研究电磁现象的有关规律及其应用的科学

研究电磁现象的有关规律及其应用的科学 第七章 静电场 相对观察者静止的电荷所产生的电场 静电场 7 1电荷及其相互作用 7 2电场强度 7 3高斯定理 7 4电势 7 5电场强度与电势的关系 7 6静电场中的导体 7 7静电场中的电介质 7 8电容和电容器 7 9电场能量 8 1电场中的导体 8 2有导体时静电场的分析方法 8 3静电场中的电介质 8 4电容和电容器 8 5电场的能量 7 1电荷及其相互作用 自然界只存在两种电荷 同种电荷相斥 异种电荷相吸 富兰克林首先称其为正电荷和负电荷 一 两种电荷 质子和电子是自然界存在的最小正负电荷 其数值相等 常用 e和 e表示 二 电荷量子化 1986年推荐值 实验表明 任何带电体或微观粒子所带电量都是e的整数倍 电荷量值不连续 电荷量子化 电荷量不连续的性质 摩擦起电 摩擦起电的本质 电子从一个物体转移到另一个物体 三 电荷守恒定律常见的两种起电方式 感应起电 感应电量等值异号 电荷守恒定律 电荷只能从一物体转移到另一物体 或从物体的一部分转移到另一部分 电荷既不能被创造 也不能被消灭 四 库仑定律点电荷 可忽略形状和大小带电体 1785年法国的库仑通过扭秤实验得到两个静止点电荷之间相互作用的规律 其中 k常表示为 其中 真空介电常量 库仑定律 一般地 或 说明 对不能抽象为点电荷的带电体 不能直接应用库仑定律引入 4 因子 称为单位制的有理化 这可使以后的推导结果简化 方向 场源指向场点 例1 氢原子中电子与质子之间的距离为5 3 10 11m 试计算电子和质子之间的静电力和万有引力各为多大 已知引力常数G 6 7 10 11N m2 kg2 由库仑定律 解 由万有引力定律有 可不考虑Fg 五 静电力叠加原理设有q1 q2 q3 qn组成的点电荷系 静电力叠加原理 实验表明 电荷q0受点电荷系的总静电力等于点电荷系中各点电荷单独存在时作用于q0上静电力的矢量和 即 超距的观点 一 电场历史上的两种观点 电场的观点 近代物理的观点认为 凡是有电荷存在的地方 其周围空间便存在电场 7 2电场强度 静电场的主要表现 力 放入电场中的任何带电体都要受到电场所作用的力 电场力功 带电体在电场中移动时 电场力对它作功感应和极化 电场中的导体或介质将分别产生静电感应现象或极化现象 二 电场强度试探电荷 满足线度充分小 试探电荷可视为点电荷 以便能够确定场中每一点的性质 实验 同一试探电荷q0放入电场的不同地点 带电量充分小 可忽略其对原有电场分布的影响 q0所受电场力大小和方向逐点不同 电场中某点P处放置不同电量的试探电荷 所受电场力方向不变 大小成比例地变化 电场力不能反映某点的电场性质 定义 电场强度 单位 牛顿 库仑 N C 或伏特 米 V m 三 电场强度叠加原理设空间有点电荷q1 q2 q3 qn P点处的试探电荷q0所受电场力为 P点的电场强度 电场强度叠加原理 四 电场强度的计算1 点电荷的电场强度 P点的试探电荷q0所受的电场力为 P点的电场强度为 q 0 的方向沿的方向 背向q q 0 的方向与的方向相反 指向q 点电荷的场是辐射状球对称分布电场 2 点电荷系的电场强度 设空间有q1 q2 qn的点电荷系 它们在P点激发的电场强度分别为 P点的总电场强度为 点电荷系的电场强度 例2 一对等量异号电荷 q和 q 其间距离为l且很近 这样的电荷系称为电偶极子 定义为电偶极矩 简称电矩 的方向由 q指向 q 求 1 两电荷延长线上任一点A的电场强度 2 两电荷连线中垂线上任一点B的电场强度 解 1 设A点到电偶极子中点O的距离为r q和 q在A点处的电场强度为 2 设中垂线上任一点B到O点的距离为r 则 的y方向分量相互抵消 任取电荷元dq dq在P处的电场强度为 3 连续分布电荷的电场强度 整个带电体在P点产生的总电场强度为 根据电荷分布情况 在直角坐标系中 例3 设有一长为L的均匀带电q的直线 求直线中垂线上一点的电场强度 解 建立如图坐标系 O为直线中点 P为直线中垂线上任一点 任取一长为dy的电荷元dq 当x L时 带电直线可视为 无限长 讨论 则 当x L时 即在远离带电直线的区域 相当于点电荷q的电场 例4 半径R 均匀带电q的细圆环 求轴线上一点P的电场强度 轴线上哪一点处的电场强度极大 并求其大小 解 以环心O为原点建立如图坐标系 在圆环上任取长为dl的电荷元dq 由对称性有 定值 且 环心处点电荷q的电场 讨论 x R时 x 0时 极值位置 令 得 例5 半径为R的均匀带电薄圆盘 电荷面密度为 求圆盘轴线任一点的电场强度 解 可将带电圆盘看成是由许多同心带电细圆环组成的 在盘上取半径r 宽度dr细圆环 则 各细圆环在P点的电场强度方向相同 x R时 相当于点电荷q的电场 讨论 x R时 视为无限大均匀带电平面 有 垂直于板面的匀强电场 一 电力线表示方向 曲线上每一点的切向 7 3高斯定理 表示大小 电力线的疏密程度 电力线的性质 电力线起于正电荷 或无限远处 终于负电荷 或无限远处 不会形成闭合曲线两条电力线不会相交说明 电场是连续分布的 分立电力线只是一种形象化的方法 二 电场强度通量电场强度通量 通过电场中任一给定面的电力线数 均匀电场中 通过S平面 S的法矢与电场强度成 角 S与电场强度垂直 则 则 非均匀电场中 对任意曲面S 在S上任取一小面元dS 当S是一个闭合曲面时 对闭合曲面 自内向外为正方向 三 高斯定理高斯定理 静电场中任一闭合曲面的电场强度通量 等于该闭合曲面所包围的电荷的代数和除以 0 即 闭合曲面S称为高斯面 简证包围点电荷q的球面 且q处于球心处 推论 对以q为中心而r不同的任意球面而言 其电场强度通量都相等 包围点电荷q的任意闭合曲面S 以q为中心作一球面S 通过S 的电力线都通过S 不包围点电荷q的任意闭合曲面S 穿入 穿出S的电力线数相等 点电荷系q1 q2 qn电场中的任意闭合曲面 对qi 在S内 在S外 对连续分布的带电体 V为高斯面所围体积 讨论 当 E 0 即有电力线从正电荷发出并穿出高斯面 反之则有电力线穿入高斯面并终止于负电荷 静电场是 有源场 电力线是不闭合的曲线 高斯面上的电场强度是总电场强度 它与高斯面内外电荷都有关 为高斯面内的一切电荷的代数和 即 E只与高斯面内的电荷有关 与高斯面外的无关 四 高斯定理应用举例一般步骤 分析电场的对称性选择适当形状的闭合曲面为高斯面计算通过高斯面的电场强度通量利用高斯定理求出电场强度 例5 求均匀带正电球体内外的电场强度分布 设球体半径为R 带电量为Q 解 电场分布具有球对称性 取与球体同心的球面为高斯面 r R时 或 r R时 r R时 或 例6 求均匀带正电的无限大平面薄板的电场强度分布 设电荷面密度为 解 电场的分布具有面对称性 高斯面 两底与板面对称平行 侧面与板面垂直的柱形闭合面 方向垂直于板面向外 例7 求均匀带正电的无限长细棒的电场强度分布 设棒的电荷线密度为 解 电场分布具有轴对称性 任一点处的电场强度方向垂直于棒辐射向外 以棒为轴作半径为r 长为h的圆柱闭合面为高斯面 由高斯定理有 或 一 静电场力作功的特点 试探电荷q0在q的电场中 沿任意路径从a移动到b 取位移元 7 4电势 与路径无关 在q1 q2 qn点电荷系电场中移动 与路径无关 对连续分布带电体可得同样结果 结论 电场力所作的功只与试探电荷的起点和终点的位置有关 而与路径无关 静电场环路定理 静电场是保守场 静电力是保守力 路径闭合时 二 电势能设Wa和Wb分别表示试探电荷q0在a点和b点的电势能 当电荷分布在有限区域内时 通常选无限远处为零电势能参考点 三 电势 定义 任意两点a和b之间的电势差 电压 为 说明 电势的单位为伏特 记作V 当电荷分布不是在有限区域内时 则不能将无限远处选择为零势点 要根据具体情况 选择合适的零电势点 四 电势的计算1 点电荷q电场中的电势 取无限远处为零电势参考点 a点电势 q 0 各点的电势为正 q 0 各点的电势为负 无限远处电势为零 2 点电荷系电场中的电势对q1 q2 qn构成的点电荷系 3 连续分布电荷电场中的电势 任取一电荷元dq a点的电势为 静电场的电势叠加原理 例8 四个电量均为q的点电荷 分别放在边长为a的正方形的四个顶点上 求 1 正方形中心O处的电势 2 如果将试探电荷q0从无限远处移到O点 电场力作功多少 解 1 O点到四个顶角的距离均为 根据电势叠加原理有 2 将q0从无限远处移到O点 电场力所作的功为 例9 试计算半径为R 均匀带电为q的细圆环轴线上任一点a处的电势 解 在圆环上任取一线元dl 所带电量为 也可由电场强度求解 积分路径取轴向 讨论 环心处 x 0 x R 则 相当于点电荷的电势 例10 一半径为R的均匀带电球壳 所带电荷为q 求空间任一点a的电势 解 由高斯定理可得 r为球心到a的距离 时 壳内及球壳等势 集中于球心的点电荷的电势 时 例11 求无限长均匀带电直线外任一点a处的电势 已知电荷线密度为 解 无限长均匀带电直线的电场强度大小为 在通过a点并与带电直线垂直的线上取一参考点b 取rb 1m 则Ub 0 讨论 r 1m处 U0 一 等势面等势面 电势相等的点所组成的曲面 静电场中等势面特点 沿等势面移动电荷 电场力不作功 7 5电场强度与电势的关系 证 设点电荷q0沿等势面从a点移到b点 则 电力线和等势面正交 证 设等势面上任一点P处电场强度为 因均不为零 点电荷q0在P点沿等势面有一微小位移时有 二 电场强度与电势的关系 设P点处电场强度沿法向 单位正电荷从P移到Q时 设场中有两个相距很近的等势面1和2 电势分别为U和U dU dU 0 时 即沿从P到R 负号表示的方向与原设方向相反 电势降方向 在直角坐标系中 讨论 在电势不变的空