矩阵的乘法PPT课件

矩阵的乘法 西北师范大学 数学与信息科学学院 高等代数 面向21世纪新教材 高等代数 面向21世纪新教材 矩阵乘法的定义 矩阵乘法的应用 矩阵乘法的性质 课件导航 新课讲授 先从一个例子开始 第一周牛肉 羊肉 鸡蛋的价格 假设牛肉 羊肉 鸡蛋的价格在一周之内不发生变化 记录近三周牛肉 羊肉 鸡蛋的价格 得到如下价格矩阵 人民币 千克 第二周牛肉 羊肉 鸡蛋的价格 第三周牛肉 羊肉 鸡蛋的价格 设某个家庭每周对牛肉 羊肉 鸡蛋的需求分别是3千克 4千克 2千克 则需求矩阵B表示为 这个家庭近三周对上述三种食品的需求开支分别为 这个计算过程可以用如下的矩阵形式来表示 第一周 12 3 11 4 6 2 92 元 第二周 11 3 11 4 7 2 91 元 第三周 11 3 10 4 7 2 87 元 定义设A aij 是m n矩阵 B bij 是n p矩阵 则A与B的乘积AB是一个m p矩阵 这个矩阵的第i行第j列位置上的元素cij等于A的第i行的元素与B的第j列的对应元素的乘积的和 即 返回 由矩阵的定义可以看出 两个矩阵的乘积AB亦是矩阵 AB的行数等于矩阵A的行数 AB的列数等于矩阵B的列数 前行乘后列 乘积矩阵AB中第i行第j列的元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和 简称行乘列的法则 1 2 想一想 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵吗 矩阵要满足什么条件才能相乘呢 矩阵的乘法是否满足交换律呢 1 2 3 返回 例1 例2 例3 例4 例5 例6 矩阵乘法的性质 结合律 AB C A BC 其中A aij m n B bij n p C cij p q 2 数乘结合律k AB kA B A kB 其中k为任意实数 A aij m s B bij s n 3 分配律 A B C AC BC 其中A B都为m n矩阵 C cij n s C A B CA CB 其中C为m n矩阵 A B都为n s矩阵 返回 证明 证明 任意给定r个矩阵A1 A2 Ar 只要前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数 就可以把它们依次相乘 由于矩阵的乘法满足结合律 在作这样的乘积时 可以把因子任意结合 而乘积A1A2 Ar有完全确定的意义 我们再约定A0 In 这样 一个n阶方阵的任意非负整数次方有意义 以后要定义某些特殊方阵的负整数次方 将会看到 并不是每个方阵都有负整数次方 多个矩阵的乘积 特别地 一个n阶方阵A的r次方 r是正整数 有意义 例7设A是n阶数量矩阵 即 B bij 是n p矩阵 计算AB 因此有AB kB 即用数量矩阵A乘以矩阵B时 相当于用数k乘矩阵B 如果C是m n矩阵 那么类似地容易验证 CA kC 即C乘以数量矩阵A时 相当于用数k乘矩阵C 这就是数量矩阵有时也叫做数乘矩阵的原因 特别地 在n阶数量矩阵中 当k 1时 A就变成为 称In为n阶单位矩阵 这时 有 InB B CIn C 因此 n阶方阵In在矩阵的乘法运算中所起的作用相当于数1在数的乘法运算中所起的作用 这就是为什么把In称为单位矩阵的原因 我们以后还会发现In的更多的类似于数1的性质 例8考虑一般形式的线性方程组 其系数矩阵和增广矩阵分别是 则线性方程组可由它的增广矩阵唯一确定 反过来 线性方程组也唯一地确定它的增广矩阵 我们令 称此式为线性方程组的矩阵形式 因此原线性方程组可写为 AX B 计算矩阵乘积AX 计算A1X 在上题中 令 同样计算A2X AnX可得 所以 A A1 A2 An AX A1 A2 An X A1X A2X AnX 因此线性方程组的矩阵形式可写成如下形式 这个形式叫做线性方程组的向量形式 系数矩阵 把n元线性方程组所有未知量的系数按原来的顺序排列 得到一个m n矩阵 我们称A为线性方程组的系数矩阵 返回 增广矩阵 返回 把n元线性方程组所有未知量的系数和常数项按原来的顺序排列 得到一个m行n 1列矩阵 例9 计算机机时汇总 一台智星计算机 完成某个项目 该项目有6项类型1的工作 8项类型2的工作 10项类型3的工作 问这台计算机完成该项目需要多长的工作时间 类型1的问题 类型2的问题 类型3的问题 则表示各种类型工作所需的时间矩阵可令为 表示各种类型工作的个数矩阵可令为 那么所需时间的总数可如下计算 这里 70 是一个1 1矩阵 可以把 70 和70看成是一样的 即所需总时数为70分钟 假设不仅有一台计算机 而是有4台计算机 智星 神童 奔腾及银河 那么我们有一个不同的计算机完成不同类型工作的机时矩阵 智星完成类型1 2 3的工作所需的时间 银河完成类型1 2 3的工作所需的时间 神童完成类型1 2 3的工作所需的时间 奔腾完成类型1 2 3的工作所需的时间 为了计算每台计算机完成6项类型1的工作 8项类型2的工作 10项类型3的工作 所需的时间分别有多长 只需进行如下计算 所以选择智星计算机完成这个项目比较省时 下面让我们不只对一个项目 而是对3个项目进行计算 假设3个项目所包含的类型1 2 3的工作个数如下矩阵表示 矩阵中每一列表示每一个项目所包含类型1 2 3的个数 进行如下计算 T1N1矩阵的每一行表示每台计算机完成3个项目分别需要的时机数 可以看出 如果安排智星计算机完成第一个项目 由奔腾完成第二个项目 由银河完成第三个项目 所需的机时总数较少 返回 这一节主要讲了矩阵乘法的定义 矩阵乘法的性质以及矩阵乘法的应用 小结 矩阵乘法的定义 主要讲了定义 相乘的条件 前列数等于后行数 乘法的法则 前行乘后列 乘法不满足交换律 不适合消去律 矩阵乘法的性质 乘法的结合律 乘法对加法的分