横观各向同性材料轴对称问题基本解

横观各向同性材料轴对称问题基本解 f f第16卷第4期应用力学学报Vo116No41999年l2月CHINESE JOURNALOF APPLIEDMECHANICS Dec1999横观各向同性材料轴对称问题基本解。 丁皓痘池毓蔚丁吕；0f_一_-一(新江大学杭州310027)(同祷大学上海xx2)摘要从横观各向同姓材料的基本解出发，用积分的方法得到了轴对称问题的基本解，对于材料特征振S王不相等或相等的两种可能情彤都路出了表达式，因此，可直接退化得到各向同性材料轴对称问题基末解。 关键词横砚各向同性；轴对称基本解彳宋三fJ引言旋转体轴对称应力分析问题在工程中具有重要意义。 对于各向同性体，在文17中有关于轴对称问题基本解和边界元法应用等广泛研究。 对于横观各向同性材料基本解，Elliot8、胡海昌9和Pan和Chou10等做了大量的研究，Ding等11给出了既适用各相同性也适用于横观各向同性材料的统一基本解。 直到最近Hanson和Yany wang12系统地给出无限体和半无限体圆环线载荷解，包括轴向、径向和切向三种载荷的解，但是，这些解的推导过多应用势理论的结果，显得数学昧重，力学昧步，表达式与各向同性表达式差异大，并且还要讨论z0，r=ro(文El2中rn为n)时的单项不连续性和总和连续性。 本文从丁皓江等13横观各向同性材料的基本解出发，用积分的方法得到了轴对称问题的基本解，对于材料特征根互不相等或相等的两种可能情形都给出了表达式。 本文基本解推导简单易懂，便于应用，并可直接退化得到各向同性材料轴对称问题基本解。 2无限体内作用均布圆环线载荷的解设，平面为各向同性面，同时取一柱坐标系(r，z)，在一0平面的r圆环上有均布力作用，要求无限体内任一点的有关响应。 不失一般性，轴对称问题中可取场点B的坐标为(r，0，2)，而任一源点的坐标在柱坐标和笛卡尔坐标系中分别为(，0)和(rocosO，rosin0，国家自髂科学基金赍髓项目来稿日期。 謦回日期，。 第4期横观各向同性材料轴对韩问皇基车o)。 源点到场点的矢量丽一(rroco，一rosina，z)。 21情形1)圆环载荷为线密度的z方向均布力的解假设在无限弹性体中沿过A点的圆环作用密度的z方向均布力在A点取微元弧roda则微元弧上作用z方向点力大小为PdrodO，由丁皓江等133式(312)一(314)，可以得到点的相应位移，然后对从0到2进行积分有位移的表达式一喜岛)+删【1)一塑(岛)，嘶一0=了-式中，。 =A，P，A和嘶由丁皓江等-133得到。 2)圆环裁荷为线密度的r方向均布力的解图1轴对称同题坐标系在A点取做元弧r。 ，则做元弧上作用有方向力r口cos#dO和方向力TdrsinOdO，显然由作用z方向和作用方向点力解的位移函数进行叠加可以得到点相应的位移函数。 在丁皓江等-133式(3122)给出了作用z方向点力71的位移函数以一一，(fl2) (2)容易得到Y方向作用点力的位移函数为一一一，“一1，2) (3)式中D。 已由丁皓江等El3式(3139)给出。 记石。 一T,D，T(f一1，2，3)，利用 (6)和 (7)两式进行叠加然后对0从02n进行积分，得位移函数表达式一一=2D一1一Sign(r)I If E(赢)+丁K(kD+11(d岛)l2)，一0“)将 (4)代入通解，就可以得到位移表达式=一f E(岛)一nK(kD，蜥一0=2a,D,z,E(，卜rm ro(，岛) (5)3)圆环载荷为线密度S的0方向均布力的解用和求解圆环裁荷为线密度r方向均布力的解相类似的过程，并记D一SD，T(i一1，2，3)D见丁皓江等El3式(3139)，可以得到位移表达式0一0，“=EtE(k3)一713K(k3)，一0 (6)相应地本文后面出现的己=尸c，P，ET-G7和聋=SG,T等，其中的Ci，G分别由丁皓江等E133的式(3119)(3121)和式(3144)定义。 在圆环载荷基本解中有第三类椭圆积分出现，例如式 (1)。 当z0而rro时，由附录a应用力学学报第16卷有d一一1，此时第三类椭圆积分(d，)值为无限值，下面我们将证明当r=rn时，所有这些含有第三类椭圆积分的项的总和为零。 对于第三类椭圆积分，有如下恒等式14；l(p，)+(，)()=詈F，o1，(r)=删一妻c詈一菩，kD+K当l屯l 一lim Sign(r-ro)砉擎一sI gnc一妻等南=Si gn(rro)一Sign(r一“)Sign(z)0上面证明中运用了+一0，这可以由丁皓江等13式(3112)得到，相似地，由丁皓江等13式(3133)有西+ct2D一=0，进而可以证明式 (5)中含有第三类椭圆积分的项的总和为零，这样，当r一时，令所有含第三类椭圆积分项的总和为零即可。 22S。 一情形利用丁皓江等13式(2266)给出的等根情形通解和式(3118)给出的位移函数，相应地按21中所述的方法进行推导就可以得到轴对称基本解；1)圆环载荷为线密度P的方向均布力的解“，2roz,L fLE(。 )一K(k。 )一一1)_o (7)2)圆环载荷为线密度的r方向均布力的解2G L牡(毛卜K(捌+I Lrrg卜K(。 )一一垒E(【)一K(k)，蜥0 (8)3)圆环载荷为线密度S的0方向均布力的解位移的表达式和不等根情形完全相同，但系数要改为0。 对于各向同性情形，将下列常数代入(”和 (8)等即可直接得到与文1，3，4相同基本解s1=s#一一1，口l；1，口334v，a一116g(1一)e一一pe=(3一,tv)a，=一a，0，一一4(1一v)as第4期横观各向阿性材料轴对称问题基本式中g是剪切模量是泊松比。 3结论与各向同性材料轴对称问题基本解相比较，本文给出的基本解中不仅含有第一类和第二类椭圆函数，还含有第三类椭圆函数，同时当和为共轭复数时，这些椭圆函数具有复函数，但位移和应力总是实的，本文基本解在0，r=r0时每一项也是连续的，这有利于数值计算。 因为三维点力解就保证了力作用线上(作用点除外)的连续性。 利用应力应变关系和椭圆函数微分关系，容易求出应力。 感谢本文工作得到国家自然科学基金资助。 参考文献1KErmidis TAnumerilolutlon foraxially symmetrical elas6city problemsInternational Journalof Sotids and Strutt l975114935D口2C?TA，Snow，DWand WilsonRBNumer icalsolution inBxiBymm nceiasllciyComputesSlrucl岬l9777，44544518威昆回转体轴对称同置的边界积分方程一边界元法，清华大学学撮1982465764杜庆华等边界积分方程方法一边界元法高等教育出版杜19895Rizo，FJand ShlppyDJA boundary integral approach10pDt酉Itial andelH；dly probls foraxlsymmettic bo divth arbltraryboun dary conditionsMhanles ResearchCom muaieatidn19796，991036M avrMDrez】er，Wand HuhnGA semianalytical bo undaryim egralapproach fora symme”elastic bodieswIh aT-bit玮Y bo undaryconditions。 【nle丌Ialj。 na【lournal of Solid*an dStr t19801686348717IebbiaCA。 Telies，L CFandWrobe1L CBoundaryd帅enlthniquesTheor yan dappti dnsinEnginingSpringer-Verlag19848EliiottHAThdimenslon astDi5”毗in Hegonal Aeolotopic CryslalsPen ding0Cambridge Philose-phY Society19484452245539胡海昌在体积力作用下横观吾向同性弹性体的平衡同题物理学报19551121923010pan+YC andChowT WPontforce solulidnfor aninfinitelrsnsvcselyisoropic solids lournalA pp liedMhanics1976，43，60846l211Di gHaoangLiangan andCb onb oo Theunited pointfrce solutionfor bo thisatropian dtrayitropicCommunical0Il ofNumerlcaM ethodsin Engineering，1997，13 (2)9510212h删，M Tand Yag Wang Cocentrmed ringIoadlngs ina hU spaceOT halfspace=Sohtios fort?rse isotropyan dismropyIntonat ionalJourn alofSolidsandSrTud一19973411)13791418l3丁皓江等横理各向同性彝性力学新江大学出版社1997