无穷级数经典习题附答案.pdf

1 无穷级数无穷级数同步测试同步测试 题 号 一 二 三 总分 得 分 一 单项选择题 1 下列结论中 错误的是 A 若lim0 n n u 则级数 2 1 n n u发散 B 若级数 1 n n u绝对收敛 则 2 1 n n u收敛 C 若级数 1 n n u收敛 则 2 1 n n u收敛 D 若级数 2 1 n n u收敛 则lim0 n n u收敛 2 已知幂级数 1 1 n n n ax在0 x处收敛 在2 x处发散 则该级数的收敛域 0 2 0 2 0 2 0 2 ABCD 3 已知幂级数 1 n n n a x的收敛半径1 R 则幂级数 0 n n n a x n 的收敛域为 1 1 1 1 1 1 ABCD 4 设常数0 x 则级数 1 1 1 sin n n x n A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 收敛性与x有关 二 填空题 5 级数 1 1 2 n n n的和为 2 6 2 lim n n n 7 已知级数 2 2 1 1 6 n n 则级数 2 1 1 1 n n n 8 幂级数 21 0 1 n n x n 的和函数 S x 三 解答题 9 判断下列运算过程是否正确 若不正确 指出错误所在 并给出正确解法 级数 2 1 1 n n nn 是交错级数 它不是绝对收敛的 又由于 1 lim0 1 nn n 但 1 1 n n u n 不是单调递减的 由此得出该级数不 满足莱布尼茨定理的第二个条件 故级数发散 10 讨论级数 2 1 0 1 1 1 n n n x x xxx 的敛散性 11 求级数 1 1 21 2 n n nn 的和 12 将 2 ln 3 f xxx展开为1 x的幂级数 13 求极限 23 13521 lim 2222 n n n 14 验证函数 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y xx n 满足微分方程 x y xy xy xe 并求幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数 第第九九章章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用同步测试同步测试 B 答案及解析答案及解析 一 单项选择题 3 题号 1 2 3 4 答案 C A D B 答案详细解析 1 解 利用级数的性质 若lim0 n n u 则 2 lim0 n n u 因此级数 2 1 n n u发散 A正确 若 1 n n u绝对收敛 即 1 n n u收敛 则lim0 n n u 2 limlim01 n n nn n u u u 根据正项级数的比较审敛法知 2 1 n n u收敛 B正确 若级数 2 1 n n u收敛 则 2 lim0lim0 nn nn uu D正确 故选 C 事实上 令 1 1 n n u n 则 1 n n u收敛 但 2 11 1 n nn u n 发散 方法技巧 本题考查级数收敛的必要条件及正项级数的比较审敛法 特别提醒 比较审敛法只限于正项级数使用 2 解 由于幂级数 1 1 n n n ax在0 x处收敛 则该级数在以 1 为中心 以 0 和 1 之间的距离 1 为半径的开区间11 x 即02 x内 级数绝对收敛 又 级数在2 x处发散 则在以 1 为中心 以 1 和 2 之间的距离 1 为半径的区间外 11 x 即0 x或2 x内 级数发散 因此级数的收敛区间 不含端点 为 0 2 则收敛域为 0 2 故选 A 方法技巧 本题考查幂级数的阿贝尔定理 特别提醒 阿贝尔定理经常出现在各类考试的选择题或填空题中 要求 大家熟练掌握它 4 3 解 由于 1 n n n a x的收敛半径1 R 则有 1 lim1 n n n a a 幂级数 0 n n n a x n 的收敛半径为 1 1 limlim 1 1 n n nn n n a a n Rn a a n 因此收敛 域为 故选 D 方法技巧 本题考查幂级数的收敛半径和收敛域 由于级数是标准的幂 级数 直接代入公式即可求出收敛半径 R 4 解 由于存在充分大的n 有 sin0 2 xx nn 所以从某时刻开始 级 数 1 1 sin k k n x k 是交错级数 且满足 sinsin limsin0 1 k xxx kkk 即满足莱布 尼茨定理的条件 所以此交错级数收敛 而前有限项 1 n项 不影响级数的敛 散性 因此原级数 1 1 1 sin n n x n 收敛 又由于 sin lim0 1 n x n x n 因此级数 1 11 1 sinsin n nn xx nn 发散 所以原级 数 1 1 1 sin n n x n 条件收敛 故选 B 方法技巧 本题考查正项项级数的比较审敛法及绝对收敛 条件收敛的 概念和级数的性质 特别提醒 解题中需要说明 此级数可能不是从第一项就是交错级数 从某项以后为交错级数 而前有限项不影响级数的敛散性 二 填空题 5 2 6 0 7 2 12 8 2 x xe 答案详细解析 5 解 考查幂级数 1 n n nx 其收敛域为 1 1 5 由 1 11 nn nn nxxnx 令 1 1 n n f xnx 则 1 00 11 1 xx nn nn x f x dxnxdxx x 因此 2 1 1 1 x f x xx 故 2 1 1 n n x nxxf x x 所以 2 1 1 111 2 2 1 222 1 2 n n nf 方法技巧 本题考查幂级数的收敛域及和函数 求常数项级数的和经常转 化为讨论幂级数的和函数在确定点的值 特别提醒 在幂级数求和时 经常使用逐项积分和逐项求导的方法 将 其转化为熟悉的幂级数 如等比级数 注意级数的第一项 0 n或1 n 6 解 考虑级数 2 1 n n n 由比值审敛法 2 1 2 1 1 limlimlim01 1 1 n nnn n unn unnn 因此级数 2 1 n n n 收敛 由收敛级数的必要条件得 2 lim0 n n n 方法技巧 本题考查利用收敛级数的必要条件求极限 这是求数列极限的 一种方法 有些数列变形十分复杂 可考虑将其作为级数的一般项讨论 7 解 由题设 2 222 1 111 1 236 n n 则 22 22222 11 1111111 2 42464624 nn nn 222 22222 111 11111 1 21 35 2 6248 nnn nnn 故 222 222222 111 111111 1 122 234 21 6812 n nnn nnn 方法技巧 本题考查收敛级数的性质 收敛级数的代数和仍收敛 此 6 性质只适用于收敛级数 特别提醒 一些同学不熟悉符号 可以将其写成普通和的形式 看起 来会方便一些 8 解 由于函数 x e的幂级数展开式为 0 1 xn n exx n 而 2122 000 111 nnn nnn xxxxx nnn 因此 2 212 00 11 nnx nn S xxxxxe nn 方法技巧 本题考查指数函数 x f xe的幂级数展开式 0 1 xn n exx n 一般而言 若幂级数的系数为 1 n 时 求和时可能与指数函数 x e有关 若幂 级数的系数为 1 21 n 或 1 2 n 时 求和时可能与三角函数sin x或cosx有关 三 解答题 9 解 判断条件收敛的运算过程是错误的 由于 1 1 1 limlimlim1 11 1 1 n n nnnn un nn n 因此由比较审敛法知 级 数 2 1 1 n nn 发散 故级数 2 1 1 n n nn 不是绝对收敛的 错误在于 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的一个充分条件 不是必要的 因此并不能说明不满足莱布尼茨定理的第二个条件 级数就一定不收敛 本题的 正确解法要用级数收敛的充分必要条件 即研究lim n n S是否存在 正确解法 2 111111 3254212 n S nn 由于每个括号均为负数 因此 2n S单调递减 且有 7 2 111111 3254212 n S nn 111111 4264222 nn 111 2222 n 因此 2 lim n n S存在 不妨设 2 lim n n SS 而 21221221 21 1 limlim limlimlim0 21 1 nnnnn nnnnnn SSuSuSSS n 从而得到lim n n SS 即级数 2 1 1 n n nn 收敛 且为条件收敛 方法技巧 本题考查绝对收敛和条件收敛的概念 莱布尼茨定理的应用 及级数收敛的充分必要条件 1 n n u收敛 部分和 n S的极限存在 即lim n n SS 特别提醒 莱布尼茨定理是判断交错级数收敛的充分非必要条件 即使 不满足莱布尼茨定理 级数也可能收敛 10 解 由于级数的一般项中含有连乘的形式 所以用比值审敛法 1 1 1 1 lim0 1 1 1 limlim 01 1 1 1 2 n n n n n nn n x x x ux xx ux x 故对任意的0 x 原级数均收敛 方法技巧 本题考查正项级数的比值审敛法 若正项级数的一般项中含有 连乘 包括阶乘 n 时 一般考虑用比值审敛法判断级数的敛散性 特别提醒 由于x的范围不同 1 lim n n n u u 不同 故需要分别进行讨论 但 8 不论什么情况 极限值均小于 1 因此级数收敛 11 解 考虑幂级数 2 1 21 n n x nn 由于 22 1 1 1 23 limlim 1 21 n nn n unn xx u nn 故其收敛半径为1 R 而当1 x 时 级数 1 1 21 n nn 均收敛 因此幂级数的收敛域为 1 1 令 221 11 1 21 21 nn nn xx S xxx nnnn 则 2 21 2 11 2 2 1 n n nn xx S xSxx nx 因此 2 2 00 2 0 ln 1 1 xx x S xSSx dxdxx x 又 0 0 S 则 2 ln 1 S xx 同理 22 00 1 0 ln 1 ln 1 2ln 1 xx x S xSS x dxx dxxxx x 而 0 0 S 则 2 1 ln 1 2ln 1 x S xxxx x 故 1 1 1111 2 2 2 ln22ln 21 1 21 2222 2 n n S S nn 2ln22ln 21 方法技巧 本题考查利用幂级数求常数项级数的和 这是一种常用方法 关键要做出合适的幂级数 本题由于级数一般项的分母中含有因式21 n 故所做 级数为 2 1 21 n n x nn 此时只要令 1 2 x 即为所求的常数项级数 特别提醒 在求幂级数的和时 不要忽略了收敛域的讨论 要保证常数 项级数是幂级数取收敛域内的点 12 解 2 ln 3 lnln 3 f xxxxx 9 1 ln 1 1 ln 2 1 ln 1 1 ln2ln 1 2 x xxx 由于 234 11 1 ln 1 1 1 11 234 nn nn n xxxxx xxx nn 则 11 11 1 1 2 ln2 1 1 n n nn nn x x f x nn 121 11 1 1 ln2 1 1 2 nn nn n nn xx nn 1 1 1 1 ln2 1 2 n n n n x n 且满足 111 1 11 2 x x 即 02 x 方法技巧 本题考查形如 ln 1 f xx的函数展开式及收敛域11 x 首先将 2 ln 3 f xxx化为 1 ln 1 1 ln2ln 1 2 x f xx 将第一项中 的1 x看成标准形中的x 第二项中的1 2 x 看成标准形中的x 再展开 特别提醒 ln 1 f xx的展开式可以用如下方法记忆 由于 231111 1 1 1 1 1 1 nnnn n xxxxx x 两边积分得 11 234 0 1 1111 1 1 ln 1 1234 nn x nn n xdxxxxxxx xnn 13 解 所求极限实际上是级数 1 21 2 n n n 的和 因此可考虑幂级数 22 1 21 n n nx 令 2 2221 222 11 1 21 1 1 nn nn xx S xnxx xx 10 故 23 2 1 1 13521111 2 lim 3 1 2222222 1 2 n n n S 方法技巧 本题考查利用级数的和求其部分和的极限 关键是找到一个适 当的幂级数 利用它求出常数项级数的和 再利用级数收敛的充要条件求极限 特别提醒 1 21 2 n n n 不刚好等于 1 2 S 而是相差 1 2 倍 14 解 当 x时 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y x n 0 1 y 则 25831 2 5 8 31 n xxxx y x n 0 0 y 4732 4 7 32 n xxx y xx n 故 473225831 4 7 32 2 5 8 31 nn xxxxxxx yyyx nn 3693 1 3 6 9 3 n xxxx n 23456 1 2 3 4 5 6 n x xxxxxx xe n 所以 y x满足方程 x yyye 由于幂级数 3 0 3 n n x n 的和函数为 y x 因此所要求的是二阶常系数非齐次线 性微分方程 x yyye的满足条件 0 1 0 0 yy的特解 y x 其特征方程 为 2 10 rr 特 征 根 为 1 2 13