山东省烟台市2017届高三(上)期中数学试卷(理科)(解析版).doc

2016 2017 学年山东省 烟台市高三 上 期中数学试卷 理科 参考答案与试题解析 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 5 分 共 50 分 每小题给出的四个选项中只有 一项是符合题目要求的 把正确选项的代号涂在答题卡上 1 已知全集 U 1 2 3 4 5 M 3 4 5 N 2 3 则集合 UN M A 2 B 1 3 C 2 5 D 4 5 考点 交 并 补集的混合运算 分析 求出 N 的补集 然后求解交集即可 解答 解 全集 U 1 2 3 4 5 N 2 3 则集合 UN 1 4 5 M 3 4 5 集合 UN M 4 5 故选 D 2 已知向量 与 不平行 且 0 则下列结论中正确的是 A 向量与垂直B 向量与 垂直 C 向量与 垂直D 向量与平行 考点 数量积判断两个平面向量的垂直关系 平行向量与共线向量 分析 求出 0 从而得到与垂直 解答 解 向量 与 不平行 且 0 2 2 0 与垂直 故选 A 3 已知函数 f x 1g 1 x 的值域为 0 则函数 f x 的定义域为 A 0 B 0 1 C 9 D 9 1 考点 函数的定义域及其求法 分析 由函数 f x 1g 1 x 的值域为 0 则 lg 1 x 0 即有 0 1 x 1 解得即可得到函数的定义域 解答 解 由函数 f x 1g 1 x 的值域为 0 则 lg 1 x 0 0 1 x 1 解得 0 x 1 则函数 f x 的定义域为 0 1 故选 B 4 如果 a b 那么下列不等式中正确的是 A B a2 b2C lg a 1 lg b 1 D 2a 2b 考点 不等式的基本性质 分析 通过取特殊值判断 A B C 根据指数的性质判断 D 解答 解 若 a b 对于 A a 0 b 1 时 无意义 错误 对于 B C 若 a 1 b 2 不成立 错误 对于 D 2a 2b 正确 故选 D 5 曲线 y x3与直线 y x 所围成图形的面积为 A B C 1D 2 考点 定积分在求面积中的应用 分析 先求出曲线 y x3与 y x 的交点坐标 得到积分的上下限 然后利用定积分求出第 一象限所围成的图形的面积 根据图象的对称性可求出第三象限的面积 从而求出所求 解答 解 曲线 y x3与 y x 的交点坐标为 0 0 1 1 1 1 曲线 y x3与直线 y x 在第一象限所围成的图形的面积是 根据 y x3与 y x 都是奇函数 关于原点对称 在第三象限的面积与第一象限的面积相等 曲线 y x3与 y x 所围成的图形的面积为 故选 B 6 若 x y 满足且 z 2x y 的最大值为 4 则 k 的值为 A B C D 考点 简单线性规划 分析 根据已知的约束条件 画出满足约束条件的可行域 再用目标函数的几何意义 求 出求出直线 2x y 4 与 y 0 相交于 B 2 0 即可求解 k 值 解答 解 先作出不等式组对应的平面区域 直线 kx y 3 0 过定点 0 3 z 2x y 的最大值为 4 作出直线 2x y 4 由图象知直线 2x y 4 与 y 0 相交于 B 2 0 同时 B 也在直线 kx y 3 0 上 代入直线得 2k 3 0 即 k 故选 A 7 设函数 f x xsinx cosx 的图象在点 t f t 处切线的斜率为 k 则函数 k g t 的图象大致为 A B C D 考点 函数的图象 分析 由已知可得 k g t f x xcosx 分析函数的奇偶性及 x 0 时 函 数图象的位置 利用排除法 可得答案 解答 解 函数 f x xsinx cosx 的图象在点 t f t 处切线的斜率为 k k g t f x sinx xcosx sinx xcosx 函数为奇函数 图象关于原点对称 排除 B C 当 x 0 时 函数值为正 图象位于第一象限 排除 D 故选 A 8 将函数 y sin x 0 的图象向左平移个单位 再将图象上所有点的 横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 所得的图象解析式为 y sinx 则 y sin x 图象上离 y 轴距离最近的对称中心为 A 0 B 0 C 0 D 0 考点 函数 y Asin x 的图象变换 分析 函数 y sin x 0 的图象向左平移个单位 得到函数 y sin x 的图象 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到函数 y sin x 的图象 由解析式相同求出 的值 然后根据正弦 函数的对称中心求出函数 y sin x 的对称中心 进而求出离 y 轴距离最近的对称中 心 解答 解 将函数 y sin x 0 的图象向左平移个单位 得到函数 y sin x 的图象 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 得到函数 y sin x 的图象 函数 y sin x 的图象与函数 y sinx 的图象相同 0 解得 2 y sin x sin 2x 由 2x k 得 2x k k Z 当 k 1 时 x 离 y 轴距离最近的对称中心为 0 故选 C 9 已知 ABC 外接圆的半径为 2 圆心为 O 且 则 A 12B 13C 14D 15 考点 平面向量数量积的运算 分析 由条件便可得出 AB AC O 为斜边的中点 再根据 即可得出 进而得出的值 从而求出的值 解答 解 根据条件 AB AC O 为 BC 中点 如图所示 ABO 为等边三角形 故选 A 10 在实数集 R 上定义一种运算 对于任意给定的 a b R a b 为唯一确定的实数 且具有性质 1 对任意 a b R a b b a 2 对任意 a b R a 0 a 3 对任意 a b R a b c c ab a c c b 2c 关于函数 f x x 的性质 有如下说法 在 0 上函数 f x 的最小值为 3 函数 f x 为奇函数 函数 f x 的单调递增区间为 1 1 其中所有正确说法的个数为 A 0B 1C 2D 3 考点 抽象函数及其应用 分析 根据条件在 中令 c 0 得到 a b ab a b 从而得到 f x 的表达式 结合函数的 奇偶性 单调性和最值的性质分别进行判断即可 解答 解 由新运算 的定义 令 c 0 则 a b 0 0 ab a 0 0 b ab a b 即 a b ab a b f x x 1 x 当 x 0 时 f x x 1 x 1 2 1 2 3 当且仅当 x 即 x 1 时取等号 在 0 上函数 f x 的最小值为 3 故 正确 函数的定义域为 0 0 f 1 1 1 1 3 f 1 1 1 1 1 f 1 f 1 且 f 1 f 1 则函数 f x 为非奇非偶函数 故 错误 函数的 f x 1 令 f x 0 则 x 1 当 x 1 或 1 时 f x 0 函数 f x 的单调递增区间为 1 1 故 正确 故正确的是 故选 C 二 填空题 本大题共 5 个小题 每小题 5 分 共 25 分 11 已知 f x x3 ax2 a 6 x 1 有极大值和极小值 则 a 的取值范围为 a 3 或 a 6 考点 函数在某点取得极值的条件 分析 先求出函数的导数 根据函数有极大值和极小值 可知导数为 0 的方程有两个不 相等的实数根 通过 0 即可求出 a 的范围 解答 解 函数 f x x3 ax2 a 6 x 1 所以函数 f x 3x2 2ax a 6 因为函数有极大值和极小值 所以方程 f x 0 有两个不相等的实数根 即 3x2 2ax a 6 0 有两个不相等的实数根 0 2a 2 4 3 a 6 0 解得 a 3 或 a 6 故答案为 a 3 或 a 6 12 平面向量 与 的夹角为 60 1 3 0 2 考点 平面向量数量积的运算 分析 由条件可以得到 从而进行数量积的运算便可求出 的值 从而便可得出的值 解答 解 根据条件 故答案为 13 设函数 f x 若 f a a 则实数 a 的取值范围是 1 考点 其他不等式的解法 分析 先根据分段函数的定义域选择好解析式 分 a 0 时 和 a 0 时两种情况求解 最后取并集 解答 解 当 a 0 时 解得 a 2 矛盾 无解 当 a 0 时 a 1 综上 a 1 实数 a 的取值范围是 1 故答案为 1 14 若 cos 75 a 则 cos 30 2a 考点 两角和与差的余弦函数 三角函数的化简求值 分析 由条件利用诱导公式 求出 sin 15 的值 再利用二倍角的余弦公式求得 cos 30 2 的值 解答 解 cos 75 sin 15 则 cos 30 2 1 2sin2 15 1 2 故答案为 15 若定义在 R 上的偶函数 f x 满足 f x 1 f x 1 且当 x 1 0 时 f x x2 1 如果函数 g x f x a x 恰有 8 个零点 则实数 a 的值为 8 2 考点 根的存在性及根的个数判断 分析 由函数 f x 满足 f x 1 f x 变形得到函数的周期 由周期性即可求得函 数在某一段上的解析式 代入进行计算即可得出答案 解答 解 由 f x 1 f x 1 则 f x f x 2 故函数 f x 为周期为 2 的周期函 数 函数 g x f x a x 恰有 8 个零点 f x a x 0 在 0 上有四个解 即 f x 的图象 图中黑色部分 与直线 y a x 图中红色直线 在 0 上有 4 个交 点 如图所示 又当 x 1 0 时 f x x2 1 当直线 y ax 与 y x 4 2 1 相切时 即可在 0 上有 4 个交点 x2 8 a x 15 0 8 a 2 60 0 a 0 a 8 2 故答案为 8 2 三 解答题 本大题共 6 小题 共 75 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 16 已知函数 f x cos2x g x sinxcosx 1 若直线 x a 是函数 y f x 的图象的一条对称轴 求 g 2a 的值 2 若 0 x 求 h x f x g x 的值域 考点 三角函数的最值 分析 1 利用二倍角公式化简函数的表达式 通过直线 x a 是函数 y f x 的图象的 一条对称轴 求出 a 然后求 g 2a 的值 2 化简 h x f x g x 为正弦函数类型 利用角的范围求出相位的范围 然后 去函数值域 解答 解 1 其对称轴为 因为直线线 x a 是函数 y f x 的图象的一条对称轴 所以 又因为 所以 即 2 由 1 得 所以 h x 的值域为 17 设 ABC 的内角 A B C 的对应边分别为 a b c 若向量 a b 1 与向量 a c 2 共线 且 A 120 1 a b c 2 若 ABC 外接圆的半径为 14 求 ABC 的面积 考点 正弦定理 分析 1 利用向量共线的性质可得 2b a c 设 a b d c b d 由余弦定理解得 d 进而可得 a c 从而可求 a b c 2 由正弦定理可求 a 由 1 可求 b c 的值 利用三角形面积公式即可计算得解 解答 解 1 向量 与向量 共线 可得 2b a c 设 a b d c b d 由已知 cosA 即 d 从而 a c a b c 7 5 3 2 由正弦定理 2R 得 a 2RsinA 2 14 14 由 1 设 a 7k 即 k 2 所以 b 5k 10 c 2k 6 所以 S ABC bcsinA 10 6 45 所以 ABC 的面积为 45 18 如图 上海迪士尼乐园将一三角形地块 ABC 的一角 APQ 开辟为游客体验活动区 已 知 A 120 AB AC 的长度均大于 200 米 设 AP x AQ y 且 AP AQ 总长度为 200 米 1 当 x y 为何值时 游客体验活动区 APQ 的面积最大 并求最大面积 2 当 x y 为何值时 线段 PQ 最小 并求最小值 考点 余弦定理 正弦定理 分析 1 由已知利用三角形面积公式 基本不等式可得 即可得解 2 利用已知及余弦定理可得 PQ2 x2 y2 2xycos120 x 100 2 30000 根据二次函数的 图象和性质即可解得线段 PQ 最小值 解答 本题满分为 14 分 解 1 因为 AP x AQ y 且 x y 200 2 分 所以 4 分 当且仅当 x y 100 时 等号成立 所以 当 x y 100 米时 平方米 6 分 2 因为 PQ2 x2 y2 2xycos120 x2 y2 xy 8 分 x2 2 x x2 200 x 40000 x 100 2 30000 10 分 所以 当 x 100 米 线段米 此时 y 100 米 12 分 答 1 当 AP AQ 100 米时 游客体验活动区 APQ 的面积最大为平方米 2 当 AP AQ 100 米时 线段 PQ 最小为 14 分 19 已知函数 f x log 满足 f 2 1 其中 a 为实常数 1 求 a 的值 并判定函数 f x 的奇偶性 2 若不等式 f x x t 在 x 2 3 上恒成立 求实数 t 的取值范围 考点 函数恒成立问题 分析 1 根据 f 2 1 构造方程 可得 a 的值 结合奇偶性的宝义 可判定函数 f x 的奇偶性 2 若不等式 f x x t 在 x 2 3 上恒成立 则 t log x 在 x 2 3 上恒成立 构造函数求出最值 可得答案 解答 解 1 函数 f x log 满足 f 2 1 log 1 解得 a 1 f x log 的定义域 1 1 关于原点对称 又 f x log log log f x 故函数 f x 为奇函数 2 若不等式 f x x t 在 x 2 3 上恒成立 则 t log x在 x 2 3 上恒成立 设 g x log x 则 g x 在 2 3 上是增函数 g x t 对 x 2 3 恒成立 t g 2 20 设函数 f x xex ae2x a R I 当 a 时 求证 f x 0 II 若函数 f x 有两个极值点 求实数 a 的取值范围 考点 利用导数研究函数的极值 利用导数求闭区间上函数的最值 分析 利用分析法 构造函数 g x x aex 利用导数和函数的最值的关系即可求 出 函数 f x 有两个极值点 等价于 y f x 有两个变号零点 即方程有两 个不相同的根 构造函数 利用导数求出函数的最值 问题得以解决 解答 解 I 证明 f x xex ae2x ex x aex ex 0 只需证 当即可 g x x aex g x 1 aex 0 当从而当时 f x 0 II f x x 1 ex 2ae2x ex x 1 2aex 函数 f x 有两个极值点 等价于 y f x 有两个变号零点 即方程有两个不相同的根 设 x 0 h x 0 h x 递增 x 0 h x 0 h x 递减 h x max h 0 1 h 1 0 x 1 h x 0 x h x 0 x h x 当有两个交点 方程有两个不相同的根 函数 f x 有两个极值点 21 已知函数 f x 2 a lnx 2ax a R 当 a 0 时 求 f x 的极值 当 a 0 时 求 f x 单调区间 若对任意 a 3 2 及 x1 x2 1 3 恒有 m ln3 a 2ln3 f x1 f x2 成立 求实数 m 的取值范围 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数恒成立问题 利用导数研究