数理统计36436

数理统计MathematicalStatistics 重庆大学数理学院 课程介绍 一 课程地位 研究对象 随机现象及其统计规律 课程目的 为思考随机现象提供一种思维方式 为掌握随机现象规律提供一套理论方法 为数据分提供一种有效的定量分析方法 概率论与数理统计 科学的语言和逻辑 二 课程特点1 涉及的基础数学知识较多高等数学 概率论 线性代数 2 应用广泛地球科学 神经学 人工智能 通讯网络 资讯工程 医学 生物学 经济学 金融学 风险管理 心理学及社会学等 3 内容多 任务重课前预习 课后复习 多做练习 经常总结和联想 学会自主学习 探索性学习 三 课程要求1 学习数理统计的思维方式采用统计思维观察现象 认识问题 2 学习数理统计的语言特点采用统计语言刻画问题 建立模型 3 学习数理统计的基本理论与方法采用统计方法分析问题 解决问题 四 考核方式闭卷考试 统一考试 统一批改 五 教材和主要参考书教材杨虎 刘琼荪 钟波 数理统计 高等教育出版社 2004年10月 主要参考书1 孙荣恒 应用数理统计 科学出版社 2 吴喜之 统计学 从数据到结论 第二版 中国统计出版社 3 IrwinMiller MaryleesMiller 数理统计与应用 清华大学出版社 影印版 课程基本内容 一 相关的概率论知识二 数理统计的基本概念与抽样分布定理三 参数估计1 点估计方法 矩估计法和极大似然法 2 估计量的评选标准 无偏性 有效性 一致性 3 置信区间及其确定方法 4 置信度 估计的允许误差 总体方差以及样本容量之间的关系 四 假设检验1 假设检验的基本原理与两类错误 2 假设检验的基本步骤 3 正态总体的参数假设检验 比例的假设检验 4 非参数假设检验 分布拟合卡方检验 秩和检验和独立性检验 五 回归分析1 回归分析的原理 2 一元线性回归模型的参数估计方法以及估计参性质 3 一元线性回归的预测与控制问题 4 多元线性回归的参数估计方法以及估计参数的性质 5 非线性回归 六 方差分析与正交设计1 方差分析的基本原理 2 单因素方差分析方法 3 正交试验 正交表及正交试验设计的方法和步骤 4 正交试验下的直观分析法和方差分析法 七 多元统计分析1 聚类分析原理和方法 2 主成分分析原理和方法 概率论相关知识 一 一维随机变量离散型随机变量随机变量X 取值只有有限个或可数个 离散型随机变量分布列X取值为且称为随机变量X的分布列 满足 连续型随机变量存在非负可积的函数 对任意实数 有称X为连续型随机变量 为X的分布密度或密度函数 它有 分布函数的定义 对连续型随机变量X 若其密度函数为f x 则 F x 有如下性质 二 常用分布1 0 1分布 X B 1 p 属离散型随机变量 描述只有两个状态的随机实验 2 二项分布 X B n p 属离散型 描述只有两个状态的多次随机实验 也称为n重贝努利分布 n 1时 就是0 1分布 3 泊松分布 X P 属离散型 描述随机到达现象 4 均匀分布 X U a b 属连续型 X在 a b 内机会均等地取值 其密度函数为 其分布函数为 5 指数分布 X E 属连续型 常用于描述人或物的寿命 其密度函数为 6 正态分布 属连续型 描述大量独立微小扰动下的误差等现象 是最重要的分布之一 其密度函数为 N 0 1 称为标准正态分布 三 随机变量的数字特征1 数学期望X是离散型随机变量X是连续型随机变量 其密度函数是期望EX有如下性质 X是离散型 X是连续型 其密度函数是 一般用如下公式 方差DX有如下性质 2 方差 四 常用分布的数字特征五 协方差和相关系数 1 协方差和相关系数的性质 2 随机矩阵的数学期望 3 协方差矩阵的定义 4 随机向量X的相关系数矩阵 5 协方差矩阵和相关系数矩阵的性质 六 多元正态分布 正态分布N 0 1 0 5 1 0 3 的密度函数 图1 俯视图 图2 平视图 多元正态分布的性质 第一章基本概念1 1数理统计简介 抽样所得数据从大量研究对象中抽取一部分进行研究所得数据 观测所得数据通过仪器和观测人员测量所得数据 数据的问题 1 怎样抽样才能反映全体研究对象特征 2 怎样处理观测数据才能消除观测误差影响 数理统计有效的收集和使用带随机性影响的数据 27 总体研究对象的全体 个体组成总体的每个单元 样本从总体中抽出n个个体 组成总体的一个样本 n称为样本容量 1 2总体 样本与统计量 28 例1确定灯泡寿命的分布一批灯泡由大量个体组成 整批灯泡构成研究的总体 设该批灯泡中每个灯泡的寿命为X 则X是一个随机变量 记其分布函数为抽取灯泡n个 分别记其寿命为 那么每个具有和X一样的分布函数 问题怎样抽取样本才能确定总体X的分布函数 29 抽样方法应该满足以下两点 独立性为相互独立的随机变量 代表性每个与总体X同分布 满足以上要求的样本为简单样本 有限总体中抽样时 有放回的随机抽样得到简单样本 无放回抽样在总体个数很多时也可看成简单样本 30 样本的观测值样本的观测值为 样本的联合分布样本是多元随机变量 它的联合分布为若总体X是连续型随机变量 它的密度函数为 有 31 例2两点分布下的样本分布的分布函数可以表示为 样本的联合分布为 32 例3指数分布下的样本分布 密度函数为 样本的联合分布为 33 统计量设为总体X的一个样本 是一个的函数 并且不含有总体X的未知参数 那么函数称为统计量 常见统计量 1 样本均值 2 样本方差 3 样本k阶原点矩 34 4 样本k阶中心矩 5 样本标准差 35 样本均值的性质 样本均值是样本的 中点 样本均值的期望就是总体的期望 方差为总体方差的n分之一 样本均值以概率1趋进总体均值 36 样本方差的性质 样本方差的期望就是总体方差 样本均值是到各个样本点的误差平方和最小的点 样本方差是样本离散程度的一个度量 37 例4均匀分布总体的样本均值和样本方差 38 1 3顺序统计量 经验分布函数和统计直方图 39 称为最小统计量 称为最大统计量 称为极差 称为样本中位数 顺序统计量派生的统计量 40 统计量的分布函数 41 统计量的密度函数 42 例1X U 0 求的密度函数 43 二经验分布函数定义1 3 2将样本值从小到大排序称为总体X的经验分布函数 经验分布函数是的函数 是一个统计量 44 经验分布函数的性质 格列汶科定理设总体的分布函数为 经验分布函数为那么对任意小的误差水平有 当样本容量足够大时 经验分布函数可以很好的近似总体的分布函数 45 经验分布函数和分布函数示例N 10 2 n 200 46 三统计直方图 以直方图的方式描述总体的分布特征 图a直接记录区间内样本个数n 50 图b记录区间内样本的频率n 50 47 1 4抽样分布 统计量的分布称为抽样分布 正态总体下的抽样分布 1 分布 密度函数为 48 卡方分布的密度函数和分布函数 图a卡方分布的密度函数 图b卡方分布的分布函数 49 卡方分布的性质 50 2 分布 密度函数为 51 t分布的密度函数和分布函数 图at分布的密度函数 图bt分布的分布函数 52 t分布的性质 53 例1卡方分布和t分布的待定系数问题 54 55 F分布的密度函数和分布函数 图aF分布的密