第一章_数字逻辑电路基础(刘勇)1

华南农业大学应用物理系刘勇 电子技术基础 数字部分 e mail huanongly 数字逻辑电路与系统设计 绪论 一 电子技术的发展及其应用 20世纪初 电子管作为主要的电子元件 60年代初 模拟和数字集成电路相继上市 1947年 第一只晶体三极管问世 70年代末 微处理器面世 当前 数字电路已进入片上系统 SystemonaChip 简称SOC 和片上可编程系统 SystemonaProgrammableChip 简称SOPC 阶段 绪论 二 模拟电子技术和数字电子技术的相互关系 模拟信号 时间和幅值上均连续的信号 时间和幅值上均离散的信号 数字信号 1 模拟信号和数字信号的区别 绪论 模拟电路主要应用于 电源 滤波 信号发生以及信号放大和控制等领域 2 模拟电路与数字电路的不同应用 处理模拟信号的电路称为模拟电路 处理数字信号的电路称为数字电路 电子电路的作用是 处理信号 数字电路主要应用于 脉冲信号产生 逻辑判断与控制 数字信号的运算 储存 传输以及压缩与解压等领域 开关电源 信号的测量 信号的转换 温度传感器 信号的转换 湿度传感器 信号的转换 气体传感器 一氧化碳传感器 弗里昂传感器 氨气传感器 氢气传感器 氧气传感器 信号的转换 压力传感器 信号的转换 光电传感器 信号的处理 信号的输出和控制 信号的输出和控制 绪论 总结 数字电路和模拟电路在工作信号 研究的对象 分析和设计方法都有显著的不同 三 模拟信号向数字信号的转变过程 a 输入模拟信号 b 取样脉冲 c 取样信号 d 取样保持信号 数字电路中工作信号为二进制的数字信号的原因 1 基本单元简单 有利于实现电路的集成化 2 符合逻辑状态 既可数值运算 又能逻辑 判别 运算 3 数字信号通用性好 保密性强 适合长期保存 绪论 为什么在数字电路中工作信号为二进制的数字信号 绪论 四 数字电路的分类及特点 1 数字电路的分类 数字电路 又称数字逻辑电路 可分为组合逻辑电路和时序逻辑电路两大类 逻辑门电路是数字电路的基本单元 它主要以电子开关为基本器件组成 2 数字集成电路的特点 稳定性高 结果的再现性好 易于设计 大量生产 成本低廉 可编程性 高速度 低功耗 绪论 五 数字电路的分析 设计与测试 1 数字电路的分析方法 数字电路主要研究的是电路的输入与输出信号之间的逻辑关系 数字电路分析所采用的分析工具为逻辑代数 而表达电路输入与输出信号关系主要用真值表 逻辑图 逻辑函数表达式或波形图 随着计算机技术的发展 借助计算机仿真软件 可更直观 快捷和全面地对电路进行分析 绪论 2 数字电路的设计与测试 数字电路的设计是从给定的逻辑功能要求出发 确定输入 输出变量 选择适当的逻辑器件 设计出符合要求的逻辑电路 数字电路的测试需要具备数字电压表和电子示波器等设备 数字电路的设计过程一般分为方案的提出 验证和修改三个阶段 现已趋向于基于EDA软件进行设计 绪论 六 课程简介 第一章数字逻辑基础 第四章常用组合逻辑功能器件 第二章逻辑门电路 第三章组合逻辑电路 第五章时序逻辑电路 第六章常用时序逻辑功能器件 第七章半导体存储器和可编程逻辑器件 第八章脉冲信号的产生和整形 第九章数 模与模 数转换 绪论 七 教学基本要求 了解数字信号与数字电路的基本概念 特点和表示方法 掌握数制转换 基本逻辑运算及逻辑函数化简的方法 熟知TTL和CMOS门电路的性能指标 特点 差异和使用 熟练掌握组合和时序逻辑电路的分析与设计方法及其应用 熟悉半导体存储器的基本使用及可编程逻辑器件的结构和原理 掌握各种脉冲信号的产生和变换的方法 掌握各类A D与D A电路的工作原理和主要参数计算 绪论 八 学习方法 理解数字信号与数字电路的基本概念 特点和表示方法 重点掌握数字电路的分析和设计方法 与实验和课程设计相结合 着重培养解决问题的能力 充分重视课后习题的练习 认真完成作业 绪论 九 考核的方式 平常成绩占总评 30 期末考试成绩占总评 70 绪论 参考资料 著者 阎石 绪论 参考资料 绪论 参考资料 著者 陈继荣华蓓 著者 孟宪元 绪论 参考资料 著者 刘宝琴 著者 侯伯亨顾新 第一章数字逻辑电路基础 一 数字信号的描述方法 1 二值数字逻辑和逻辑电平 数字电路中 既可用0和1组成的二进制数表示数量大小 用于算术运算 也可用0和1表示两种对立逻辑状态的逻辑关系 二值逻辑关系 例如 高 低电平 2 数字波形 数字波形是逻辑电平对时间的图形表示 第一章数字逻辑电路基础 数据传输速率 每秒钟传输数据的位数称为数据率或比特率 Bitrate 例如 若每位数据的传输时间为648ns 则系统的比特率为1 544兆位 秒 非归零型 归零型 数字波形的两种类型 归零型信号 非归零型信号 第一章数字逻辑电路基础 波形周期与占空比 波形周期性重复的时间为波形周期 对单脉冲周期信号 脉冲宽度tw 表示脉冲作用的时间 则占空比为 非周期性数字波形 周期性数字波形 二 数字信号的几个基本概念 1 数字波形的周期性和非周期性 第一章数字逻辑电路基础 脉冲幅值的10 到90 时所经历的时间称为上升时间tr 反之 为下降时间tf 脉冲幅值的50 的两个时间点的差值称为脉冲宽度tw 2 实际数字信号波形 第一章数字逻辑电路基础 三 数制与数制转换 数制 是指进位计数制 即用进位的方法来计数 数制包括计数符号 数码 和进位规则两个方面 常用数制有十进制 二进制 八进制 十六进制等 第一章数字逻辑电路基础 1 1 1常用数制 1 十进制 计数符号 数码 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 基数 计数符号的个数 例 1987 45 1 103 9 102 8 101 7 100 4 10 1 5 10 2 任意一个十进制数N均可展开为 进位规则 逢十进一 十为基数 式中 n为十进制数的整数位的个数 m为小数位的个数 下标表示该数的数制 若以D表示基数 则上式可表示为 任意一个十进制数N均可展开为 式中 ai为第i位的系数 同样n为数值的整数位的个数 m为小数位的个数 Di称为第i位的 权 第i位的 权 第一章数字逻辑电路基础 代入基数即有 同理 二进制数也可以由下式以权按十进制展开 例 101 11 2 1 22 0 21 1 20 1 2 1 1 2 2 2 二进制 101 11 2 5 75 10 第一章数字逻辑电路基础 二进制的运算规则 加法运算 0 2 0 2 0 2 1 2 1 2 10 2 1 2 0 2 0 2 1 2 1 2 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 3 八进制 同理 八进制数也可以由下式以权按十进制展开 例 374 6 8 3 82 7 81 4 80 6 8 1 374 6 8 252 75 10 例 6D 4B 16 6 161 13 160 4 16 1 11 16 2 4 十六进制 同理 十六进制数也可以由下式以权按十进制展开 计数符号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 6D 4B 16 109 293 10 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 二进制 八进制 十进制 十六进制 逢二进一 逢八进一 逢十进一 逢十六进一 第一章数字逻辑电路基础 不同进制数的对照表 1 1 2不同数制之间的转换 1 二 十进制转换 按权展开法 第一章数字逻辑电路基础 例 101 01 2 1 22 0 21 1 20 0 2 1 1 2 2 101 01 2 5 25 10 2 十 二进制转换 提取2的幂法 45 5 10 32 8 4 1 0 5 1 25 0 24 1 23 1 22 0 21 1 20 1 2 1 101101 1 2 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 基数连除 连乘法 第一章数字逻辑电路基础 上式表明 把十进制数的整数部分除以2 得出余数 再反复将每次得到的商再除以2 求得每次的余数 就可以求得二进制数整数部分的每一位 第一章数字逻辑电路基础 上式表明 把十进制数的小数部分乘以2 得出整数 再反复将每次得到的乘积的小数部分乘以2 求得每次的整数 就可以求得二进制数小数部分的每一位 例 将 173 8125 10化成二进制数 整数部分为 173 10 10101101 2 小数部分 0 8125 10 0 1101 2 最后 173 8125 10 10101101 1101 2 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 3 二 十六进制转换 例 将 1011110 1011001 2化为十六进制数 01011110 10110010 2 5E B2 16 4 十六 二进制转换 例 将 8FAC6 16化为二进制数 8FAC6 16 10001111101011001010 2 第一章数字逻辑电路基础 5 二 八进制转换 例 将 11110 010111 2化为八进制数 011110 010111 2 36 27 8 6 八 二进制转换 例 将 52 43 8化为二进制数 52 43 8 101010 100011 2 7 十六进制数与十进制数转换 十六进制数转换成十进制数可按下式以权展开求得 第一章数字逻辑电路基础 十进制数转换成十六进制数 通过二进制转换 第一章数字逻辑电路基础 1 2几种简单的编码 1 二 十进制码 BCD码 BinaryCodedDecimalcodes 用四位二进制代码来表示一位十进制数码 这样的代码称为二 十进制码 或BCD码 四位二进制有16种不同的组合 可以在这16种代码中任选10种表示十进制数的10个不同符号 选择方法很多 选择方法不同 就能得到不同的编码形式 常见的BCD码有8421码 5421码 2421码 余3码等 第一章数字逻辑电路基础 常用BCD码 第一章数字逻辑电路基础 1 有权BCD码 每位数码都有确定的位权的码 例如 8421码 5421码 2421码 如 5421码1011代表5 0 2 1 8 2421码1100代表2 4 0 0 6 其中5421BCD码和2421BCD码不唯一 例如 6的2421BCD码除了可以用1100表示外 也可以0110表示 在上表中 8421BCD码和代表0 9的二进制数一一对应 第一章数字逻辑电路基础 5421BCD码的前5个码和8421BCD码相同 不同的是其后5个码在前5个码的基础上加1000构成 这样的码 前5个码和后5个码一一对应相同 仅高位不同 2421BCD码的前5个码和8421BCD码相同 不同的是其后5个码以中心与前5个码对称取反 这样的码称为自反代码 例 4 0100与5 1011 3 0011与6 1100 第一章数字逻辑电路基础 2 无权BCD码 每位数码无确定的位权 例如 余3码 余3码的编码规律为 在8421BCD码上加0011 2 格雷码 Gray码 格雷码为无权码 特点为 相邻两个代码之间仅有一位不同 其余各位均相同 每一位的状态变化都按一定的顺序循环 具有这种特点的代码称为循环码 格雷码是循环码 应用 减少过渡噪声 格雷码和四位二进制码之间的关系 设四位二进制码为B3B2B1B0 格雷码为R3R2R1R0 则 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 3 奇偶校验码 原代码的基础上增加一个码位 使代码中含有的1的个数均为奇数 称为奇校验 或偶数 称为偶校验 通过检查代码中含有的1的奇偶性来判别代码的合法性 最高位是奇偶校验位 奇偶校验码是具有检错能力的代码 第一章数字逻辑电路基础 4 字符数字码 美国信息交换的标准代码 简称ASCII 是应用最为广泛的字符数字码 见书本P11 字符数字码能表示计算机键盘上能看到的各种符号和功能键 第一章数字逻辑电路基础 1 3算术运算 1 3 1二进制加法 0 0 01 0 0 1 11 1 10 1 1 1 11 前一位的进位 例 101 101 5 625 10 111 011 7 375 10 1 3 2有符号数的表示方法 二进制数的三种表示方法 原码 反码和补码 补码系统表示有符号数 补码的定义 最高位是符号位 正数为0 负数为1 正数的补码和它的原码相同 负数的补码可通过将原码的数值位逐位取反 然后在最低位加1得到 45 10 45 10 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 第一种情况 两个正数相加 第二种情况 正数与一个数值比它小的负数相加 1 3 3补码系统中的加法 加数与被加数位数要相同 符号位同数值位一样要参与运算 第一章数字逻辑电路基础 第三种情况 正数与比它大的负数相加 1011的补码为 0101 第四种情况 两个负数相加 0011的补码为 1101 第一章数字逻辑电路基础 1 4逻辑代数中的逻辑运算 研究数字电路的基础为逻辑代数 由英国数学家GeorgeBoole在1847年提出的 逻辑代数也称布尔代数 在逻辑代数中 变量常用字母A B Z或a b z等表示 变量的取值只能是 0 或 1 逻辑代数中只有三种基本逻辑运算 即 与 或 非 第一章数字逻辑电路基础 1 与逻辑运算 定义 只有决定一事件的全部条件都具备时 这件事才成立 如果有一个或一个以上条件不具备 则这件事就不成立 这样的因果关系称为 与 逻辑关系 与逻辑电路 1 4 1基本逻辑运算 第一章数字逻辑电路基础 若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量 0 表示 将开关合上和灯亮的状态用逻辑量 1 表示 则上述状态表可表示为 与门的逻辑功能概括 1 有 0 出 0 2 全 1 出 1 第一章数字逻辑电路基础 2 或逻辑运算 定义 在决定一事件的各种条件中 只要有一个或一个以上条件具备时 这件事就成立 只有所有的条件都不具备时 这件事才不成立 这样的因果关系称为 或 逻辑关系 或逻辑电路 第一章数字逻辑电路基础 或门的逻辑功能概括为 1 有 1 出 1 2 全 0 出 0 3 非逻辑运算 定义 假定事件F成立与否同条件A的具备与否有关 若A具备 则F不成立 若A不具备 则F成立 F和A之间的这种因果关系称为 非 逻辑关系 第一章数字逻辑电路基础 与门和或门均可以有多个输入端 非逻辑电路 第一章数字逻辑电路基础 1 4 2复合逻辑运算 1 与非逻辑 将与逻辑和非逻辑组合而成 第一章数字逻辑电路基础 2 或非逻辑 将或逻辑和非逻辑组合而成 第一章数字逻辑电路基础 3 与或非逻辑 由与 或 非三种逻辑组合而成 与或非门的逻辑符号 异或逻辑的功能为 1 相同得 0 2 相异得 1 4 异或逻辑 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 5 同或逻辑 第一章数字逻辑电路基础 本课程中 门电路表示方法均采用 国标 教材第18页表1 15中给出了门电路的几种表示方法 国外流行的电路符号常见于外文书籍中 我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中 也常使用这些符号 第一章数字逻辑电路基础 1 4 3正逻辑与负逻辑 门电路的输入 输出为二值信号 用 0 和 1 表示 这里的 0 1 一般用两个不同电平值来表示 若用高电平VH表示逻辑 1 用低电平VL表示逻辑 0 则称为正逻辑约定 简称正逻辑 若用高电平VH表示逻辑 0 用低电平VL表示逻辑 1 则称为负逻辑约定 简称负逻辑 第一章数字逻辑电路基础 对一个特定的逻辑门 采用不同的逻辑表示时 其门的名称也就不同 第一章数字逻辑电路基础 1 5逻辑代数的基本定律和规则 1 5 1逻辑函数的相等 因此 如两个函数的真值表相等 则这两个函数一定相等 设有两个逻辑 F1 f1 A1 A2 An F2 f2 A1 A2 An 如果对于A1 A2 An的任何一组取值 共2n组 F1和F2均相等 则称F1和F2相等 反之 如两个函数相等 则两个函数的真值表一定相同 第一章数字逻辑电路基础 自等律A 1 A A 0 A 重迭律A A A A A A 交换律A B B A A B B A 结合律A BC AB C A B C A B C 分配律A B C AB AC A BC A B A C 1 5 2基本定律 0 1律A 0 0 A 1 1 反演律也称德 摩根定理 是一个非常有用的定理 第一章数字逻辑电路基础 1 5 3逻辑代数的三条规则 1 代入规则 任何一个含有变量x的等式 如果将所有出现x的位置 都用一个逻辑函数式F代替 则等式仍然成立 第一章数字逻辑电路基础 设F为任意逻辑表达式 若将F中所有运算符 常量及变量作如下变换 01原变量反变量 10反变量原变量 2 反演规则 第一章数字逻辑电路基础 由F求反函数时要注意 1 保持原式运算的优先次序 2 原式中的不属于单变量上的非号不变 第一章数字逻辑电路基础 3 对偶规则 则所得新的逻辑表达式为F的对偶式 记为F 第一章数字逻辑电路基础 对偶是相互的 F和F 互为对偶式 求对偶式注意 1 保持原式运算的优先次序 2 原式中的长短 非 号不变 3 单变量的对偶式为自己 对偶规则 若有两个逻辑表达式F和G相等 则各自的对偶式F 和G 也相等 使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便 已知A B C AB AC A BC A B A C 例 第一章数字逻辑电路基础 1 5 4逻辑代数的常用公式 1 消去律 证明 2 吸收律1 A AB A 证明 A AB A 1 B A 1 A A A B A 第一章数字逻辑电路基础 3 吸收律2 证明 4 包含律 证明 第一章数字逻辑电路基础 5 关于异或和同或运算 第一章数字逻辑电路基础 异或和同或的其他性质 利用异或门可实现数字信号的极性控制 同或功能由异或门实现 第一章数字逻辑电路基础 借助以上介绍的逻辑代数中的基本定律 三个规则和常用公式 可以对复杂的逻辑表达式进行推导 变换和简化 非常有利于逻辑电路的分析和设计 注意 逻辑代数中不能简单套用普通代数的运算法则 在逻辑代数中 不存在指数 系数 减法和除法 逻辑等式两边相同项不能随便消去 例如 A A A A A 2A A A B A A B 1 第一章数字逻辑电路基础 1 6逻辑函数的表达形式 常用的逻辑函数表达式 为什么需要这么多种不同的函数表达式形式 因为需要根据电路元件的选取 采用不同的函数表达式形式来进行数字电路的设计 第一章数字逻辑电路基础 1 6 1常用的逻辑函数式 第一章数字逻辑电路基础 1 6 2函数的 与 或 式和 或 与 式 与 或 式 指一个函数表达式中包含若干个 与 项 以这些 与 项的 或 表示这个函数 或 与 式 指一个函数表达式中包含若干个 或 项 以这些 或 项的 与 表示这个函数 第一章数字逻辑电路基础 利用逻辑函数的基本公式 总可以把任何一个逻辑函数式展开成与或式和或与式 其中 与或式又称为积之和式 或与式又叫和之积式 逻辑函数的表达式具有多种多样的形式 什么情况下逻辑函数才能有一个相应唯一的表达式 若逻辑函数是与或式 且其中的每个乘积项均为最小项 则该逻辑函数展开成的与或式是唯一的 若逻辑函数以与或式表示 且其中的每个和 或 项均为最大项 则该逻辑函数展开成的与或式是唯一的 第一章数字逻辑电路基础 1 6 3最小项和最大项 最小项的定义及性质 1 最小项是一种特殊的 与 项 其特点为 n变量逻辑函数最多有2n个最小项 最小项的表示 通常用mi表示最小项 下标i为最小项编号 2 最小项的编号和性质 以原变量的方式表示1 以反变量的方式表示0 最小项的编号 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 最小项具有以下的性质 对于任意一个最小项 输入变量只有一组取值使得它的值为1 而在变量取其他各组值时 这个最小项的值都是0 不同的最小项 使它的值为1的那一组输入变量取值也不同 对于输入变量的任一组取值 任意两个最小项乘积为0 对于输入变量的任一组取值 全体最小项之和为1 相邻的两个最小项之和 可以合并成一项 等于相同因子之积 并消去一个因子 相邻的概念 两最小项如仅有一个变量因子不同 其他变量均相同 则称这两个最小项相邻 相邻最小项相 加 的情况 第一章数字逻辑电路基础 逻辑函数的标准与或式 最小项表达式 利用逻辑代数的基本公式 可以把任一个逻辑函数化成若干个最小项之和的形式 称为逻辑函数的标准与或式 最小项表达式 m1 m3 m6 m7 第一章数字逻辑电路基础 m3 m5 m6 m7 m 3 5 6 7 第一章数字逻辑电路基础 最大项 1 最大项是一种特殊的 或 项 其特点为 n个变量构成的每个最大项 一定是包含n个因子的 或 项 在各个最大项中 每个变量必须以原变量或反变量形式作为因子出现一次 而且仅出现一次 若逻辑函数只有两变量A和B时 则最大项共4项分别为 A B 第一章数字逻辑电路基础 若逻辑函数有A B C三变量 则最大项共有八项 2 最大项编号 任一个最大项用Mi表示 M表示最大项 下标i为使该最大项为0的变量取值 所对应的等效十进制数 A B C 第一章数字逻辑电路基础 逻辑函数的最大项之积的形式为 或与 式 例如 M 0 2 4 注 任一逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式 而且是唯一的 此外 任一逻辑函数也可以表达为最大项之积的形式 而且也是唯一的 3 逻辑函数的标准或与式 最大项表达式 第一章数字逻辑电路基础 3 最大项的性质 变量任取一组值 仅有一个最大项为0 其它最大项为1 n变量的全体最大项之积为0 不同的最大项相或 结果为1 两相邻的最大项相 与 可以合并成一项 并可以消去一个变量因子 相邻的概念 两最大项如仅有一个变量因子不同 其他变量均相同 则称这两个最大项相邻 任一n变量的最大项 必定和其他n个不同最大项相邻 最小项和最大项的关系 编号下标相同的最小项和最大项互为反函数 即 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 1 6 4逻辑函数的两种标准形式 标准与或式和标准或与式 最小项之和式为 与或 式 例 m 2 4 6 2 4 6 1 逻辑函数的标准与或式 第一章数字逻辑电路基础 注 任一逻辑函数都可以表达为最小项之和的形式 而且是唯一的 m 1 3 6 7 第一章数字逻辑电路基础 逻辑函数的最大项之积的形式为 或与 式 例 M 0 2 4 0 2 4 注 任一逻辑函数都可以表达为最大项之积的形式 而且是唯一的 2 逻辑函数的标准或与式 第一章数字逻辑电路基础 M 1 4 5 6 若F mi 3 标准与或式和标准或与式的关系 例 F A B C 1 3 4 6 7 0 2 5 第一章数字逻辑电路基础 1 7各种逻辑函数的表示方式的相互转换 1 7 1逻辑函数式与真值表 1 由逻辑函数式列真值表 由逻辑函数式列真值表可采用三种方法 以例说明 例 试列出下列逻辑函数式的真值表 F A B C AB BC 第一章数字逻辑电路基础 方法一 将A B C三变量的所有取值的组合 共八种 分别代入函数式 逐一算出函数值 填入真值表中 方法二 先将函数式F表示为最小项之和的形式 m 3 6 7 F A B C AB BC 第一章数字逻辑电路基础 最后 根据最小项的性质 在真值表中对应于ABC取值为011 110 111处填 1 其它位置填 0 第一章数字逻辑电路基础 方法三 根据函数式F的含义 直接填表 函数F AB BC表示的含义为 1 当A和B同时为 1 即AB 1 时 F 1 2 当B和C同时为 1 即BC 1 时 F 1 3 当不满足上面两种情况时 F 0 第一章数字逻辑电路基础 方法三是一种较好的方法 要熟练掌握 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 根据最小项的性质 用观察法 可直接从真值表写出函数的最小项之和表达式 例 已知函数F的真值表如右 求逻辑函数表达式 2 由真值表写出逻辑函数式 第一章数字逻辑电路基础 解 由真值表可见 当ABC取011 101 110 111时 F为 1 因此 F由4个最小项组成 F A B C m 3 5 6 7 ABC ABC ABC ABC 第一章数字逻辑电路基础 1 7 2逻辑函数式与逻辑图 例 已知逻辑函数式为F A B C 请画出逻辑图 解 逻辑函数式F A B C 对应的逻辑图为 1 由逻辑函数式画出逻辑图 第一章数字逻辑电路基础 2 由逻辑图写出逻辑函数式 例 已知逻辑图如右 请写出逻辑函数式 逻辑表达式为 解 简单的逻辑电路设计举例 例2 6 设计一个三人的投票表决器 第一章数字逻辑电路基础 L BC AC AB 第一章数字逻辑电路基础 L C B A B C A 还可以这样化简 L BC AC AB 第一章数字逻辑电路基础 根据逻辑表达式 L BC AC AB画出的逻辑图见图1 第一章数字逻辑电路基础 假如现在只有与非门 则逻辑函数表达式应为 2 3逻辑函数的化简 化简的意义 节省元器件 降低电路成本 提高电路可靠性 减少连线 制作方便 最简与或表达式的标准 所得与或表达式中 乘积项数目最少 每个乘积项中所含的变量数最少 第一章数字逻辑电路基础 2 3 1逻辑函数的代数化简法 针对某一逻辑式 反复运用逻辑代数公式消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子 使函数式符合最简标准 化简中常用方法 并项法 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 C A B C A B C 或解 C 第一章数字逻辑电路基础 吸收法 利用公式 A AB A 第一章数字逻辑电路基础 消项法 第一章数字逻辑电路基础 消因子法 AB C 第一章数字逻辑电路基础 配项法 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 2 3 2逻辑函数的卡诺图化简法 卡诺图化简法简称图解法 这种方法是美国工程师卡诺提出来的 所以又称卡诺图法 该方法是将逻辑函数用一种称为 卡诺图 的图形来表示 然后在卡诺图上进行函数的化简 实质 将逻辑函数的最小项之和以图形的方式表示出来 第一章数字逻辑电路基础 以2n个小方块分别代表n变量的所有最小项 并将它们排列成矩阵 而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的 只有一个变量不同 就得到表示n变量全部最小项的卡诺图 几何相邻性 即几何位置上相邻 也就是左右紧挨着或者上下相接 对称相邻性 即图形中对称位置的单元是相邻的 卡诺图的构成 卡诺图中几何位置相邻的含义 第一章数字逻辑电路基础 两变量卡诺图如右图所示 A B 0 1 0 1 例 三变量卡诺图如下图所示 两变量 两个相邻最小项 三变量 三个相邻最小项 最高位 第一章数字逻辑电路基础 卡诺图的特点 卡诺图中的小方块数等于最小项总数 即等于2n n为变量数 变量取值不能按二进制数的顺序排列 必须按循环码排列 这样保障了相邻最小项只有一个变量是相反的 而其余变量是相同的 两个相邻最小项相加 或 可以消去一项 且消除一个因子 这个特点是卡诺图简化逻辑函数的依据 卡诺图是一个闭合的图形 即不但紧挨着的方块是相邻的 而且上下 左右相对应的方框也是相邻的 第一章数字逻辑电路基础 各种常用的卡诺图 以最高位从0到1的界线为轴线 除最高位相反外 其余低位相对称 三变量卡诺图 第一章数字逻辑电路基础 L m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 例2 13 求当m1 m3 m4 m5 m6 m7为0 m0 m2为1时的逻辑函数表达式 三变量卡诺图化简举例 相应卡诺图中为1的相邻项合并 第一章数字逻辑电路基础 为什么一般的卡诺图只有四个变量 超过怎么办 第一章数字逻辑电路基础 五变量卡诺图已经不能直观地用平面上的几何相邻来表示逻辑相邻 因为以中轴左右对称的最小项也是相邻的 卡诺图失去了直观性的优点 因此 逻辑函数的变量超过4个时 一般不用这种方法表示和化简逻辑函数 5个以上的逻辑函数可采用奎恩 麦克拉斯基化简法进行化简 该方法克服了代数化简法和卡诺图化简法的局限性 适用于任何复杂逻辑函数的化简 适用于计算机辅助化简程序 第一章数字逻辑电路基础 逻辑函数的卡诺图表示法 用卡诺图表示逻辑函数 只是把各组变量值所对应的逻辑函数L的值 填在对应的小方格中 具体是 卡诺图其实是真值表的另一种画法 将函数表示为最小项之和的形式 F mi 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 其余地方添0 第一章数字逻辑电路基础 00000 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 因此 逻辑函数可展开为 L m 1 4 6 8 9 10 11 第一章数字逻辑电路基础 逻辑函数的卡诺图化简 1 化简的依据 由于卡诺图相邻性的特点保证了几何相邻两方格所代表的最小项只有一个变量不同 因此 当相邻的方格为 1 简称 1 格时 则对应的最小项就可以加以合并 合并的最小项可以消去其不同的那个变量 只保留相同的变量 卡诺图中具有相邻性的最小项可以合并 并消去不同的因子 第一章数字逻辑电路基础 2 用卡诺图化简逻辑函数的一般步骤 画出逻辑函数的卡诺图 合并最小项 即将相邻的为 1 的方格圈成一组 画包围圈时应遵循如下的原则 包围圈内的方格数一定是2n个 且包围圈必须呈矩形 循环相邻特性包括上下底 左右边相邻和四角相邻 同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次 但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格 包围圈的数目要尽可能少 包围圈内方格数尽可能多 将所有包围圈对应的乘积项相加 第一章数字逻辑电路基础 3 在卡诺图上合并最小项的规则 卡诺图上任何两个标 1 的方格相邻 可以合为一项 并可消去一个变量 例2 16 卡诺图上两个相邻项的合并 例2 17 卡诺图上任意两个相邻项合并的情况二 第一章数字逻辑电路基础 第一章数字逻辑电路基础 卡诺图上任何四个标 1 相邻方格 可合并为一项 并可消去两个变量 标 1 相邻方格同在一行 列 标 1 相邻方格同在一个田字格 第一章数字逻辑电路基础 标 1 相邻方格组成的包围圈在不同位置的情况 第一章数字逻辑电路基础 卡诺图上任何八个标 1 相邻方格 可合并为一项 并可消去三个变量 第一章数字逻辑电路基础 综上所述 在n个变量的卡诺图中 只有2的i次方个相邻的标 1 方格 必须排列成方形格或矩形格的形状 才能圈在一起 合并为一项 该项保留了原来各项中n i个相同的变量 消去i个不同变量 第一章数字逻辑电路基础 例2 18 请将L A B C m 3 4 5 6 7 化为最简与或式 解 非最简 L A BC L A BC 最简 第一章数字逻辑电路基础 例2 19 请将L A B C D m 0 1 3 7 8 10 13 化为最简与或式 1 画出卡诺图 2 根据表达式填卡诺图 3 圈出孤立的标 1 方格 4 找出只被一个最大的圈所覆盖的标 1 方格 并圈出覆盖该标 1 方格的最大圈 解 5 将剩余的相邻标 1 方格 圈成圈数尽可能少 而且圈的范围尽可能大的圈 6 将各个对应的乘积项相加 写出最简与或式 第一章数字逻辑电路基础 解 第一章数字逻辑电路基础 4 采用卡诺图化简要注意的几个问题 a 每一个标 1 的方格必须至少被圈一次 b 每个圈中包含的相邻小方格数 必须为2的整数次幂 c 为了得到尽可能大的圈 标 1 的方格允许被一个以上的圈所包围 因为A A A d 若某个圈中的所有标 1 方格 已经完全被其它圈所覆盖 则该圈为多余的 第一章数字逻辑电路基础 不正确 多一个圈 不正确 圈面不够大 不正确 有一圈无新 1 格 第一章数字逻辑电路基础 5 卡诺图法化简中的特殊情况 化简结果不唯一 两种结果都是最简式 解 第一章数字逻辑电路基础 6 用卡诺图求反函数的最简与或式 方法 合并卡诺图中标 0 的方格 可得到反函数的最简与或式 第一章数字逻辑电路基础 7 逻辑函数化简的技巧 对较为复杂的逻辑函数 可按以下方法化简 a 将函数分解成多个部分函数 b 画出各部分函数的卡诺图 c 通过各部分函数的卡诺图中对应方格的运算 求出函数的卡诺图 d 对函数的卡诺图进行化简 第一章数字逻辑电路基础 例2 23 化简逻辑函数 第一章数字逻辑电路基础 AB CD BC AD 第一章数字逻辑电路基础 不完全确定的逻辑函数及其化简 在某些实际数字电路中 逻辑函数的输出只和一部分最小项有确定对应关系 而和余下的最小项无关 余下的最小项无论写入逻辑函数式还是不写入逻辑函数式 都不影响电路的逻辑功能 这些最小项称为无关项 用英文字母d don tcare 表示 对应的函数值记为 包含无关项的逻辑函数称为不完全确定的逻辑函数 第一章数字逻辑电路基础 1 约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 约束项 由于逻辑变量之间具有一定的约束关系 使得有些变量的取值不可能出现 即所谓 未定义状态 它对应的最小项恒为零 通常称为约束项 例如 有三个逻辑变量A B C 它们分别代表电动机的正转 A 1 反转 B 1 和停止 C 1 的命令 因为电动机任何时候只执行其中的一个命令 所以不允许两个变量同时为1 即 d 0 3 5 6 7 0 这些恒等于0的最小项称为约束项 第一章数字逻辑电路基础 任意项 就是在输入变量的某些取值下 对应函数值是 1 还是 0 皆可 不影响电路的功能 在这些变量取值下 其值等于1的那些最小项称为任意项 约束项和任意项可以写入函数式 也可不包含在函数式中 因此统称为无关项 利用不完全确定的逻辑函数中的无关项往往可以将函数化得更简单 第一章数字逻辑电路基础 2 不完全确定的逻辑函数的化简 例2 25 设计一个奇偶判别电路 电路输入为8421BCD码 当输入为偶数时 输出为0 当电路输入为奇数时 输出为1 由于8421BCD码中无1010 1111这6个码 电路禁止输入这6个码 因此 这6个码对应的最小项为无关项 解 第一章数字逻辑电路基础 L A B C D m 1 3 5 7 9 d 10 15 第一章数字逻辑电路基础 L A B C D m 1 3 5 7 9 d 10 15 若不利用无关项 即将卡诺图中的 均作0处理 则化简结果为 第一章数字逻辑电路基础 若利用无关项 即将卡诺图中的 按化简的需要任意处理 将有些 当作0 有些 当作1 则化简结果为 L A B C D D 完整地将函数写为 d 10 11 12 13 14 15 0 第一章数字逻辑电路基础 第第一章数字逻辑电路基础 化简后函数可完整写为 d 3 5 9 10 12 14 15 0 第一