梯度在物理方面的应用

电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 一 标量场 标量场的函数是单值函数 各等值面互不相交 以温度场为例 热源 等温面 场的概念场的概念 梯度梯度 1 标量场的场函数 tzyx 2 标量场的等值面 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 222 0 4 zyx q zyx 标量场 的等值面是何形状 等值面方程为 解 c为常数 c zyx q zyx 222 0 4 2222 Czyx 2 0 2 222 4c q zyx 为以原点为圆心的球面 即 即 场的概念场的概念 梯度梯度 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 二 方向导数二 方向导数 M M l u M u M l l0 l0 uu M u M du lim lim l ldl 0 M 0 M 0 M M M M du u rl dl du u rl dl du u rl dl 当时 表示在点沿 方向是增加的 时 表示在点沿 方向是减小的 时 表示在点沿 方向是不变的 特例 uuu ux y z xyz 就是 分别沿方向的方向导数 场的概念场的概念 梯度梯度 u r 定义 标量场 在某点沿某个方向的变化率 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 三 梯度 定义 标量场中某点梯度的大小为该点最大的方向导数 其方向为该点所在等值面的法线方向 数学表达式 grad du un dn du dn 数值最大的方向导数 0 u 0 duu P 1 P 2 P dn dl 场的概念场的概念 梯度梯度 du dl 函数u在P点处沿 方向的 方向导数 即沿 方向单 位长度上的增加量 2PP 2PP 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 计算 du cos dn draddugul ddd ddd uun lnl d d u n l n 在直角坐标系中 dddd uuu uxyz xyz ddddlxxyyzz 所以 grad uuu uxyz xyz 梯度也可表示 graduuxyz xyz 0 u 0 duu P 1 P 2 P dn dl 场的概念场的概念 梯度梯度 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 在柱坐标系中 在球坐标系中 在任意正交曲线坐标系中 1 uuu urz rrz 11 sin uuu ur rrr 123 112233 111 uuu uuuu huhuhu 在不同的坐标系中 梯度的计算公式 在直角坐标系中 uuu uxyz xyz 场的概念场的概念 梯度梯度 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 总 结 1 标量场的等值面只能反映标量分布的总体趋势 2 标量场的梯度则体现了场中每一点处标量变化最快 的方向和最大的变化率 uz z u y y u x x u u grad 场的概念场的概念 梯度梯度 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 222 1 gradgrad rrxyz r 求和其中 r x y z o grad rrr rxyz xyz xyzr xyzr rrrr 22 111 1grad grad rr rrr xyz rxyzrr 场的概念场的概念 梯度梯度 电磁场与电磁波电磁场与电磁波 第第1章章 矢量分析矢量分析 求标量场 在点 2 1 1 处的梯度 32 yzxyu zyzyzxyxy z z u y y u x x u u 3 2 grad 232 zyxu 3 3 grad 1 1 2 解 场的概念场的概念 梯度梯度 电磁场与电磁波