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文档简介

一 罗尔定理二 拉格朗日中值定理三 柯西中值定理 4 1中值定理 1 二 罗尔定理 定理4 1设函数f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 在区间 a b 的端点处函数值相等 即f a f b 注意 罗尔定理的条件有三个 如果缺少其中任何一个条件 定理将不成立 2 罗尔定理几何意义 若曲线弧在 a b 上为连续弧段 在 a b 内曲线弧上每点都有不平行于y轴的切线 且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同 那么曲线弧段上至少有一点 过该点的切线必定平行于x轴 3 例如f x x 在 1 1 上连续 且f 1 f 1 1 但是 x 在 1 1 内有不可导的点 本例不存在使 又如f x x在 0 1 上连续 在 0 1 内可导 但是f 0 0 f 1 1 本例不存在 使 再如f x 在 0 1 内可导 f 0 0 f 1 但是f x 在 0 1 上不连续 本例不存在 4 还需指出 罗尔定理的条件是充分条件 不是必要条件 也就是说 定理的结论成立 函数未必满足定理中的三个条件 即定理的逆命题不成立 例如在 0 3 上不满足罗尔定理的条件但是存在 使 5 三 拉格朗日中值定理 定理4 2设函数f x 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 则至少存在一点 分析与罗尔定理相比 拉格朗日中值定理中缺少条件是f a f b 如果能由f x 构造一个新函数使在 a b 上满足罗尔定理条件 且由能导出则问题可解决 6 拉格朗日中值定理的几何意义 如果在 a b 上的连续曲线 除端点外处处有不垂直于x轴的切线 那么在曲线弧上至少有一点使曲线在该点处的切线平行于过曲线弧两端点的弦线 7 证令 由于f x 在 a b 上连续 因此在 a b 上连续 由于f x 在 a b 内可导 因此在 a b 内可导 又由于 因此在 a b 上满足罗尔定理条件 所以至少存在一点 使 即 从而有 或表示为 8 总结 拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广 罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情况 9 如果f x 在 a b 内可导 则在以为端点的区间上f x 也满足拉格朗日中值定理 即 因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理 其中为之间的点 也可以记为 或 10 推论1若在 a b 内恒等于零 则f x 在 a b 内必为某常数 事实上 对于 a b 内的任意两点 由拉格朗日中值定理可得 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论 位于x1 x2之间 故有f x1 f x2 由x1 x2的任意性可知f x 在 a b 内恒为某常数 11 推论2若在 a b 内恒有 则有 其中C为某常数 由推论1可知f x g x C 即f x g x C f x g x C 事实上 由已知条件及导数运算性质可得 12 四 柯西中值定理 定理4 3设函数f x 与g x 满足 1 在闭区间 a b 上都连续 2 在开区间 a b 内都可导 3 在开区间 a b 内
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