高二数学椭圆试题(有答案)

高二数学椭圆试题 一 选择题 1 已知方程表示焦点在 x 轴上的椭圆 则 m 的取值范围是 A m 2 或 m 1 B m 2C 1 m 2D m 2 或 2 m 1 解 椭圆的焦点在 x 轴上 m2 2 m 即 m2 2 m 0 解得 m 2 或 m 1 又 2 m 0 m 2 m 的取值范围 m 2 或 2 m 1 故选 D 2 已知椭圆 长轴在 y 轴上 若焦距为 4 则 m 等于 A 4B 5C 7D 8 解 将椭圆的方程转化为标准形式为 显然 m 2 10 m 即 m 6 解得 m 8 故选 D 3 椭圆 1 m x2 my2 1 的长轴长是 A B C D 解 由椭圆 1 m x2 my2 1 化成标准方程 由于 椭圆 1 m x2 my2 1 的长轴长是 2a 2 故选 B 4 已知点 F1 F2分别是椭圆 1 k 1 的左 右焦点 弦 AB 过点 F1 若 ABF2的周长为 8 则椭圆的离心率为 A B C D 解 由椭圆定义有 4a 8 a 2 所以 k 2 a2 4 k 2 从而 b2 k 1 3 c2 a2 b2 1 所以 故选 A 5 已知 ABC 的周长为 20 且顶点 B 0 4 C 0 4 则顶点 A 的轨迹方程是 A x 0 B x 0 C x 0 D x 0 解 ABC 的周长为 20 顶点 B 0 4 C 0 4 BC 8 AB AC 20 8 12 12 8 点 A 到两个定点的距离之和等于定值 点 A 的轨迹是椭圆 a 6 c 4 b2 20 椭圆的方程是 故选 B 6 方程 10 化简的结果是 A B C D 解 根据两点间的距离公式可得 表示点 P x y 与点 F1 2 0 的距离 表示 点 P x y 与点 F2 2 0 的距离 所以原等式化简为 PF1 PF2 10 因为 F1F2 2 10 所以由椭圆的定义可得 点 P 的轨迹是椭圆 并且 a 5 c 2 所以 b2 21 所以椭圆的方程为 故选 D 7 设 是三角形的一个内角 且 则方程 x2sin y2cos 1 表示的曲线是 A 焦点在 x 轴上的双曲线B 焦点在 x 轴上的椭圆 C 焦点在 y 轴上的双曲线D 焦点在 y 轴上的椭圆 解 因为 0 且 sin cos 所以 且 sin cos 所以 从而 cos 0 从而 x2sin y2cos 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 故选 D 8 设椭圆的两个焦点分别为 F1 F2 过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P 若 F1PF2为 等腰直角三角形 则椭圆的离心率是 A B C D 解 设点 P 在 x 轴上方 坐标为 F1PF2为等腰直角三角形 PF2 F1F2 即 即 故椭圆的离心率 e 故选 D 9 从椭圆上一点 P 向 x 轴作垂线 垂足恰为左焦点 F1 A 是椭圆 与 x 轴正半轴的交点 B 是椭圆与 y 轴正半轴的交点 且 AB OP O 是坐标原点 则该 椭圆的离心率是 A B C D 解 依题意 设 P c y0 y0 0 则 1 y0 P c 又 A a 0 B 0 b AB OP kAB kOP 即 b c 设该椭圆的离心率为 e 则 e2 椭圆的离心率 e 故选 C 10 若点 O 和点 F 分别为椭圆的中心和左焦点 点 P 为椭圆上的任意一点 则 的最大值为 A 2B 3C 6D 8 解 由题意 F 1 0 设点 P x0 y0 则有 解得 因为 所以 此二次函数对应的抛物线的对称轴为 x0 2 因为 2 x0 2 所以当 x0 2 时 取得最大值 故选 C 11 如图 点 F 为椭圆 1 a b 0 的一个焦点 若椭圆上存在一点 P 满足以椭 圆短轴为直径的圆与线段 PF 相切于线段 PF 的中点 则该椭圆的离心率为 A B C D 解 设线段 PF 的中点为 M 另一个焦点 F 由题意知 OM b 又 OM 是 FPF 的 中位线 OM PF b PF 2b 由椭圆的定义知 PF 2a PF 2a 2b 又 MF PF 2a 2b a b 又 OF c 直角三角形 OMF 中 由勾股定理得 a b 2 b2 c2 又 a2 b2 c2 可求得离心率 e 故答案选 B 12 椭圆顶点 A a 0 B 0 b 若右焦点 F 到直线 AB 的 距离等于 则椭圆的离心率 e A B C D 解 由题意可得直线 AB 的方程为即 bx ay ab 0 F c 0 F c 0 到直线 AB 的距离 d AF a c 则 a2 3b2 a2 3a2 3c2 即 3c2 2a2 故选 B 13 已知椭圆 1 a b 0 的左 右焦点为 F1 F2 P 为椭圆上的一点 且 PF1 PF2 的最大值的取值范围是 2c2 3c2 其中 c 则椭圆的离心率的取值范 围为 A B 1 C 1 D 解 PF1 PF2 的最大值 a2 由题意知 2c2 a2 3c2 故椭圆 m 的离心率 e 的取值范围 故选 A 14 在椭圆中 F1 F2分别是其左右焦点 若 PF1 2 PF2 则该 椭圆离心率的取值范围是 A B C D 解 根据椭圆定义 PF1 PF2 2a 将设 PF1 2 PF2 代入得 根据椭圆的几何性质 PF2 a c 故 即 a 3c 故 即 又 e 1 故该椭圆离心率的取值范围是 故选 B 二 填空题 15 已知 F1 F2是椭圆 C a b 0 的两个焦点 P 为椭圆 C 上一点 且 若 PF1F2的面积为 9 则 b 3 解 由题意知 PF1F2的面积 b 3 故答案为 3 16 若方程表示焦点在 y 轴上的椭圆 则 k 的取值范围是 4 k 7 解 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆 k 1 7 k 0 4 k 7 故 k 的取值范围是 4 k 7 故答案为 4 k 7 17 已知椭圆的焦距为 2 则实数 t 2 3 6 解 当 t2 5t 0 即 t 5 时 a2 t2 b2 5t 此时 c2 t2 5t 6 解可得 t 6 或 t 1 舍 当 0 t2 5t 即 0 t 5 时 a2 5t b2 t2 此时 c2 a2 b2 5t t2 6 解可得 t 2 或 t 3 综上可得 t 2 或 t 3 或 t 6 故答案为 2 3 6 18 在平面直角坐标系 xOy 中 已知 ABC 顶点 A 4 0 和 C 4 0 顶点 B 在椭圆 上 则 解 利用椭圆定义得 a c 2 5 10b 2 4 8 由正弦定理得 故答案为 19 在平面直角坐标系 xOy 中 椭圆的焦距为 2c 以 O 为圆心 a 为半径作圆 M 若过作圆 M 的两条切线相互垂直 则椭圆的离心率为 解 设切线 PA PB 互相垂直 又半径 OA 垂直于 PA 所以 OAP 是等腰直角三角 形 故 解得 故答案为 20 若椭圆的焦点在 x 轴上 过点 1 做圆 x2 y2 1 的切线 切点分别为 A B 直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 则椭圆的方程是 解 设切点坐标为 m n 则 即 m2 n2 1 m 即 AB 的直线方程为 2x y 2 0 线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点 2c 2 0 b 2 0 解得 c 1 b 2 所以 a2 5 故椭圆方程为 故答案为 三 解答题 21 已知 F1 F2为椭圆的左 右焦点 P 是椭圆上一点 1 求 PF1 PF2 的最大值 2 若 F1PF2 60 且 F1PF2的面积为 求 b 的值 解 1 P 点在椭圆上 PF1 PF2 2a 20 PF1 0 PF2 0 PF1 PF2 100 PF1 PF2 有最大值 100 2 a 10 F1F2 2c 设 PF1 t1 PF2 t2 则根据椭圆的定义可得 t1 t2 20 在 F1PF2中 F1PF2 60 所以根据余弦定理可得 t12 t22 2t1t2 cos60 4c2 由 2 得 3t1 t2 400 4c2 所以由正弦定理可得 所以 c 6 b 8 22 如图 F1 F2分别是椭圆 C a b 0 的左 右焦点 A 是椭圆 C 的顶点 B 是直线 AF2与椭圆 C 的另一个交点 F1AF2 60 求椭圆 C 的离心率 已知 AF1B 的面积为 40 求 a b 的值 解 F1AF2 60 a 2c e 设 BF2 m 则 BF1 2a m 在三角形 BF1F2中 BF1 2 BF2 2 F1F2 2 2 BF2 F1F2 cos120 2a m 2 m2 a2 am m AF1B 面积 S BA F1F2 sin60 40 a 10 c 5 b 5 23 已知中心在坐标原点 O 的椭圆 C 经过点 A 2 3 且点 F 2 0 为其右焦点 1 求椭圆 C 的方程 2 是否存在平行于 OA 的直线 l 使得直线 l 与椭圆 C 有公共点 且直线 OA 与 l 的距 离等于 4 若存在 求出直线 l 的方程 若不存在 说明理由 解 1 依题意 可设椭圆 C 的方程为 a 0 b 0 且可知左焦点为 F 2 0 从而有 解得 c 2 a 4 又 a2 b2 c2 所以 b2 12 故椭圆 C 的方程为 2 假设存在符合题意的直线 l 其方程为 y x t 由得 3x2 3tx t2 12 0 因为直线 l 与椭圆有公共点 所以有 3t 2 4 3 t2 12 0 解得 4 t 4 另一方面 由直线 OA 与 l 的距离 4 从而 t 2 由于 2 4 4 所以符合题意的直线 l 不存在 24 设 F1 F2分别是椭圆的左 右焦点 过 F1斜率为 1 的直 线 与 E 相交于 A B 两点 且 AF2 AB BF2 成等差数列 1 求 E 的离心率 2 设点 P 0 1 满足 PA PB 求 E 的方程 解 I 由椭圆定义知 AF2 BF2 AB 4a 又 2 AB AF2 BF2 得l 的方程为 y x c 其中 设 A x1 y1 B x2 y2 则 A B 两点坐标满足方程组 化简的 a2 b2 x2 2a2cx a2 c2 b2 0 则 因为直线 AB 斜率为 1 得 故 a2 2b2 所以 E 的离心率 II 设 AB 的中点为 N x0 y0 由 I 知 由 PA PB 得 kPN 1 即 得 c 3 从而 故椭圆 E 的方程为 25 设椭圆的左焦点为 F 离心率为 过点 F 且与 x 轴垂直的直 线被椭圆截得的线段长为 求椭圆的方程 设 A B 分别为椭圆的左 右顶点 过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C D 两 点 若 求 k 的值 解 I 根据椭圆方程为 过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的线段长为 离心率为 解得 b c 1 a 椭圆的方程为 II 直线 CD y k x 1 设 C x1 y1 D x2 y2 由消去 y 得 2 3k2 x2 6kx 3k2 6 0 x1 x2 x1x2 又 A 0 B 0 x1 y1 x2 y2 x2 y2 x1 y1 6 2 2k2 x1x2 2k2 x1 x2 2k2 6 8 解得 k 26 设椭圆 E O 为坐标原点 求椭圆 E 的方程 是否存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒在两个交点 A B 且 若存在 写出该圆的方程 关求 AB 的取值范围 若不存在 说明理由 解 1 因为椭圆 E a b 0 过 M 2 N 1 两点 所以解得 所以椭圆 E 的方程为 2 假设存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 设该圆的切线方程为 y kx m 解方程组 得 x2 2 kx m 2 8 即 1 2k2 x2 4kmx 2m2 8 0 则 16k2m2 4 1 2k2 2m2 8 8 8k2 m2 4 0 即 8k2 m2 4 0 要使 需使 x1x2 y1y2 0 即 所以 3m2 8k2 8 0 所以又 8k2 m2 4 0 所以 所以 即或 因为直线 y kx m 为圆心在原点的圆的一条切线 所以圆的半径为 所求的圆为 此时圆的切线 y kx m 都满足或 而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足 综上 存在圆心在原点的圆 使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A B 且 因为 所以 当 k 0 时 因为所以 所以 所以当且仅当时取 2 当 k 0 时 27 已知直线 x 2y 2 0 经过椭圆的左顶点 A 和上顶点 D 椭 圆 C 的右顶点为 B 点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点 直线 AS BS 与直线 分别交于 M N 两点 1 求椭圆 C 的方程 2 求线段 MN 的长度的最小值 3 当线段 MN 的长度最小时 在椭圆 C 上是否存在这样的点 T 使得 TSB 的面积为 若存在 确定点 T 的个数 若不存在 说明理由 解 1 由已知得 椭圆 C 的左顶点为 A 2 0 上顶点为 D 0 1 a 2 b 1 故椭圆 C 的方程为 4 分 2 依题意 直线 AS 的斜率 k 存在 且 k 0 故可设直线 AS 的方程为 y k x 2 从而 由得 1 4k2 x2 16k2x 16k2 4 0 设 S x1 y1 则得 从而 即 6 分 又 B 2 0 由得 8 分 故 又 k 0 当且仅当 即时等号成 立 时 线段 MN 的长度取最小值 10 分