2011数学基础知识点落实

第一部分：复数一 复数的概念1定义：集合 C=a+bi |aR,bR； 形如：Z= a+bi，其中 aR,bR，i为虚数单位；规定：a 为实部，b为虚部。2规定：Z1=a+bi；Z2=c+di如果Z1=Z2则 a=c，b=d 此实际为复数相等的原理复数分类：实数（时）和虚数（），其中，时为纯虚数，是虚数的特殊情况二 复数的几何意义1 概念复平面：以指教坐标系的正半轴为复平面的正实轴，轴的正半轴为正虚轴，以有序实数对（，）为复平面的对应点坐标从而实现平面直角坐标系中点集与复数集的对应规定：x轴上的点对应为实数，y轴上除原点外对应为纯虚数，其他点对应复数2 复数与向量的对应：以复平面的原点为起点，以有序实数对（，）为终点的向量与复数一一对应.其中,用参数法求得的曲线方程中的x、y的范围可由参数函数的值域来确定.三 复数代数形式的四则运算 复数的加法加法原则：实部与实部相加，虚部与虚部相加（实质为复数相等原理）复数与向量一一对应，所以复数的加法运算也符合向量的加法运算由此有：加法交换律：Z1+Z2=Z2+Z1加法结合律：（Z1+Z2）Z3Z1+（Z2Z3） 复数的减法减法为加法的逆运算，与加法一致，同时也符合向量的减法运算，不再繁叙 复数的乘法 复数乘法与多项式乘法相似，符合代数乘法的分配律，同时符合复数的加法运算，且规定2=-1，所以乘法运算如下：令Z1=a+bi，Z2=c+di 则 Z1*Z2=（a+bi）(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i很明显复数乘法有：乘法交换律：Z1*Z2=Z2*Z1乘法结合律：（Z1*Z2）*Z3=Z1*（Z2*Z3）乘法分配律：（Z1+Z2）*Z3=Z1*Z3+Z2*Z3平面向量第一讲一 相关概念1向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量A(起点) B（终点）a2.向量的表示方法：用有向线段表示；用字母、（黑体，印刷用）等表示；用有向线段的起点与终点字母：；向量的大小长度称为向量的模，记作|3零向量、单位向量概念：长度为0的向量叫零向量，记作0. 0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.4平行向量定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量；我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合、才是平行向量的完整定义；（2）向量、平行，记作.5相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量与相等，记作；（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的 起点无关.6共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.二 向量的加法、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.、向量加法的几何意义三角形法则（“首尾相接，首尾连”）和平行四边形法则如图，已知向量a、.在平面内任取一点，作a，则向量叫做a与的和，记作a，即 a，规定： a + 0-= 0 + aABCa+ba+baabbaa3 向量加法的交换律+=+向量加法的结合律：(+) +=+ (+)三 向量的减法用“相反向量”定义向量的减法（1） “相反向量”的定义：与a长度相同、方向相反的向量.记作 -a（2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.-(-a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，则a = -b， b = -a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差. 即：a - b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法.四 数乘向量1实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作：（1）|=|；（2）0时与方向相同；0时与方向相反；=0时=2运算定律结合律：()=() ；分配律：(+)=+， (+)=+ 3. 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使=.第二讲1平面向量的坐标表示 如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得我们把叫做向量的（直角）坐标，记作其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为.2平面向量的坐标运算若，则，.若，则 ()的充要条件是x1y2-x2y1=0向量共线的充要条件有两种形式： ()第三讲 平面向量的数量积1平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|a|b|cosq叫与的数量积，记作ab，即有ab = |a|b|cosq，（）.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成ab；今后要学到两个向量的外积ab，而ab是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“ ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替.（3）在实数中，若a0，且ab=0，则b=0；但是在数量积中，若a0，且ab=0，不能推出b=0.因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b0)，则ab=bc a=c.但是ab = bc a = c 如右图：ab = |a|b|cosb = |b|OA|，bc = |b|c|cosa = |b|OA| ab = bc 但a c (5)在实数中，有(ab)c = a(bc)，但是(ab)c a(bc) 显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.2“投影”的概念：作图 定义：|b|cosq叫做向量b在a方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0时投影为 |b|；当q = 180时投影为 -|b|.3向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积.4两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.1 ea = ae =|a|cosq2 ab ab = 03 当a与b同向时，ab = |a|b|；当a与b反向时，ab = -|a|b|. 特别的aa = |a|2或4 cosq =5 |ab| |a|b|5平面向量数量积的运算律（1）交换律：a b = b a（2）结合律：(a)b =(ab) = a(b)（3）分配律：(a + b)c = ac + bc6平面向量数量积的坐标表示、模、夹角（1） 平面两向量数量积的坐标表示已知两个非零向量，试用和的坐标表示. （2）平面内两点间的距离公式设，则或.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)(3) 向量垂直的判定设，则(4)两向量夹角的余弦（） cosq =解析几何初步1倾斜角：一条直线L向上的方向与X轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为。2斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=tan;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。3过两点p1(x1,y1),p2(x2,y2)(x1x2)的直线的斜率公式:k=tan（若x1x2，则直线p1p2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。4直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。名称方程说明适用条件斜截式y=kx+bk斜率b纵截距倾斜角为90的直线不能用此式点斜式y-y0=k(x-x0)(x0，y0)直线上已知点，k斜率倾斜角为90的直线不能用此式两点式=(x1，y1)，(x2，y2)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式+=1a直线的横截距b直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式Ax+By+C=0，分别为斜率、横截距和纵截距A、B不能同时为零直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。5直线l1与直线l2的的平行与垂直（1）若l1，l2均存在斜率且不重合：l1/l2 k1=k2；l1l2 k1k2=1。（2）若 若A1、A2、B1、B2都不为零。l1/l2；l1l2 A1A2+B1B2=0；l1与l2相交；l1与l2重合；注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。6 距离（1）两点间距离：若，则特别地：轴，则、轴，则。（2）平行线间距离：若， 则：。注意点：x，y对应项系数应相等。（3）点到直线的距离：，则P到l的距离为：7圆的方程圆心为，半径为r的圆的标准方程为：。特殊地，当时，圆心在原点的圆的方程为：。圆的一般方程，圆心为点，半径，其中。二元二次方程，表示圆的方程的充要条件是：、项项的系数相同且不为0，即；、没有xy项，即B=0；、。8直线与圆的位置关系有三种（1）若，；（2）；（3）。还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组求解，通过解的个数来判断：（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交；（2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切；（3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r0；相交d0；相离dr0。4两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，。； 外离 外切 相交 内切 内含立体几何空间点线面1平面概述（1）平面的两个特征：无限延展 平的（没有厚度）（2）平面的画法：通常画平行四边形来表示平面（3）平面的表示：用一个小写的希腊字母、等表示，如平面、平面；用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC。2三公理三推论:公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内：A,B,A,B公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面。推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面。3空间直线:（1）空间两条直线的位置关系：相交直线有且仅有一个公共点；平行直线在同一平面内，没有公共点； 异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点。相交直线和平行直线也称为共面直线。异面直线的画法常用的有下列三种：（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的。即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。推理模式：与a是异面直线。4直线和平面的位置关系（1）直线在平面内（无数个公共点）；（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线和平面平行（没有公共点）用两分法进行两次分类。它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为，。线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。推理模式：线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。推理模式：5两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于一个平面，那么这两个平面平行。定理的模式：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面互相平行。推论模式：（2）两个平面平行的性质（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平6线线垂直判断线线垂直的方法：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那麽它也和这条斜线的射影垂直。推理模式： 。注意：三垂线指PA，PO，AO都垂直内的直线a 其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理 要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。7线面垂直定义：如果一条直线l和一个平面相交，并且和平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l和平面互相垂直其