数学教案【整式与因式分解】.doc

斯诺达教育关爱成就梦想整式的乘除与因式分解一、知识要点（一）代数式的意义1、代数式的定义用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫代数式。单独一个数或者一个字母也是代数式。如：，等式子，都是代数式。2、代数式的书写（1）当数字与字母相乘时，乘号通常省略不写或简写为“”，并用数字在前，字母在后，若数字是带分数要化成假分数。如：应写成或；（2）字母与字母相乘，乘号通常省略不写或简写为“”。如：应写作或；（3）除法写成分数形式。如：应写作。3、代数式的分类（二）整式的有关概念及运算1、单项式、多项式、整式的有关概念（1）单项式的概念：像x、7、，这种由数与字母的乘积组成的代数式叫做单项式。特别地：单独一个数或字母也是单项式。1）单项式的系数：单项式中的数字因数叫单项式的系数。2）单项式的次数：单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。注意： 圆周率是常数； 当一个单项式的系数是1或时，“1”通常省略不写，如，。（2）多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式。如：，。1）多项式的项：多项式中每一个单项式都叫多项式的项。不含字母的项叫常数项。一个多项式含有几项，就叫几项式。注意： 多项式的每一项都包括它前面的符号。如所以这个多项式的项是，； 像，其中也叫做4次项，类似地，叫做2次项，叫做1次项。2）多项式的次数：多项式里，次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数。3）升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。注意： 重新排列后还是多项式的形式，各项的位置发生变化，其他都不变； 各项移动时要连同它前面的符号一起移动； 含有两个或两个以上字母的项，注意“按某一字母”升幂或降幂排列； 某项前面的符号是“+”，在第一项位置时，正号可省略，其它位置不能省。（3）整式的概念：单项式与多项式统称为整式。单项式多项式代数式整 式（3）同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项。如：与。 注意： 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； 几个常数项也是同类项。（4）合并同类项的方法1）合并同类项法则同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。2）合并同类项的具体步骤第一步：准确地找出同类项；第二步：利用分配率，把同类项的系数加在一起（用小括号），字母和字母的指数不变；第三步：写出合并后的结果。2、整数指数幂的性质 （1）同底数幂的乘法法则同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（、都是正整数）。注意：三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质。（2）同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即（，、都是正整数）。说明： 如果，那么，即任何不为零的数的零次幂等于1； 如果，那么，即。（3）幂的乘方性质幂的乘方，底数不变，指数相乘，即（、都是正整数）。说明：1）幂的乘方是转化为指数的乘法运算，同底数幂相乘是转化为指数的加法运算；2）此性质可逆用为：，如：。（4）积的乘方性质积的乘方，等于个因数乘方的积，即（都是正整数）。注意：三个或三个以上的因数的积的乘方，也具备这一性质。3、整式的乘法（1）单项式的乘法单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。如：。注意：计算时，先确定积的符号，再计算绝对值。（2）单项式乘以多项式单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。即。注意： 多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号； 运算结果中若出现同类项时要合并，从而得出最简结果。如：。（3）多项式乘以多项式多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即。如：。 4、乘法公式（1）平方差公式：，即两数和与这两数的差的积，等于它们的平方差。特点：等号左边是两个数的和与它们的差的积，等号右边这两个数的平方差。注意：公式中的、也可以是单项式或多项式。（2）完全平方公式：（完全平方和公式）；（完全平方差公式）。特点：等号左边是两个数的和（或差）的平方，等号右边是三项式，其中两项是这两个数的平方和，第三项是这两个数的和（或差）的二倍。注意：公式中的、也可以是单项式或多项式。5、整式的除法（1）单项式除以单项式的运算法则单项式相除，把系数，同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有字母，则连同它的指数作为商的一个因式。如：。（2）多项式除以单项式的运算法则一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项，再把所得的商相加。 如：（三）因式分解1、因式的概念（1）辨别因式与加式。（2）因式分解概念把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解。说明： 因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆运算； 若没有指明在什么范围内因式分解，一般是指在有理数范围内分解。2、常用的因式分解方法（1）提取公因式法1）公因式：在多项式中，各项都含有的因式叫做这个多项式的公因式。2）最大公因式：多项式各项中所有以相同字母为底的因式的最低次幂的积。说明：最大公因式的确定方法：一看系数，二看相同字母或因式。即， 公因式的系数：取各项系数的最大公约数； 公因式的字母（或式子）：取各项相同的字母（或式子）； 字母（或式子）的次数：各字母（或式子）的幂取指数最小的。注意：公因式中的字母（或式子）必须是各项的因式，不能是加式。3）提取公因式法如果一个多项式各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成两个因式乘积的形式。其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是多项式除以公因式所得的商。即。 （2）运用公式法：平方差公式：；完全平方公式：。说明：运用公式法首先观察项数，若是二项式，应考虑平方差公式；若是三项式，则考虑完全平方公式，然后观察各项的次数、系数是否符合公式的特征。（3）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解。如：注意：四项式的分组有两种方式：一、三分组和二、二分组。一、三分组主要运用完全平方公式和平方差公式；二、二分组则既可以运用提公因式法，又可以运用平方差公式和提公因式法混合使用。（4）十字相乘法：对于二次三项式，可以借用一个十字叉将其分解因式，这种方法叫做十字相乘法。即： （分解二次项与常数项） （如图所示，交叉排列） （交叉相乘，再作和）注意：能否用十字相乘法分解一个二次三项式，关键在于十字分解后交叉相乘再作和是否等于一次项。3、因式分解的一般步骤（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法；（3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再考虑用分组分解法。说明：以上步骤可以总结为“一提、二套、三分组”。注意： 因式分解的最后结果，必须是几个整式的积； 因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止。二、典型例题题型1 代数式的运算1根据法则计算： 例1 计算：2巧用公式计算 例2 计算：3代数式的求值：例3 先化简，再求值：，其中，。题型2 因式分解 4提公因式法例3 2运用公式法例5 （1） （2）3分组分解法例6 4十字相乘法例7（1）；（2）题型3 综合应用例8 已知的展开式中不含和项，求，的值。例9 已知，求，的值例10 已知、为有理数，且，试说出、之间的关系，并说明理由。三、跟踪训练1、已知整式与是同类项，那么，的值分别是（ ）A. ， B. ， C.， D.，2、下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3、在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（ ） A. B. C. D.4、因式分解的结果是（ ） A. B. C. D.5、下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 6、已知：，化简的结果是（ ）A. 6 B. C. D. 7、下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的为（ ）A. B. C. D. 8将多项式分解因式，结果是（ ）A. B. C. D. 9、计算： ； 。10、如果，那么代数式的值是 。11、分解因式： ； 。12、若，则 。13、已知，那么的值为 。14、在多项式中添加 ，可使它是完全平方式（填一个即可），然后将得到的三项式分解因式是 。15、若且，则的值为 。16、化简 。17、计算（1） （2）（3）（4）18、分解因式（1） （2） （