行列式及其性质

行列式与矩阵 n阶行列式的概念 行列式的性质与计算 Cramer法则 第六章 矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵 矩阵的初等变换 学习重点 余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念 行列式的引入 引例 用加减消元法求解二元线性方程组 如果规定 则有 二阶行列式 determinant 定义 a b c d 例根据定义计算行列式的值 主对角线元素之积减去副对角线元素之积 对角线法则 三阶行列式 对角线法则 例根据定义计算行列式的值 对角线法则 元素的余子式 元素的代数余子式 余子式 元素的余子式就是在行列式中划掉元素所在的行和列 余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式 代数余子式 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和 n阶行列式的定义 P222定义1 按第一行展开 例根据定义计算行列式的值 下三角形行列式 逐次按第一行展开 下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积 特别 三阶行列式等于第一列所有元素与其代数余子式乘积之和 定理 按第一列展开 上三角形行列式 逐次按第一列展开 上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积 例计算行列式的值 按第一列展开 行列式的性质及计算 第二节 学习重点 行列式的性质 行列式的按行按列展开定理 1 转置变换 或记作 行列式的几种变换 行 列对掉 称为行列式的转置行列式 Transpose 行变row 列变换column 交换i j两行 数K乘第i行 数K乘第j行后加到第i行上去 交换i j两列 数K乘第i列 数K乘第j列后加到第i列上去 2 换法变换 3 倍法变换 4 消法变换 换法变换 倍法变换 消法变换 行列式的性质 1 行列式转置后 其值不变 表明行与列是对等的 行具有的性质 列也具有 2 互换行列式的两行 列 行列式变号 推论 如果行列式D有两行 列 相同 则D 0 3 行列式的某一行 列 的所有元素都乘以同一数K 等于用数K乘此行列式 推论2 如果行列式D有一行 列 的元素全为零 则D 0 推论3 如果行列式D有两行 列 的元素对应成比例 则D 0 推论1 行列式中某一行 列 的元素的公因数可以提到行列式符号的外面 4 如果行列式的某一行 列 的元素都是两项的和 则可以把该行列式拆成两个行列式之和 5 把行列式的某一行 列 的元素都乘以同一个数k后 加到另一行 列 的对应元素上去 则行列式的值不变 如 即 交换i j两行 数K乘第i行 数K乘第j行后加到第i行上去 交换i j两列 数K乘第i列 数K乘第j列后加到第i列上去 2 换法变换 3 倍法变换 4 消法变换 换法变换 倍法变换 消法变换 1 转置变换 行与列对调 等值 变号 翻倍 等值 变号 翻倍 等值 利用行列式的性质计算行列式的值 行列式的展开与计算 定理行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和 推论行列式中某一行 或列 的元素与另一行 或列 对应元素的代数余子式乘积之和为零 小结 行列式按行展开得D 串行展开得零 例题 1 计算行列式的值 2 设有行列式 1 2 A11 A12 A13 A14分别是D的第一行元素的代数余子式 试求3A11 A12 3A13 A14的值 解答 1 1 解答 1 2 2 将代数式还原成行列式 得 1 计算下列行列式 1 2 2 证明 Vandermonde行列式 课堂练习 小结 行列式的计算方法 一般是先利用性质 用消法变换将行列式中某一行 或列 的元素尽可能地化为零 最好是只留下一个元素不为零 然后按该行 或列 展开 使行列式降阶 最终化为二阶行列