中值定理及其应用

中值定理及其应用 中值定理 一 罗尔 Rolle 定理二 拉格朗日 Lagrange 中值定理三 柯西 Cauchy 中值定理 中值定理的演示 T与l平行 这样的x可能有好多 高 了 低 了 到了 中值定理的演示 一个特殊的例子 假设从A点运动到B点 那么有许多种走法 首先我们来看一个例子 行走的典型路线如下 这说明 在极大值或极小值点处 函数的导数为0 几何意义是 在极值点处的切线平行于AB的连线或x轴 中值定理的演示 典型情形的证明思想 结论 Rolle定理 一 罗尔 Rolle 定理 例如 几何解释 证 注意 罗尔定理的三个条件是充分的 但不是必要的 若罗尔定理的三个条件中有一个不满足 其结论可能不成立 例如 又例如 f x 满足条件 2 3 但不满足条件 1 在 0 1 内 f x 在 1 1 上 满足条件 1 3 但不满足条件 2 当x 时 f x 1 x 时 f x 1 x 0时 f 0 不存在 ii iii y f x x x 1 2 f x 在 1 2 上满足条件 1 2 但不满足条件 3 在 1 2 内 f x 1 例1设函数f x x 1 x 2 x 3 不求导数 试判断方程f x 有几个实根 它们分别在何区间 解 f x 在 1 2 上连续 在 1 2 上可导 且f 1 f 2 由罗尔定理 1 使f 1 同理 2 注意到 f x 0为二次方程 使f 2 它至多有两个实根 故 1 2是f x 0的全部实根 例2 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根 矛盾 二 拉格朗日 Lagrange 中值定理 T与l平行 中值定理的演示 更广泛情形的证明思想 同一点 几何解释 证 分析 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意 拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系 拉格朗日中值定理又称有限增量定理 拉格朗日中值公式又称有限增量公式 微分中值定理 推论2 证明 推论1 例3 证 例4 证 由上式得 例5 设a b 0n 1 证明 令f x xn显然f x 在 b a 上满足拉格朗日定理条件 证明 nbn 1 a b an bn nan 1 a b 有f a f b f a b b a 即an bn n n 1 a b 又01 所以bn 1 n 1 an 1 n bn 1 a b n n 1 a b n an 1 a b 即nbn 1 a b an bn nan 1 a b 三 柯西 Cauchy 中值定理 几何解释 证 作辅助函数 例6 证 分析 结论可变形为 四 小结 Rolle定理 Lagrange中值定理 Cauchy中值定理 2罗尔定理 拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系 1罗尔定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理中 条件是充分的 但不是必要的 3证明函数方程或方程的根的存在性 可以考虑应用罗尔 定理 4应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以证明 一些不等式 思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可 思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件 且