条直线可以确定一个平面 若 M M l 则 M l 空间中 相交于同一点的三条直线在同一平面内 A 1 B 2 C 3 D 4 4 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E F 分别是线段 BC CD1的中点 则直线 A1B 与 直线 EF 的位置关系是 A 相交 B 异面 C 平行 D 垂直 第 5 题图 第 6 题图 5 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 过顶点 A1与正方体其他顶点的连线与直线 BC1成 60 角的条数为 A 1 B 2 C 3 D 4 6 l1 l2 l3是空间三条不同的直线 则下列命题正确的是 A l1 l2 l2 l3 l1 l3 B l1 l2 l2 l3 l1 l3 C l1 l2 l3 l1 l2 l3共面 D l1 l2 l3共点 l1 l2 l3共面 7 在正四棱锥 V ABCD 中 底面正方形 ABCD 的边长为 1 侧棱长为 2 则异面直 线 VA 与 BD 所成角的大小为 A B C D 6 4 3 2 二 填空题 8 如图是正四面体的平面展开图 G H M N 分别为 DE BE EF EC 的中点 在这个正四面体中 GH 与 EF 平行 BD 与 MN 为异面直线 GH 与 MN 成 60 角 DE 与 MN 垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 9 如图所示 正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别为棱 C1D1 C1C 的中点 有以 下四个结论 直线 AM 与 CC1是相交直线 直线 AM 与 BN 是平行直线 直线 BN 与 MB1是异面直线 直线 AM 与 DD1是异面直线 其中正确的结论为 写出所有正确结论的序号 专注于中小学全科培优 大润发校区 0736 2554561 常德市妇幼保健院旁鹏驰汽车美容四楼 老体育馆校区 0736 7777951 常德市青年南路 209 号老体育馆大门正对面 10 如图 矩形 ABCD 中 AB 2 BC 4 将 ABD 沿对角线 BD 折起到 A BD 的位置 使点 A 在平面 BCD 内的射影点 O 恰好落在 BC 边上 则异面直线 A B 与 CD 所成角的大小为 11 设 a b c 是空间中的三条直线 下面给出五个命题 若 a b b c 则 a c 若 a b b c 则 a c 若 a 与 b 相交 b 与 c 相交 则 a 与 c 相交 若 a平面 b平面 则 a b 一定是异面直线 若 a b 与 c 成等角 则 a b 其中正确的命题是 写出全部正确结论的序号 三 解答题 12 A 是 BCD 所在平面外的一点 E F 分别是 BC AD 的中点 1 求证 直线 EF 与 BD 是异面直线 2 若 AC BD AC BD 求 EF 与 BD 所成的角 专注于中小学全科培优 大润发校区 0736 2554561 常德市妇幼保健院旁鹏驰汽车美容四楼 老体育馆校区 0736 7777951 常德市青年南路 209 号老体育馆大门正对面 冲击名校 1 如图 ABCD A1B1C1D1是长方体 O 是 B1D1的中点 直线 A1C 交平面 AB1D1于点 M 则下列结论正确的是 A A M O 三点共线 B A M O A1不共面 C A M C O 不共面 D B B1 O M 共面 2 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l 使 l 与棱 AB AD AA1所成的角都相等 这样的直线 l 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 3 设四面体的六条棱的长分别为 1 1 1 1 和 a 且长为 a 的棱与长为的棱异 22 面 则 a 的取值范围是 A 0 B 0 C 1 D