4动量和角动量习题思考题

1 习题 4 1 质量为的质点在平面内运动 运动学方程为 求 1 质点在任一时刻的mOxyjirtbta sincos 动量 2 从到的时间内质点受到的冲量 0 t 2 t 解 1 根据动量的定义 P mv v m asin ti bcos tj 2 从到的时间内质点受到的冲量等于它在这段时间内动量的变化 因为动量没变 所以冲量0 t 2 t 为零 4 2 一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子 巳知电子的动量为 中微m skg102 1 22 子的动量为 两动量方向彼此垂直 1 求核反冲动量的大小和方向 2 已知衰变后原子核的m skg101 6 23 质量为 求其反冲动能 kg108 5 26 由碰撞时 动量守恒 分析示意图 可写成分量式 cossin 21 mm sincos 21 mmP 所以 smkgP 1044 1 22 9 151 2 反冲的动能为 J m P E 18 2 1017 0 2 4 3 中子的发现者查德威克于 1932 年通过快中子与氢核 氮核的对心弹性碰撞发现氢核的反冲速度为 氮核的反冲速度为 已知氢核的质量为 氮核的质量为 试推算中子的质量及其m s103 3 7 m s107 4 6 u1u14 初速度 解 根据弹性碰撞遵循的规律 可得到以下两个式子 HeHeHH mmmvvv 0 222 0 2 1 2 1 2 1 HeHeHH vmvmmv 代入已知量 可得 M 1 159u m s1007 3 7 v 4 4 一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为 子弹从枪口射出时的速率为 3 104400 5t F m s300 设子弹离开枪口处合力刚好为零 求 1 子弹走完枪筒全长所用的时间 2 子弹在枪筒中所受力的冲量 tI 3 子弹的质量 解 1 由和子弹离开枪口处合力刚好为零 则可以得到 3 104400 5t F 03 104400 5 tF 算出 t 0 003s 2 由冲量定义 sNttdttFdtI 6 03 1024003 104400 3 0 255 3 0 3 0 3 由动量定理 kgm sNmvPFdtI 002 0 300 6 0 6 0 3 0 所以 4 5 有质量为的弹丸 从地面斜抛出去 它的落地点为 如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎m2 c x 片 其中一碎片铅直自由下落 另一碎片水平抛出 它们同时落地 问第二块碎片落在何处 解 由题意 本题需要用斜抛的知识和动量守恒定理来解决 假设斜抛出手的速度为 v 与水平方向的夹角为 那么 水平方向 v v0cos xc v0cos tc 竖直方向 v v0sin gt y v0sin t 2 2 1 gt 在最高点爆炸 竖直方向没有初始动量 其中一碎片铅直自由下落 说明爆炸后的一个碎片没有动量 则另一 块碎片应该是没有竖直方向的速度 同时水平方向的速度变为原来的两倍 因为它质量是原来的一半 由动量守恒可 得 它的水平位移将继续走过 x2 2 所以 x2 2v0cos t2 它们同时落地 落地的时间 c t g v t 2 1sin 0 2 则 x2 xc 那么它落地点在抛出点的 2 xc处 4 6 两个质量分别为和的木块 用一劲度系数为的轻弹簧连接 放在光滑的水平面上 紧靠墙 1 m 2 mBA kA 今用力推块 使弹簧压缩然后释放 已知 求 1 释放后两滑块速度相等时的B 0 xmm 1 mm3 2 BA 瞬时速度的大小 2 弹簧的最大伸长量 解 分析题意 可知在弹簧由压缩状态回到原长时 是弹簧的弹性势能转换为 B 木块的动能 然后 B 带动 A 一 起运动 此时动量守恒 可得到两者相同的速度 v 并且此时就是弹簧伸长最大的位置 由机械能守恒可算出其量 值 2 0 2 022 2 1 2 1 kxvm vv2 2102 mmm 所以 m k xv 34 3 0 2 2 21 2 2 022 2 1 2 1 2 1 vmmkxvm 那么计算可得 0 2 1 xx 4 7 二质量相同的小球 一个静止 一个以速度与另一个小球作对心碰撞 求碰撞后两球的速度 1 假设 0 v 碰撞是完全非弹性的 2 假设碰撞是完全弹性的 3 假设碰撞的恢复系数 5 0 e 解 由碰撞过程动量守恒以及附加条件 可得 1 假设碰撞是完全非弹性的 即两者将以共同的速度前行 mvmv2 0 所以 0 2 1 vv 2 假设碰撞是完全弹性的 210 mvmvmv 2 2 2 1 2 0 2 1 2 1 2 1 mvmvmv 两球交换速度 0 1 v 02 vv 3 假设碰撞的恢复系数 也就是5 0 e 210 mvmvmv 5 0 2010 12 vv vv 所以 01 4 1 vv 02 4 3 vv 4 8 如图 光滑斜面与水平面的夹角为 轻质弹簧上端固定 今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 30 的木块 木块沿斜面从静止开始向下滑动 当木块向下滑时 恰好有一质量的子kg0 1 Mcm30 xkg01 0 m 弹 沿水平方向以速度射中木块并陷在其中 设弹簧的劲度系数为 求子弹打入木块后它们m s200 vN m25 k 的共同速度 解 由机械能守恒条件可得到碰撞前木快的速度 碰撞过程中子弹和木快沿斜面方向动量守恒 可得 sin 2 1 2 1 2 0 2 MgxkxMv 2 3 v vMmMvmv 0 89 0 02 2 3 v 4 9 水平路面上有一质量的无动力小车以匀速率运动 小车由不可伸长的轻绳与另一质量kg5 1 mm s2 0 v 为的车厢连接 车厢前端有一质量为的物体 物体与车厢间摩擦系数为 开始时车厢kg25 2 mkg20 3 m2 0 3 静止 绳未拉紧 求 1 当小车 车厢 物体以共同速度运动时 物体相对车厢的位移 2 从绳绷紧到三者达到共 同速度所需要的时间 车与路面间摩擦不计 取 g 10m s2 解 由碰撞过程动量守恒 可得 vmmmvm 32101 2 0 v vmmvm 2101 smv mm m v 3 1 255 25 0 21 1 2 321 2 213 2 1 2 1 vmmmvmmgsm m gm vmmmvmm s 60 1 2 1 2 1 3 321 2 21 2 tgm vm 33 s g v t1 0 102 0 2 0 4 10 一质量为千克的木块 系在一固定于墙壁的弹簧的末端 静止在光滑水平面上 弹簧的劲度系数为 Mk 一质量为的子弹射入木块后 弹簧长度被压缩m了 1 求子弹的速度 2 若子弹L 射入木块的深度为 求子弹所受的平均阻力 s 解 1 碰撞过程中子弹和木块动量守恒 碰撞结束后的运动由机械能守恒条 件可得 vMmmv 0 22 2 1 2 1 kLvMm 计算得到 Mmk m L v 0 2 子弹射入木快所受的阻力做功使子弹动能减小 木块动能增加 两次作功的位移差为 s 所以 22 0 2 1 vvmfx 其中 2 2 1 vMx f sxx 所以 ms MkL f 2 2 4 11 质量为 长为 的船浮在静止的水面上 船上有一质量为的人 开始时人与船也相对静止 然后人以Mlm 相对于船的速度从船尾走到船头 当人走到船头后人就站在船头上 经长时间后 人与船又都静止下来了 设船在u 运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比 即 求在整个过程中船的位移 kvf x 此题不知道如何入手 4 12 以初速度将质量为 m 的质点以倾角从坐标原点处抛出 设质点在 Oxy 平面内运动 不计空气阻力 以坐 0 v 标原点为参考点 计算任一时刻 1 作用在质点上的力矩 M 2 质点的角动量 解 1 k tmgvFrM cos 0 2 kt mgv dtMvmrL t 2 0 0 cos 2 4 13 人造地球卫星近地点离地心 r1 2R R 为地球半径 远地点离地心 r2 4R 求 1 卫星在近地点及远地点处的速率 v1和 v2 用地球半径 R 以及地球表面附近的重力加速度 g 来表示 2 卫星运行轨道在近地点处的轨迹的曲率半径 4 解 利用角动量守恒 2211 mvrmvrL 21 42vv 同时利用卫星的机械能守恒 所以 R Mm Gmv R Mm Gmv 42 1 22 1 0 2 20 2 1 mg R Mm G 2 0 所以 3 2 1 Rg v 6 2 Rg v 2 可得到 2 2 0 v m Mm G R 3 8 思考题 4 1 一粒子初时沿轴负向以速度运动 后被位于坐标原点的金核所散射 使其沿与轴成的方向运 xvx 120 动 速庹大小不变 试用矢量在图上表出粒子所受到的冲量的大小和方向 I 见图 4 25 4 2 试用所学的力学原理解释逆风行舟的现象 可用动量定理来解释 设风沿与航向成角的方向从右前方吹来 以风中一小块沿帆面吹过来的空气为研究对象 表示这块空气的质量 和分别表示它吹向帆面和离开帆面时的速度 由于帆面比较光滑 风速大小基本不m 1 v 2 v 变 但是由于的速度方向改变了 所以一定是受到帆的作用力 根据牛顿第三定律 必然对帆有一个反作用m m 力 此力的方向偏向船前进的方向 将分解为两个分量 垂直船体的分量与水对船的阻力相平衡 与船的航向 f f 平行的分量就是推动帆及整个船体前进的作用力 4 3 两个有相互作用的质点和 已知 1 m 2 m 2 1 2 m m 在不受外力时它们的总动量为零 的轨迹如图 试画出质点的运动轨迹 1 m 2 m 见图 4 26 4 4 当质量为的人造卫星在轨道上运动时 常常列出下m列三个方程 1 e2 1 2 e2 2 2 1 2 1 r mGm mv r mGm mv 1122 sinsin mvmv 2 e 2 r mGm r mv 试分析上述三个方程各在什么条件下成立 4 5 在水平冰面上以一定速度向东行驶的炮车 向东南 斜向上 方向发射一炮弹 对于炮车和炮弹这一系统 在此过程中 忽略冰面摩擦力及空气阻力 哪些量守恒