数学必修五-三角函数应用举例-教学设计

1 数学必修五数学必修五 三角函数应用举例三角函数应用举例 教学设计教学设计 教学分析教学分析 本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例 引入要学习的数学知识 由 此可见实际测量在本章的中心地位 实际上解斜三角形知识在实际问题中有着 广泛的应用 如测量 航海等都要用到这方面的知识 对于解斜三角形的实际 问题 我们要在理解一些术语 如坡角 仰角 俯角 方位角 方向角等 的基 础上 正确地将实际问题中的长度 角度看成三角形相应的边和角 创造可解 的条件 综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决 教学时要充 分利用数形结合的方法 充分利用多媒体课件给学生以动态演示 加强直观感 知 学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能 力 本节教材提出了四个问题 问题 1 和问题 2 为测量题 这类问题在我们的 日常生活中比比皆是 学生对实际背景非常熟悉 这给教学带来了极大的便 利 由于底部不可到达 这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决 但 用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间 的距离 然后转化为解直角三角形的问题 问题 3 是介绍解决平衡力系的数学 方法 学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则 和三角形法则 问题 4 是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子 有很好 的教育价值 本节学习可增强学生的数学应用意识 激发学生学习数学的积极性 由于 解决的是一些实际问题 在进行近似计算时 要求学生算法要简练 清楚 计 算要准确 本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题 应要求学生全部 掌握 三维目标三维目标 1 通过巧妙的设疑 结合学生的实际情况 采用 提出问题 引发思考 探索猜想 总结规律 反馈训练 的教学过程 使学生能够运用正弦 定理 余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题 同时通过多媒体课 件直观演示 加强学生的动态感知 帮助学生掌握常规解法 能够通过类比解 2 决实际问题 2 通过对解斜三角形在实际中应用的讲解 让学生体会具体问题可以转化 为抽象的数学问题 以及数学知识在生产 生活实际中所发挥的重要作用 同 时培养学生运用图形 数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能 力 3 通过本节的探究 引导学生经过自己的数学活动 从实际问题中提取数 学模型 使学生经历发现和创造的过程 进一步拓展学生的数学活动空间 发 展学生 做数学 用数学 的意识 重点难点重点难点 教学重点 掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法 并能 应用正弦定理 余弦定理列方程求解一些实际问题 进一步熟悉数学建模的方 法步骤 提高解决实际问题的能力 教学难点 将实际问题转化为数学问题 即根据实际问题建立数学模型 课时安排课时安排 2 课时 教学过程教学过程 第第 1 1 课时课时 导入新课导入新课 思路 1 问题导入 本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题 遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢 在古代 天文学家没有先进的 仪器就已经估算出了两者的距离 是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢 我 们知道 对于未知的距离 高度等 存在着许多可供选择的测量方案 比如可 以借助解直角三角形等方法 但由于在实际测量问题的真实背景下 某些方法 不能实施 上面的问题用以前的方法是不能解决的 那么我们用刚刚学习的正 弦定理 余弦定理就可以解决以前不能解决的问题 究竟如何测量呢 下面我 们就来探究这个问题 由此展开新课 思路 2 情境导入 你有坐汽车 或者火车 经过山前水平公路的经历吗 如 果身边带着测角仪 那么根据路标 100 米杆 就会立即测算出你所看到的山的 高度 利用正弦定理 余弦定理你也会马上算出来 在学生急切想知道如何测 3 算山高的期待中展开新课 推进新课推进新课 Error Error 1 提示学生先回顾正弦定理 余弦定理 并提问 若已知三角形的两边 及其中一边的对角用哪个定理解三角形 若已知三角形的两角及其夹边又可选 用哪个定理解三角形呢 2 回忆过去的一些测量方法 如测量两点间的距离都有哪些测量方法 3 如果底部可到达 如电线杆的高度应怎样测量 如果底部不能到达 如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢 4 对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢 5 解决实际问题的一般程序是什么 活动 教师先让学生回忆正弦定理 余弦定理的内容 学生很快回忆起来 若已知三角形的两边及其中一边的对角 则用正弦定理较好 鼓励学生多动手 画图 特别是对想象能力较弱的学生 更应画出图形 在图形上标出已知的数 据以加强直观感知 对于底部可到达的物体的高度问题 如测量电线杆的高度 利用初中的知 识即可解决 如图 1 只要测出 B 及 BC 即可算出 AC 的高度 对于底部不能到 达的物体的高度又该怎样测量呢 图 1 图 2 教师引导学生分组讨论 充分发挥学生的想象力 学生会提出许多的方 案 教师可一一指导 选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点 比如 4 有的学生会提出 既然底部不可到达 则 BC 就不可测出 但解三角形至少需有 一边 如此可否使原来的 B 点后退至 B 点 测量 BB 的距离 如图 2 引导 学生深入探究 效果将会更好 在具体解题过程中 教师可针对解题中的近似值处理问题 适时地提醒学 生注意 1 应根据题中对精确度的要求 合理选择近似值 2 为避免误差的 积累 解题过程中应尽可能地使用原始 已知 数据 少用间接求出的量 讨论结果 1 4 略 5 解决实际问题的一般程序是 1 审题 逐字逐句地阅读题目 弄清题 目的条件 要求 找出其中的数学关系 2 建模 分析题目的变化趋势 选择 适当的数学模型 3 求解 也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学 结论 4 还原 即把数学结论还原为实际问题的解答 包括检验是否符合实际 意义等 本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题 然后利用 正弦定理 余弦定理 三角函数等来解决 Error 例例 1 教材问题 1 活动 教师借助多媒体 引导学生观看实物图片 让学生明确建筑物的底 部不可到达 需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点 移动测量仪再选 择一个观测点 在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做 然后教 师指导学生画出平面示意图 并在图上标出相关的数据 让学生自己思考怎样 根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度 点评 解完本例后让学生总结测量的方法 本例的关键是选择观测点和测 量的基线 与实物的实际高度仅有 0 3 m 的误差 可让学生分析误差产生的原 因 变式训练变式训练 如图 在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角 54 40 在塔底 C 处测得 A 处的俯角 50 1 已知铁塔 BC 部分的高为 27 3 m 求出山高 CD 精确到 1 m 5 解 如下图 在 ABC 中 BCA 90 BAC BAD 根据正弦定理 BC sin AB sin 90 所以 AB BCsin 90 sin BCcos sin 解 Rt ABD 得 BD ABsin BAD 将测量数据代入上式 BCcos sin sin 得 BD 177 m 27 3cos50 1 sin54 40 sin 54 40 50 1 27 3cos50 1 sin54 40 sin4 39 CD BD BC 177 27 3 150 m 答 山的高度约为 150 m 例例 2 教材问题 2 活动 教师借助多媒体 引导学生观看实物图片 明确要解决的问题 在 实际生活中 这样的问题随处可见 如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距 离 在例 1 的类比下 学生很容易想到选择一个观测点 移动测量仪再选择一 个观测点 本例可让学生画图探究 教师给予适时点拨 6 点评 结合例 1 可对这类测量问题进行小结 解决这类测量问题的关键是 选择观测点和测量的基线 可让学生进一步探究 除了教材中的测量方法和计 算 还有其他的方法吗 变式训练变式训练 如图 为了测量隧道口 AB 的长度 给定下列四组数据 测量时应当用数据 A a b B a C a b D b 答案 答案 C 解析 解析 由 a b 利用余弦定理可求出 AB 例例 3 如图 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 到 A 处时测得公路 北侧远处一山顶 D 在西偏北 15 的方向上 行驶 5 km 后到达 B 处 测得此山 顶在西偏北 25 的方向上 仰角为 8 求此山的高度 CD 活动 教师引导学生充分理解题目背景 引导学生画出图形 首先理解什 么是仰角 西偏北 25 是什么意思 本题的图形是一个立体几何图形 让学生 充分理解图形中的各个已知量和要求的量 解 在 ABC 中 A 15 C 25 15 10 根据正弦定理 BC 7 452 4 km BC sinA AB sinC ABsinA sinC 5sin15 sin10 CD BC tan DBC BC tan8 1 047 m 答 山的高度约为 1 047 m 7 点评 此例即为本课导入时思路 2 提出的问题 切入生活实际 教师可提 醒学生总结 我们是如何根据已知条件及所求的边长 恰当地选取我们需要的 三角形的 Error 1 为了测量河的宽 在河岸的一边选取两点 A 和 B 观测对岸标记 C 点 测得 CAB 45 CBA 75 AB 120 m 则河宽为 m 答案 答案 20 3 3 解析 解析 由题意画出示意图 如下图 则 ACB 180 45 75 60 由正弦定理 知 AB sin ACB AC sin75 AC 120 20 3 sin75 sin60 26 在 Rt ACD 中 CD ACsin45 20 3 3 即河的宽为 20 3 m 3 2 如图 测量河对岸的塔高 AB 时 可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个测点 C 与 D 测得 BCD 15 BDC 30 CD 30 米 并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 60 则塔高 AB 答案 答案 15米 6 解析 解析 在 DBC 中 CBD 180 15 30 135 8 由正弦定理得 CD sin CBD BC sin BDC BC 15 30sin30 sin135 2 在 Rt ABC 中 AB BC tan60 15 15 米 236 即塔高为 15米 6 Error 先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面 上两个不能到达的地方之间的距离的方法 是如何从实际问题情境中寻求到解 决问题的方案的 你是否能根据题意准确地画出示意图 你没有画出的原因是 什么呢 在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候 教师可作进一步 的归纳 解决实际问题的关键是建立数学模型 特别是画出示意图是准确迅速 解这类数学问题的关键 也是本节要体现的技能 这在高考中体现得很突出 需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力 Error 课本本节习题 1 2A 组 1 2 3 设计感想设计感想 本教案设计以情境教学 问题教学为主 教师引导和学生积极参与探究相 结合 充分体现以学为主 逐步领悟的原则 日常生活中的实例体现了数学知 识的生动运用 通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变 过程 通过多媒体课件的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质 让 学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识 提高能力 本教案设计的中心主线是在学生探究活动中提炼数学建模 不要求学生死 记硬背解决实际问题的方法步骤 本教案的设计始终抓住本节乃至本章的这一 重点 不在一些细枝末节上浪费时间 通过本节探究 学生基本上熟悉了解决实际问题的思想方法 下一步教师 要在规范步骤等方面加以关注 备课资料备课资料 9 一 拓展资源 1 利用余弦定理证明正弦定理 在 ABC 中 已知 a2 b2 c2 2bccosA b2 c2 a2 2cacosB c2 a2 b2 2abcosC 求证 a sinA b sinB c sinC 证明 由 a2 b2 c2 2bccosA 得 cosA b2 c2 a2 2bc sin2A 1 cos2A 1 b2 c2 a2 2 2bc 2 2bc 2 b2 c2 a2 2 2bc 2 2bc b2 c2 a2 2bc b2 c2 a2 4b2c2 b c a b c a a b c a b c 4b2c2 a2 sin2A 4a2b2c2 a b c a b c a b c a b c 记该式右端为 M 同理可得 M M b2 sin2B c2 sin2C a2 sin2A b2 sin2B c2 sin2C a sinA b sinB c sinC 2 如图 P 为 ABC 内的一点 且 PAB PBC PCA 记 BC a CA b AB c 求证 1 sin2 1 sin2A 1 sin2B 1 sin2C 10 证明 在 PAC 中 由正弦定理 得 AP sin b sin APC APC 180 A 180 A AP sin b sinA 从而 S PAB c APsin c sin bcsinA S 1 2 1 2 bsin sinA 1 2 sin2 sin2A ABC sin2 sin2A 同理可得 S PBC S ABC S PCA S ABC sin2 sin2B sin2 sin2C 相加后即得 S ABC S ABC sin2 sin2A sin2 sin2B sin2 sin2C 1 sin2 1 sin2A 1 sin2B 1 sin2C 二 备用习题 1 在一幢 20 m 高的楼顶测得对面一塔顶的仰角为 60 塔基的俯角为 45 则塔高为 A 20 1 m B 20 1 m 3 33 C 10 m D 20 m 6262 2 如图 在河岸 AC 测量河的宽度 BC 测量下列四组数据 较适宜的是 A a c B b c C c D b 3 如图 B C D 三点在地面同一直线上 DC a 从 C D 两点测得 A 点 11 的仰角分别是 则 A 点离地面的高 AB 等于 A B asin sin cos asin sin sin C D asin cos sin acos cos cos 4 如图 有一长为 10 m 的斜坡 它的倾斜角是 75 在不改变坡高和坡 顶的前提下 通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为 30 则坡底要延伸 A 5 m B 10 m C 10 m 2 D 10 m 3 5 如下图 我炮兵阵地位于地面 A 处 两观察所分别位于地面点 C 和 D 处 已知 CD 6 000 m ACD 45 ADC 75 目标出现于地面点 B 处时 测得 BCD 30 BDC 15 求炮兵阵地到目标的距离 结果保留根号 6 如下图 测量人员沿直线 MNP 的方向测量 测得 A 点的仰角分别是 AMB 30 ANB 45 APB 60 且 MN PN 500 m 求塔高 AB 12 参考答案 参考答案 1 B 解析 解析 如图 AB 为楼 CD 为塔 AM 为水平线 则有 AB 20 DAM 45 CAM 60 MD 20 AM 20 CM 20 3 CD 20 1 m 3 2 D 解析 解析 由 b 可利用正弦定理求出 BC 3 B 解析 解析 在 ABC 中 CD a DAC 由正弦定理 得 a sin AC sin AC asin sin 在 Rt ABC 中 AB AC sin asin sin sin 4 C 解析 解析 在 ABC 中 由正弦定理 可知 x 10 x sin45 10 sin30 m 2 5 解 在 ACD 中 CAD 180 ACD ADC 60 CD 6 000 m ACD 45 由正弦定理 有 AD CD CDsin45 sin60 6 3 同理 在 BCD 中 CBD 180 BCD BDC 135 CD 6 000 BCD 30 由正弦定理 有 BD CD CDsin30 sin135 2 2 又在 ABD 中 ADB ADC BDC 90 13 根据勾股定理 得 AB CD CD 1 000 m AD2 BD2 6 3 2 2 2 2 42 642 答 炮兵阵地到目标的距离为 1 000 m 42 6 解 设 AB 的高为 x AB 与地面垂直 ABM ABN ABP 均为直角三角形 BM x cot30 x BN x cot45 x BP x cot60 x 3 3 3 在 MNB 中 BM2 MN2 BN2 2MN BN cos MNB 在 PNB 中 BP2 NP2 BN2 2NP BN cos PNB 又 BNM 与 PNB 互补 MN NP 500 3x2 250 000 x2 2 500 x cos MNB x2 250 000 x2 2 500 x cos PNB 1 3 得x2 500 000 2x2 x 250 m 10 36 答 塔高 AB 为 250 m 6 第第 2 2 课时课时 导入新课导入新课 思路 1 本章章头图导入 有的学生可能要问 正弦定理探究完了 余弦定 理也探究完了 那么本章开始引言中提出的问题究竟怎样解决呢 也就是怎样 算出几小时后某城市开始受到台风的侵袭和怎样测出海上航行的轮船的航速和 航向呢 学过本节后就简单清晰了 由此展开新课 思路 2 猜想导入 上节课我们探究了怎样测量不可到达的点的距离 又解 决了怎样测量底部不可到达的建筑物高度的问题 这些都是距离问题 那么能 否借助正弦定理 余弦定理测量一些角度的问题呢 回答是肯定的 由此展开 新课 推进新课推进新课 Error Error 14 1 回忆前面是如何测量距离和高度的 2 在测量距离和高度时 是怎样由三角形的一些已知边和角来求其他边 的 3 回忆上册中向量求和的平行四边形法则和三角形法则 4 日常生活中还有一个例子 如航海 在浩瀚无垠的海面上如何确保轮 船不迷失方向 同时保持一定的航速和航向前进 还有如何预防台风的侵袭等 这些可否像前面探究的距离和高度那样 转化为解三角形模型来解决呢 活动 教师引导学生再次回忆正弦定理 余弦定理 为了提高学生兴趣 可换个提法 前面解决实际问题的顺序是 实际问题 数学建模 数学模型的 解 实际问题的解 我们如果不按这个步骤进行结果会怎样 通过这样反复强 化 使学生的 数学建模 意识得以巩固 这里关键是找出已知量和未知量 画好平面示意图 确定需要解决的三角形 三角形模型应用很广泛 像航海确定方向等都离不开角 当然也就离不开 解三角形 也就需要用正弦定理 余弦定理等有关的三角形知识来解决它 讨论结果 1 4 略 Error 例例 1 教材问题 3 活动 本例题是解三角形与向量结合的典例 教师可引导学生复习向量的 相关知识 利用多媒体课件明确所要探究问题的已知量和未知量 指导学生画 出平面示意图 这是解好本问题的关键 点评 本例背景是我们人人都熟悉的三角形灯架 目的是让学生熟悉解决 平衡力系的数学方法 解决问题的关键是把受力情况和角度都放在三角形中 然后用正弦定理解决 变式训练变式训练 有两根柱子相距 20 m 分别位于电车的两侧 在两柱之间连接一条水平的 绳子 电车的送电线就悬挂在绳子的中点 如果送电线在这点垂直向下的作用 力是 17 8 N 则这条成水平的绳子的中点下降 0 2 m 求此时绳子所受的张 力 15 解 如图所示 设重力作用点为 C 绳子 AC BC 所承受的力分别记为 CE 重力记为 CF CG 由 C 为绳子的中点 知 CE CF 由 知四边形 CFGE 为菱形 CE CF CG 又 cos FCG cos DCB 0 02 0 2 102 0 2 2 445 CE CF 1 2 CG cos FCG 8 9 0 02 即绳子所受的张力为 445 N 例例 2 如图 一艘海轮从 A 出发 沿北偏东 75 的方向航行 67 5 n mile 后 到达海岛 B 然后从 B 出发 沿北偏东 32 的方向航行 54 0 n mile 后到达海 岛 C 如果下次航行直接从 A 出发到达 C 此船应该沿怎样的方向航行 需要航 行多少距离 角度精确到 0 1 距离精确到 0 01 n mile 活动 教师引导学生根据题意画出平面示意图 这是解决本类题目很重要 的一方面 教师可就此点拨学生注意 画图 用图 识图是学好数学的一项基 本功 能否准确画出示意图直接决定着解题的成败 这项基本功较弱的同学可 就此加强自己的补弱训练 我们前面学习时有过这样的经历 有些选择题 甚 至解答题 只要画出示意图 解答结果很快就出来了 这就是数形结合的强大 威力之所在 提醒学生关注这一点 解 在 ABC 中 ABC 180 75 32 137 根据余弦定理 16 AC AB2 BC2 2AB BC cos ABC 67 52 54 02 2 67 5 54 0 cos137 113 15 根据正弦定理 BC sin CAB AC sin ABC sin CAB 0 325 5 BCsin ABC AC 54 0sin137 113 15 所以 CAB 19 0 75 CAB 56 0 答 此船应该沿北偏东 56 0 的方向航行 需要航行 113 15 n mile 点评 本例综合运用了正 余弦定理 体现了正弦定理 余弦定理在解斜 三角形中的重要作用 解完本例后教师引导学生进行反思领悟 让学生把重点 放在数学建模这一共性上和对一般方法的掌握上 变式训练变式训练 如图 港口 A 北偏东 30 方向的 C 处有一观测站 港口正东方向的 B 处有 一轮船 测得 BC 为 31 n mile 该轮船从 B 处沿正西方向航行 20 n mile 后到 D 处 测得 CD 为 21 n mile 问此时轮船离港口 A 还有多远 解 由条件知 CAD 60 设 ACD CDB 在 BCD 中 由余弦定理 得 cos CD2 BD2 BC2 2CD BD 1 7 sin 1 cos2 4 3 7 sin sin 60 sin cos60 cos sin60 5 3 14 在 ABC 中 由正弦定理 得 CD sin CAD AD sin AD 15 n mile CD sin sin CAD 17 答 此时轮船离港口还有 15 n mile 例例 3 教材问题 4 活动 为降低难度 本题已经给出了平面示意图 教学时 可先不让学生 看这个图形 让学生通过阅读题意自己画出图形 然后对照题目给出的图形 以便找出偏差 或者教师以幻灯片的形式打出题意 稍后再出示示意图 留给 学生足够的思考空间 点评 1 本例右边的边注可作为本例的变式训练 在教材图 116 中 延长 PQ 到 Q 使 AQQ 40 3 台风沿 PQ 方向过点 Q 时 则台风终止侵袭 A 城 侵袭 A 城的时间为台风经过 Q 到 Q 所用的时间 解 AQQ 求出 Q 与 Q 的距离 然后除以台风移动的速度就可得到侵袭 A 城的时间 2 解完此题后教师引导学生总结应用正 余弦定理解斜三角形的解题方 法 在解三角形的应用题时 通常会遇到两种情况 已知量与未知量全部集 中在一个三角形中 依次利用正弦定理或余弦定理解之 已知量与未知量涉 及两个或几个三角形 这时需要选择条件足够的三角形优先研究 再逐步在其 余的三角形中求出问题的解 Error 1 已知 a b c 为 ABC 的三个内角 A B C 的对边 向量m m 1 3 n n cosA sinA 若m nm n 且 acosB bcosA csinC 则 B 2 如图所示 海中小岛 A 周围 38 海里内有暗礁 一船正在向南航行 在 B 处测得小岛 A 在船的南偏东 30 航行 30 海里后 在 C 处测得小岛在船的南 偏东 45 如果此船不改变航向 继续向南航行 有无触礁的危险 答案 答案 1 解析 解析 由题意 得cosA sinA 0 即 tanA 633 又 0 A A 3 18 由正弦定理 得 sinAcosB sinBcosA sin2C 即 sinC sin2C sinC 0 sinC 1 又 0 C C 2 B 2 3 6 2 解 在 ABC 中 BC 30 B 30 ACB 135 A 15 由正弦定理 知 AC 60cos15 15 30sin30 sin15 62 A 到 BC 所在直线的距离为 AC sin45 15 1 40 98 海里 3 40 98 海里 38 海里 船继续向南航行 没有触礁的危险 Error 先让学生回顾本节所探究的有关角度的知识过程 熟悉有关角的概念 回 顾在本节实际问题的探究中 是怎样画出方位角的 是如何将实际问题转化为 数学问题的 又是怎样灵活地选用正弦定理 余弦定理的 通过本节利用物体受力情况和航海 台风侵袭等实际问题 我们感受到数 学模型可以有效地描述自然现象和社会现象 数学是人类的一种文化 它的内 容 思想 方法和语言是现代文明的重要组成部分 Error 课本本节习题 1 2A 组 4 习题 1 2B 组 3 设计感想设计感想 本教案是根据课程标准 学生的认知特点 内容的安排而设计的 由于本 节课的前面已经有了举例探究经验 因此设计的活动主要都是通过学生自己完 成 只是教材一开始就呈现出台风侵袭城市的背景图 涉及到方位角 学生对 图形难以把握 特别从空间的视角去审视的时候有些困难 因此教师应充分利 用多媒体课件演示 让学生从动态中发现实物背景下的数学图形及有关的角度 问题 引导学生自己画出平面示意图 这是解决本例的关键所在 教师不要 19 怕在此浪费时间 本教案的设计意图还在于 通过本节课的展示 让学生体会到数学离不开 生活 生活离不开数学 数学知识来源于生活而最终服务于生活 数学课堂的 最后呈现标准不是学生成为解题能手 而是让学生体会到数学的实用价值 备课资料备课资料 一 备用习题 1 从 A 处望 B 处的仰角为 从 B 处望 A 处的俯角为 则 的关 系是 A B C 90 D 180 2 已知两座灯塔 A 和 B 与海洋观察站 C 的距离相等 灯塔 A 在观察站 C 的 北偏东 40 灯塔 B 在观察站 C 的南偏东 60 则灯塔 A 在灯塔 B 的 A 北偏东 10 B 北偏西 10 C 南偏东 10 D 南偏西 10 3 如图 有两条相交成 60 角的直线 XX YY 交点是 O 甲 乙分 别在 OX OY 上 起初甲在离 O 点 3 千米的 A 点 乙在离 O 点 1 千米的 B 点 后 来两人同时以每小时 4 千米的速度 甲沿 XX 方向 乙沿 Y Y 方向步行 1 起初 两人的距离是多少 2 用包含 t 的式子表示 t 小时后两人的距离 3 什么时候两人的距离最短 4 如图 当甲船位于 A 处时获悉 在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一 艘渔船遇险等待营救 甲船立即前往救援 同时把消息告知在甲船的南偏西 30 相距 10 海里 C 处的乙船 试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援 角度精确到 1 20 5 如图 已知 A B 两点的距离为 100 海里 B 在 A 的北偏东 30 处 甲 船自 A 以 50 海里 时的速度向 B 航行 同时乙船自 B 以 30 海里 时的速度沿方 位角 150 方向航行 问航行几小时 两船之间的距离最近 6 在某时刻 A 点西 400 千米的 B 处是台风中心 台风以每小时 40 千米 的速度向东北方向直线前进 以台风中心为圆心 300 千米为半径的圆称为 台风圈 从此时刻算起 经过多长时间 A 进入台风圈 A 处在台风圈中的时 间有多长 7 在一个特定时段内 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域 点 E 正北 55 海里处有一个雷达观测站 A 某时刻测得一般匀速直线行驶的船位 于点 A 北偏东 45 且与点 A 相距 40海里的位置 B 经过 40 分钟又测得该 2 船已行驶到点 A 北偏东 45 其中 sin 0 90 且与点 A 26 26 相距 10海里的位置 C 13 1 求该船的行驶速度 单位 海里 时 2 若该船不改变航行方向继续行驶 判断它是否会进入警戒水域 并说明 理由 参考答案 参考答案 1 B 2 B 解析 解析 由题意可画出平面示意图 如图 21 则 ACB 80 AC BC ABC 50 因此灯塔 A 在灯塔 B 的北偏西 10 3 解 1 甲 乙两人起初的位置是 A B 则 AB2 OA2 OB2 2OA OBcos60 32 12 2 3 1 7 1 2 起初两人的距离是千米 7 2 设甲 乙两人 t 小时后的位置分别是 P Q 则 AP 4t BQ 4t 当 0 t 时 PQ2 3 4t 2 1 4t 2 2 3 4t 1 4t cos60 3 4 48t2 24t 7 当 t 时 PQ2 4t 3 2 1 4t 2 2 4t 3 1 4t cos120 3 4 48t2 24t 7 PQ 48t2 24t 7 3 PQ2 48t2 24t 7 48 t 2 4 1 4 当 t 时 即在第 15 分钟末 PQ 最短 1 4 答 在第 15 分钟末 两人的距离最短 4 解 连结 BC 由余弦定理 得 BC2 202 102 2 20 10 cos120 700 于是 BC 10 7 22 由 sin ACB 20 sin120 10 7 sin ACB 3 7 ACB 90 ACB 41 乙船应朝北偏东 71 方向沿直线前往 B 处救援 5 解 设航行 x 小时后甲船到达 C 点 乙船到达 D 点 在 BCD 中 BC 100 50 x 海里 BD 30 x 海里 0 x 2 CBD 60 由余弦定理 得 CD2 100 50 x 2 30 x 2 2 100 50 x 30 x cos60 4 900 x2 13 000 x 10 000 当 x 1 小时 时 CD2最小 从而得 CD 最小 13 000 2 4 900 65 49 16 49 航行 1小时 两船之间距离最近 16 49 6 解 如图 以 AB 为边 B 为顶点作 ABP 45 点 P 在 B 点的东北方 向上 射线 BP 即台风中心 B 的移动方向 以 A 点为圆心 300 千米为半径画 弧交射线 BP 于 C D 两点 显然当台风中心从 B 点到达 C 点时 A 点开始进入 台风圈 台风中心在 CD 上移动的时间即为 A 处在台风圈中的时间 设台风中心由 B 到 C 要 t 小时 在 ABC 中 AB 400 千米 AC 300 千 米 BC 40t 千米 ABC