三角形的证明——考点及练习.docx

Error! No text of specified style in document.三角形的证明一、 知识点1、一般三角形全等的判定方法有 、 、 、 2、等腰三角形顶角的平分线、 、 互相重合，简称“ ”3、等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形。4、等边三角形的判定：（1）三个角 的三角形是等边三角形；（2）有一个角等于 的等腰三角形是等边三角形。在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所对应的直角边等于 。5、直角三角形的性质定理与判定定理：（1）直角三角形的两个锐角 ；（2）有两个角互余的三角形是 。勾股定理及其逆定理：（1）直角三角形两条直角边的 等于 ；（2）如果三角形两边的 等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。6、直角三角形全等的判定定理：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等，简述为“斜边、直角边”或“HL”。7、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 ；到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。8、三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等9、用尺规作图：（1）能够用尺规作已知线段的垂直平分线；（2）已知等腰三角形的底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形；（3）过点P（在直线l上或在直线l外）作已知直线l的垂线。10、角平分线上的点到角的两边的距离 。在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的 上。11、三角形的三条角平分线相交于一点，并且这个点到三角形三边的距离 。二、考点例题考点一 等腰三角形的性质例1、（2014广东）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A 17 B 15 C 13 D 13或17例2、（2014日照）已知ABC的周长为13，且各边长均为整数，那么这样的等腰ABC有（）A 5个 B 4个 C 3个 D 2个练习题1、（2014安顺）已知等腰三角形的两边长分別为、，且、满足，则此等腰三角形的周长为（）A 7或8 B 6或10 C 6或7 D 7或102、（2014溧水县二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为x轴上一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 4考点二 等腰三角形的判定例1、（2013龙岩）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（0，6），动点C在直线y=x上若以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点C的个数是（）A 2 B 3 C 4 D 5例2、（2014深圳模拟）已知：如图，在ABC中，ADBC，垂足为点D，BEAC，垂足为点E，M为AB边的中点，连接ME、MD、ED（1）求证：MED为等腰三角形；（2）求证：EMD=2DAC练习题1、（2014溧水县二模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（1，），M为x轴上一点，且使得MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A 1 B 2 C 3 D 42、（2014南安市二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x轴、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）连接OA，求：（1）线段OA的长为_；（2）若在直线a上存在点P，使AOP是等腰三角形那么所有满足条件的点P的坐标是_考点三 直角三角形全等的判定例1、（2013西宁）使两个直角三角形全等的条件是（）A 一个锐角对应相等 B 两个锐角对应相等C 一条边对应相等 D 两条边对应相等例2、（2013资阳）如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，则ABC=_度例3、一根长米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（）为60，当木棒A端沿墙下滑至点时，端沿地面向右滑行至点（1）求的长；（2）当米时，求的长练习题1、如图，在RtABC中，BAC=90，AB=AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，若BD=4cm，CE=3cm，则DE=_cm2、将边长为8cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC边中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）A3cm B4cm C5cm D6cm考点四 线段的垂直平分线的性质例1、（2014丹东）如图，在ABC中，AB=AC，A=40，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE，则CBE的度数为（）A 70 B 80 C 40 D 30例2、（2014眉山）如图，在ABCD中，AB=3，BC=5，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OEAC，交AD于点E，连接CE，则CDE的周长为_例3、（2013常州）如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF求证：AE=AF练习题1、（2013毕节地区）如图在RtABC中，A=30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD，若BD=1，则AC的长是（）A 2 B 2 C 4 D 42、（2013湖北）如图，在ABC中，AB=AC，A=120，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A 4cm B 3cm C 2cm D 1cm3、（2014河南）如图所示，在RtABC中，ACB=90，AC=BC，D为BC边上的中点，CEAD于点E，BFAC交CE的延长线于点F，求证：AB垂直平分DF考点五 三角形的角平分线，中线和高例1、（2014连云港）小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4，9，12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解”小华根据小明的提示作出的图形正确的是（）A B C D 例2、已知ABC中，ACB=90，CD为AB边上的高，BE平分ABC，分别交CD、AC于点F、E，求证：CFE=CEF例3、如图，AD为ABC的中线，BE为三角形ABD中线，（1）ABE=15，BAD=35，求BED的度数；（2）在BED中作BD边上的高；（3）若ABC的面积为60，BD=5，则点E到BC边的距离为多少？练习题1、下面四个图形中，线段BE是ABC的高的图是（）A B C D 2、（2014通州区二模）如图，在ABC中，A=ABC与ACD的平分线交于点A1，得A1；A1BC与A1CD的平分线相交于点A2，得A2； ；A2011BC与A2011CD的平分线相交于点A2012，得A2012，则A2012=_3、已知：如图，AF平分BAC，BCAF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M求证：AB=CD考点六 角平分线的性质例1、（2014威海）如图，在ABC中，ABC=50，ACB=60，点E在BC的延长线上，ABC的平分线BD与ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A BAC=70 B DOC=90 C BDC=35 D DAC=55例2、（2014安阳县一模）如图，在RtABC中，C=90，AC=BC=1，AD平分BAC交BC于点D，DEAB于点E，则DBE的周长为（）A 2 B C D 无法计算例3、（2014新昌县模拟）如图，利用尺规求作所有点P，使点P同时满足下列两个条件：点P到A，B两点的距离相等；点P到直线l1，l2的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）练习题1、（2014瑶海区一模）如图所示，若ABCD，AP，CP分别平分BAC和ACD，PEAC于E，且PE=3cm，则AB与CD之间的距离为（）A 3cm B 6cm C 9cm D 无法确定2、（2014长春）如图，在ABC中，C=90，AB=10，AD是ABC的一条角平分线若CD=3，则ABD的面积为_3、如图，ABAC，A的平分线与BC的垂直平分线相交于D，过D作DEAB于E，作DFAC于F求证：BE=CF参考答案考点一例1、A 例2、C 练习题1、 A2、 B考点二例1、B例2、证明：（1）M为AB边的中点，ADBC，BEAC，ME=AB，MD=AB，ME=MD，MED为等腰三角形；（2）ME=AB=MA，MAE=MEA，BME=2MAE，同理，MD=AB=MA，MAD=MDA，BMD=2MAD，EMD=BMEBMD=2MAE2MAD=2DAC练习题1、B2、（1）5；（2）（8，4）或（2，4）或（，4）或（3，4）考点三例1、D 例2、45例3、解：（1）根据题意可知：AB=6，ABO=60，AOB=90，在RtAOB中，cosABO=，OB=ABcosABO=6cos60=3米，OB的长为3米；（2）根据题意可知AB=AB=6米，在RtAOB中，sinABO=，OA=ABsinABO=6sin60=9米，OA=OAAA，AA=1米，OA=8米，在RtAOB中，OB=2米，BB=OBOB=（23）米练习题1、72、A考点四例1、D例2、8例3、ADBC，EAO=FCO，AEO=CFO，AOECOFASA，OE=OF，AC垂直平分EF，AE=AF练习题1、A2、C3、证明：连接DF，BCE+ACE=90，ACE+CAE=90，BCE=CAEACBC，BFACBFBCACD=CBF=90，AC=CB，ACDCBFCD=BFCD=BD=BC，BF=BDBFD为等腰直角三角形ACB=90，CA=CB，ABC=45FBD=90，ABF=45ABC=ABF，即BA是FBD的平分线BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，即AB垂直平分DF考点五例1、C例2、证明：ACB=90，1+3=90，CDAB，2+4=90，又BE平分ABC，1=2，3=4，4=5，3=5，即CFE=CEF例3、解：（1）BED是ABE的一个外角，BED=ABE+BAD=15+35=50（2）如图所示，EF即是BED中BD边上的高（3）AD为ABC的中线，BE为三角形ABD中线，SBED=SABC=60=15；BD=5，EF=2SBEDBD=2155=6，即点E到BC边的距离为6练习题1、D2、 3、证明：AF平分BAC，CAD=DAB=BAC，B