2014年高中数学核心归纳课件（新人教A版必修2）：第二章2.3.1《直线与平面垂直的判定》

2 3直线 平面垂直的判定及其性质2 3 1直线与平面垂直的判定 一 直线与平面垂直 任意一条 l 公共点P 二 直线与平面垂直的判定定理1 文字语言 一条直线与一个平面内的 都垂直 则该直线与此平面垂直 2 符号语言 l a l b a b l 3 图形语言 两条相交直线 a b P 思考 线面垂直判定定理中 平面内两条相交直线和已知直线l必须有公共点吗 提示 用线面垂直判定定理判定直线与平面垂直 取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直 至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点 则是无关紧要的 三 直线与平面所成的角 相交 垂直 直线PA 交点 点A 垂线 垂足 斜足 直线AO 直角 0 的角 0 90 判断 正确的打 错误的打 1 一个平面的斜线和该平面所成的角 的取值范围是0 90 2 斜线与平面所成的角的大小取决于在斜线上取哪个点引平面的垂线作出线面角 3 两条直线和一个平面所成的角相等 这两条直线一定平行 4 若直线l与平面 所成的角是0 角 则l 提示 1 正确 因为平面的斜线和平面所成的角是锐角 2 错误 一个平面的斜线与该平面所成的角的大小是固定的 与在斜线上取哪个点引平面的垂线作出线面角无关 3 错误 两条直线和一个平面所成的角相等 这两条直线相交 平行 异面都有可能 4 错误 若直线l与平面 所成的角是0 角 则l 或l 答案 1 2 3 4 知识点拨 1 剖析直线与平面垂直的定义 1 定义中的 任意一条直线 这一词语 它与 所有直线 是同义语 定义是说这条直线和平面内所有直线垂直 2 直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式 3 若直线与平面垂直 则直线和平面内的任何一条直线都垂直 即 线面垂直 则线线垂直 这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法 4 在画线面垂直时 要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直 符号语言表述为l 2 对直线与平面垂直的判定定理的三点说明 1 引进判定定理的必要性用线面垂直的定义可以证明线面垂直 但是要说明直线与平面内任意一条直线都垂直 在实际运用时有困难 所以需要引进一种容易操作 应用广泛的证明方法 2 关键词 两条相交直线 的理解 虽然平面内直线有无数多条 但它却可以由两条相交直线完全确定 不能用 一条直线与平面内的两条平行直线垂直来判断此直线与平面垂直 实际上 由公理4可知 平行具有 传递性 因此一条直线与平面内的一条直线垂直 那么它与这个平面内平行于这条直线的所有直线都垂直 但不能保证与其他直线垂直 3 所体现的数学思想直线与平面判定定理体现了 转化 的数学思想 即将线面垂直转化为线线垂直 3 对平面斜线的三点认识 1 平面的斜线一定与平面相交 2 平面的斜线是与平面的垂线相对应的概念 它不与平面垂直 3 与平面不垂直的直线不一定是平面的斜线 也有可能与平面平行或在平面内 4 直线与平面所成的角的理解和判断 1 对斜线和平面所成的角的定义的理解斜线和平面所成的角定义表明斜线和平面所成的角是通过斜线在平面内的射影而转化为两条相交直线所成的角 2 判断方法首先 判断直线和平面的位置 若直线在平面内或与平面平行 此时直线与平面所成的角为0 的角 若直线与平面垂直 此时直线与平面所成的角为90 其次 若直线与平面斜交 可在斜线上任取一点作平面的垂线 实际操作过程中 这一点的选取要有利于求角 找出直线在平面内的射影 从而确定出直线和平面所成的角 一般转化到直角三角形 等边三角形中求解 类型一直线与平面垂直定义的理解 典型例题 1 下列说法中错误的个数是 若直线m 平面 直线l m 则l 若直线l和平面 内的无数条直线垂直 则直线l与平面 必相交 过平面 外一点有且只有一条直线和平面 垂直 过直线a外一点有且只有一个平面和直线a垂直 A 0B 1C 2D 3 2 已知直线m n是异面直线 则过直线n且与直线m垂直的平面 A 有且只有一个B 至多一个C 有一个或无数个D 不存在 解题探究 1 直线与平面内无数条直线垂直与直线与平面内两条相交直线垂直是否等效 2 过直线n且与直线m垂直的平面的个数与异面直线m n是否垂直有关吗 探究提示 1 不等效 由 直线与平面内两条相交直线垂直 可以推出 直线与平面内无数条直线垂直 反之不可 2 有关 当直线m与n不垂直时 根据线面垂直的定义过直线n且与直线m垂直的平面是不存在的 解析 1 选C 错误 若直线m 平面 直线l m 则l与 平行 相交或l在 内都有可能 错误 若直线l和平面 内的无数条直线垂直 则直线l与平面 平行 相交或l在 内都有可能 正确 如图 假如l1与l2都过点P 且都与平面 垂直 设垂足分别为A与B 在平面PAB内 有两条直线l1 l2与已知直线垂直 这是不可能的 所以l1和l2重合 正确 不论点A是否在直线a上 如图 设过点A与直线a垂直的平面为 如果还有一个平面 过点A与直线a垂直 且 l 设过点A和直线a且不过l的平面为 且 b c 因为a a 所以a b a c 这样在同一平面 内 过一点A就有两条直线b c都与a垂直 这是不可能的 所以 过点A和直线a垂直的平面只有一个 2 选B 当两异面直线互相垂直时 过其中一条直线仅有一个平面与另一条直线垂直 不垂直时这样的平面不存在 拓展提升 1 直线与平面垂直的定义的 双向 作用 1 证明线面垂直若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直 该直线与已知平面垂直 即线线垂直 线面垂直 2 证明线线垂直若一条直线与一个平面垂直 则该直线与平面内任意一条直线垂直 即线面垂直 线线垂直 2 异面直线垂直的证明策略 1 作出异面直线所成的角 设法证明该角为直角 2 转化为证明一条直线垂直于过另外一条直线的平面 变式训练 如果直线l与平面 不垂直 那么在平面 内 A 不存在与l垂直的直线B 存在一条与l垂直的直线C 存在无数条与l垂直的直线D 任一条都与l垂直 解析 选C 平面 内与l在 内的射影垂直的直线 垂直于直线l 这样的直线有无数条 故A B不正确 C正确 若在平面 内 任一条都与l垂直 则直线l与平面 垂直 与题设矛盾 故D不正确 类型二线面垂直判定定理的应用 典型例题 1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 点P在侧面BCC1B1及其边界上移动 并且总是保持AP BD1 则动点P满足的条件是 2 2013 淮北高一检测 如图 在四棱锥P ABCD中 PA 平面ABCD AB AD AC CD ABC 60 且PA AB BC E是PC的中点 1 证明 CD AE 2 证明 PD 平面ABE 解题探究 1 过A与BD1垂直的平面是什么 2 1 证明异面直线垂直的基本方法是什么 2 用判定定理证明线面垂直的关键是什么 探究提示 1 由题目条件可证BD1 平面AB1C 2 1 证明异面直线垂直的基本方法是转化为证明线面垂直 2 利用判定定理证明线面垂直的关键是证明直线与平面内两条相交直线垂直 解析 1 点P在线段B1C上时AP BD1 证明 因为ABCD A1B1C1D1是正方体 所以BB1 平面ABCD 又AC 平面ABCD 所以BB1 AC 又四边形ABCD是正方形 所以BD AC 又BD 平面BDD1B1 BB1 平面BDD1B1 BB1 BD B 所以AC 平面BDD1B1 BD1 平面BDD1B1 所以BD1 AC 同理可证BD1 AB1 又AC 平面AB1C AB1 平面AB1C AC AB1 A 所以BD1 平面AB1C 因为点P在线段B1C上 所以AP 平面AB1C 所以AP BD1 答案 点P在线段B1C上 2 1 因为PA 平面ABCD CD 平面ABCD 所以PA CD 因为AC CD PA AC A 所以CD 平面PAC 而AE 平面PAC 所以CD AE 2 由PA AB BC ABC 60 可得AC PA 因为E是PC的中点 所以AE PC 由 1 知 AE CD 且PC CD C 所以AE 平面PCD 而PD 平面PCD 所以AE PD 因为PA 平面ABCD AB 平面ABCD 所以AB PA 又AB AD PA AD A 所以AB 平面PAD 所以PD AB 又因为AB AE A 所以PD 平面ABE 拓展提升 1 线线垂直和线面垂直的相互转化 2 证明线面垂直的方法 1 线面垂直的定义 2 线面垂直的判定定理 3 如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面 那么另一条直线也垂直于这个平面 4 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面 那么它也垂直于另一个平面 变式训练 正方体ABCD A1B1C1D1中 点E F G分别是DD1 AA1 AB的中点 求证 B1G 平面BCEF 解题指南 证题的关键是在平面AA1B1B 利用三角形全等证明角相等 用等量代换计算角的大小证明B1G BF 证明 因为ABCD A1B1C1D1是正方体 所以BC 平面AA1B1B 又B1G 平面AA1B1B 所以B1G BC 因为AB BB1 AF BG BAF B1BG 所以 ABF BB1G 所以 AFB BGB1 因为 AFB ABF 90 所以 BGB1 ABF 90 所以B1G BF 又BC BF B 所以B1G 平面BCEF 类型三计算直线与平面所成的角 典型例题 1 如图 正方体ABCD A1B1C1D1中 1 A1C1与平面ABCD所成的角为 2 A1C1与平面BB1D1D所成的角为 3 A1C1与平面BB1C1C所成的角为 2 如图 在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD中 AD BC ABC 90 PD 平面ABCD AD 1 AB BC 4 求直线BC与平面PCD所成角的大小 解题探究 1 直线与平面平行和直线与平面垂直时 直线与平面所成的角分别是多少 作斜线与平面所成角的关键是什么 2 求直线与平面所成角的基本步骤是什么 探究提示 1 直线与平面平行时直线与平面所成的角为0 直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是90 作斜线与平面所成角的关键是在斜线上任取一点 非斜足 作平面的垂线 2 求直线与平面所成角 首先作出直线与平面所成的角 然后通过证明线面垂直说明所作角为要求的角 最后在三角形中计算角的大小 解析 1 1 因为A1C1 平面ABCD 所以A1C1与平面ABCD所成的角为0 2 因为ABCD A1B1C1D1是正方体 所以BB1 平面A1B1C1D1 又因为A1C1 平面A1B1C1D1 所以BB1 A1C1 又四边形A1B1C1D1是正方形 所以A1C1 B1D1 又B1D1 平面BB1D1D BB1 平面BB1D1D BB1 B1D1 B1 所以A1C1 平面BB1D1D 所以A1C1与平面BB1D1D所成的角为90 3 因为ABCD A1B1C1D1是正方体 所以A1B1 平面BB1C1C 所以B1C1是A1C1在平面BB1C1C内的射影 所以 A1C1B1为A1C1与平面BB1C1C所成的角 因为A1B1C1D1是正方形 所以 A1C1B1 45 A1C1与平面BB1C1C所成的角为45 答案 1 0 2 90 3 45 2 过D作DE BC E为垂足 如图 则BE AD 1 DE AB 所以CE BC BE 4 1 3 所以在 ABD中 AD 1 AB BAD 90 所以所以BC2 BD2 CD2 所以BD DC 因为PD 平面ABCD 所以BD PD 而PD CD D 所以BD 平面PDC 所以CD是BC在平面PCD内的射影 所以 BCD为直线BC与平面PDC所成的角 所以在Rt BCD中 BDC 90 BD 2 BC 4 所以sin BCD 所以 BCD 30 所以直线BC与平面PCD所成角为30 互动探究 题1正方体中 若E为棱AB的中点 求直线B1E与平面BB1D1D所成角的正切值 解析 连接AC交BD于点O 过E作EO1 AC交BD于点O1 连接B1O1 易证AC 平面BB1D1D 所以EO1 平面BB1D1D 所以B1O1是B1E在平面BB1D1D内的射影 所以 EB1O1为B1E与平面BB1D1D所成的角 设正方体的棱长为a 因为E是AB的中点 EO1 AC 所以O1是BO的中点 拓展提升 求斜线与平面所成角的基本步骤 变式训练 如图在底面为菱形的四棱锥P ABCD中 PA AB a PB PD AC a 求直线PC与底面ABCD所成角的大小 解析 因为PA AB a PB 即PA2 AB2 PB2 所以PA AB 同理可证PA AD 又AD AB A 所以PA 平面ABCD 则 PCA为直线PC与底面ABCD所成角 因为AC a 所以 PCA 45 易错误区 线面垂直证明和应用中的误区 典例 2013 荆州高一检测 如图 三棱锥V ABC中 VO 平面ABC O CD VA VB AD BD 则下列结论中不一定成立的是 A AC BCB VC VDC AB VCD S VCD AB S ABC VO 解析 选B 因为VA VB AD BD 所以VD AB 因为VO 平面ABC AB 平面ABC 所以VO AB 又VO VD V VO 平面VCD VD 平面VCD 所以AB 平面VCD 又CD 平面VCD VC 平面VCD 所以AB VC AB CD 又AD BD 所以AC BC 线段垂直平分线的性质 因为VO 平面ABC 所以VV ABC S ABC VO 因为AB 平面VCD 所以VV ABC VB VCD VA VCD S VCD BD S VCD AD S VCD BD AD S VCD AB 所以S ABC VO S VCD AB即S VCD AB S ABC VO 综上知A C D正确 误区警示 防范措施 1 解答线面垂直问题要找准 题眼 线面垂直问题中 通常要在线线垂直和线面垂直之间相互转化 但往往有一处关键的线面垂直关系 将题目条件和所证结论联系起来 也就是解题的 题眼 如本例中AB 平面VCD就是解题的 题眼 所在 2 重视线面垂直和几何体体积计算问题的结合求柱 锥 台体的体积关键是求高 而求高的关键是证明线面垂直确定高的位置 如本例中 根据VO 平面ABC可以考虑VV ABC S ABC VO 根据AB 平面VCD可考虑VV ABC VB VCD VA VCD 类题试解 2013 瑞安高一检测 正方体ABCD A1B1C1D1中 过点A作平面A1BD的垂线 垂足为点H 以下结论中 错误的是 A 点H是 A1BD的垂心B AH 平面CB1D1C AH的延长线经过点C1D 直线AH和BB1所成的角为45 解析 选D 因为AH 平面A1BD BD 平面A1BD 所以BD AH 又BD AA1 且AH AA1 A 所以BD 平面AA1H 又A1H 平面AA1H 所以A1H BD 同理可证BH A1D 所以点H是 A1BD的垂心 A正确 因为平面A1BD 平面CB1D1 所以AH 平面CB1D1 B正确 易证AC1 平面A1BD 因为过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 所以