夫良禾费单缝衍射实验

Guizhou Minzu University 信息光学 实验论文 论文题目论文题目 学院学院 系系 专专 业业 学校代码学校代码10672 编编 号号 空间滤波实验 第 1 页 年年 级级 姓姓 名名 学学 号号 完成时间完成时间 目目 录录 摘摘 要要 2 1 1 前言前言 2 1 11 1 光的衍射光的衍射 2 1 21 2 衍射与干涉衍射与干涉 2 1 31 3 衍射的应用衍射的应用 3 2 2 夫琅禾费衍射原理夫琅禾费衍射原理 4 2 1 1 惠更斯惠更斯 菲涅耳原理菲涅耳原理 4 2 22 2 夫琅禾费衍射夫琅禾费衍射 5 2 32 3 实现夫琅禾费衍射的几种方法实现夫琅禾费衍射的几种方法 6 2 42 4菲涅耳半波带分析法菲涅耳半波带分析法 8 3夫琅禾费衍射图样的特点与光强计算夫琅禾费衍射图样的特点与光强计算 11 空间滤波实验 第 2 页 3 1 1 图样特点图样特点 11 3 2 光强的计算光强的计算 12 3 3衍射条纹的分布衍射条纹的分布 13 3 4 夫琅夫琅禾禾费单缝衍射光强分布费单缝衍射光强分布 14 4 实验分析实验分析 15 5 实验总结实验总结 17 参考文献参考文献 18 夫良禾费衍射实验夫良禾费衍射实验 空间滤波实验 第 3 页 摘摘 要 要 光的衍射是我们所熟知的现象 在日常生活中也有着广泛的应用 在信息光学课程的学习中 我们在光的衍射的基础上进一步了解了什么是夫琅 禾费衍射 分析了几种实现夫琅禾费衍射的方法和原理及光强分布特点 通过 实验与理论相结合 得出了夫琅禾费单缝衍射的光强公式 关键词 关键词 夫琅禾费 单缝衍射 前言前言 1 11 1 光的衍射光的衍射 光波遇到障碍物以后会或多或少地偏离几何光学传播定律的现象 几何光 学表明 光在均匀媒质中按直线定律传播 光在两种媒质的分界面按反射定律 和折射定律传播 但是 光也是一种电磁波 当一束光通过有孔的屏障以后 其强度可以波及到按直线传播定律所划定的几何阴影区内 也使得几何照明区 内出现某些暗斑或暗纹 光的衍射是指光波在传播过程中遇到障碍物时 所发生的偏离直线传播的 现象 光的衍射 也可以叫做光的绕射 即光可以绕过障碍物 传播到障碍物 的几何阴影区域中 并在障碍物后的观察屏上呈现出光强的不均匀分布 通常 将观察屏上的不均匀光强分布称为衍射图样 1 21 2 衍射与干涉衍射与干涉 干涉现象和衍射现象都是光具有波动性的重要特征 那么 它们有怎样 的区别和联系呢 简单地说 干涉是若干光束的叠加 更确切地讲应该是 当 参与叠加的各束光本身的传播行为可近似用几何光学直线传播的模型描写时 这个叠加问题是纯干涉问题 若参与叠加的各束光本身的传播明显地不符合几 何光学模型 则应该说 对每一束而言都存在着衍射 而各束光之间则存在干 空间滤波实验 第 4 页 涉联系 在一般问题中 干涉和衍射两者的作用是同时存在的 从本质上说 干涉和衍射都是波的相干叠加的结果 只是参与相干叠加的 对象有所区别 干涉是有限几束光叠加 而衍射则是无穷多次波的相干叠加 其次 出现的干涉和衍射花样都是明暗相间的条纹 但在光强分布上有间距均 匀与相对集中的不同 1 31 3 衍射的应用衍射的应用 光的衍射决定光学仪器的分辨本领 气体或液体中的大量悬浮粒子对光的 散射 衍射也起重要的作用 衍射应用大致可以概括为以下四个方面 1 光谱分析 如衍射光栅光谱仪 2 结构分析 衍射图样对精细结构有一种相当敏感的 放大 作用 故而利 用图样分析结构 如 X 射线结构学 3 成像 在相干光成像系统中 引进两次衍射成像概念 由此发展成为空间 滤波技术和光学信息处理 光瞳衍射导出成像仪器的分辨本领 4 波阵面再现 一种全新的两步无透镜成像法 也称为波阵面再现术 这 是全息术原理中的重要一步 我们通过衍射现象进一步了解夫琅禾费衍射 首先从原理出发 掌握夫琅 禾费单缝衍射的原理 利用三角公式和积分处理 通过对光强的计算和对其分布 特点的理论研究 从中找出光强分布规律 根据实验现象描绘出其光强分布 最后通过实验采集的图样进行验证 对比研究分析衍射条纹的特点 空间滤波实验 第 5 页 二二 夫良禾费衍射原理夫良禾费衍射原理 2 12 1 惠更斯惠更斯 菲涅耳原理菲涅耳原理 最早成功地用波动理论解释衍射现象的是菲涅耳 他将惠更斯原理用光的 干涉理论加以补充 并予以发展 惠更斯原理是描述波动传播过程的一个重要原理 其主要内容是 波源 S 在某一时刻所产生波的波阵面为 则 面上的每一点都可以看 作是一个次波源 它们发出球面次波 其后某一时刻的波阵面即是该时刻这 些球面次波的包迹面 波阵面的法线面的法线方向就是该波的传播方向 惠更 斯原理能够很好地解释光的直线传播 光的反射和折射方向 但不能说明衍射 过程及其强度分布 菲涅耳在研究了光的干涉现象后 考虑到次波来自于同一光源 应该相干 因而波阵面上每一点的光振动应该是在光源和该点之间任一波面上的各点发 出的次波场叠加的结果 这就是惠更斯 菲涅耳原理 利用惠更斯 菲涅耳原理可以解释衍射现象 在任意给定的时刻 任一波 面上的点都起着次波波源的作用 它们各自发出球面次波 障碍物以外任意点 上的光强分布 即是没有被阻挡的各个次波源发出的次波在该点相干叠加的结 果 根据惠更斯 菲涅耳原理 一个单色光源 S 对于空间任意点 P 的作用 可 以看作是 S 和 P 之间任一波面 上各点发出的次波在 P 点相干叠加的结果 假 设波面上任意点 Q 的光场复振幅为 在 Q 点取一个面元 则面元 QE d d 上的次波源对 P 点光场的贡献为 空间滤波实验 第 6 页 ikr e dE PCKE Qd r 式中 C 是比例系数 称为倾斜因子 它是与元波面法线和rQP K 的夹角 称为衍射角 有关的量 按照菲涅耳的假设 当时 K 有PQ 0 最大值 随着的增大 K 迅速减小 当时 K 0 因此 途中波面 上 2 只有范围内的部分对 P 点光振动有贡献 所以 P 点的光场复振幅为 ZZ 2 1 ikr e E PCE QKd r 这就是惠更斯 菲涅耳原理的数学表达式 称为惠更斯 菲涅耳公式 当 S 是点光源时 Q 点的光场复振幅为 ikR A E Qe R 式中 R 是光源到 Q 点的距离 在这种情况下 可以从积分号中提出 QE 来 但是由于的具体形式未知 不可能由 2 1 式确切地确定值 K E P 因此 从理论上来讲 这个原理是不够完善的 2 22 2 夫良禾费衍射夫良禾费衍射 在无成像的衍射系统中 通常按光源 衍射屏 接收屏幕三者之间距离的 远近而将衍射分为两类 一类是菲涅耳衍射 指的是光源和接收屏与衍射屏的 距离均为有限远 或其中之一是有限远的情形 另一类是夫琅禾费衍射 指的 是光源和接收屏与衍射屏的距离均为无限远的情形 粗略地说 菲涅耳衍射是 近场衍射 光源 O 观察屏 E 或二者之一 到衍射屏 S 的距离为有限的衍射 空间滤波实验 第 7 页 如图 2 3 所示 夫琅禾费衍射是远场衍射 光源 O 观察屏 E 到衍射屏 S 的距离均为无穷 远的衍射 如图 2 1 所示 不过应当注意 在成像衍射系统中 像面的衍射场在一定 条件下也是夫琅禾费衍射场 此时无论像面 接收屏位置 或光源位置 它们 与衍射屏的距离都可以是很近的 当然 夫琅禾费衍射是菲涅耳衍射的一个特 例 其衍射积分计算较为简单 实验上也不难实现 应用价值又很大 故它一 直是衍射问题的研究重点 尤其是现代光学中傅里叶光学的兴起 赋予夫琅禾 费衍射以新的重要意义 图 2 1 夫琅禾费衍射 2 32 3 实现夫琅禾费衍射的几种方法实现夫琅禾费衍射的几种方法 无论是在实验室中或者别的什么地方 都不可能将光源和衍射场放在无限远 实际接收夫琅禾费衍射的装置有以下三种 1 焦面接收装置 以单缝衍射为例 下同 把点光源 S 放在凸透镜的前焦平面上 在凸透镜的后焦平面上接收衍 1 L 2 L 射场 见图 2 2 图 2 2 焦面接收装置 2 远场接收装置 空间滤波实验 第 8 页 当满足远场条件时 狭缝前后也可以不用透镜 而直接获得夫琅禾费衍射 图样 远场条件是 光源离狭缝很远 即 其中 R 是光源到狭缝 2 R 的距离 为狭缝宽度的一半 接收场距狭缝足够远 即 2 z 其中 z 为衍射场距狭缝的距离 观察点 P 在的条件下 只要求其 2 z 满足傍轴条件即可 而这一般都是满足的 图 2 6 为远场接收光路 假设一束 平行光垂直入射到狭缝上 图 2 3 远场接收装置 3 象面接收装置 衍射屏处于透镜的后方 如图 2 7 所示 S 在光轴上 代表点光源的象 面 为 S 的象点 理论上已经证明了面上呈现的图样为夫琅禾费衍射图样 S 即屏上任一点的复振幅与角度的函数关系符合夫琅禾费衍射的积分形式 P 图 2 4 象面接收装置 2 42 4 菲涅耳半波带分析法菲涅耳半波带分析法 2 4 1 夫琅禾费单缝衍射的零级大点 空间滤波实验 第 9 页 图 2 5 单缝衍射的零级极大 如图 2 5 点光源 S 经透镜形成一束单色平行光垂直入射于单狭缝 此 1 L 狭缝的宽度为 a 也就是说狭缝的两侧边 A 与 B 的距离 狭缝的长度垂aAB 直于图面 把此狭缝的宽度 a 分割成许多个 设为 N 个 窄条 每个窄条的宽度都等 于 当单色平行光的波阵面到达此狭缝中时 每个窄条可看成一个子 NaS 波源 它向各个方向发出子波 上述单缝后面放一个凸透镜 此透镜的主轴垂直于单缝和屏 屏放在透 2 L 镜的焦平面位置 从单缝发出的所有子波中 传播方向与主轴平行的光线 被透镜聚焦于主 焦点 F 即主轴与屏的交点 从单缝中任一点发出的上述光线 经透镜到 F 点 的光程都相等 因此 F 点成为这些子波干涉加强的最强点 称为零级极大点 如果 S 是一条与狭缝平行的直线光源 则在处显出一条与狭缝平行的零级亮 0 Q 纹 用菲涅耳半波带法说明单缝衍射 如图 2 6 所示 在零级极大点的旁边有一个干涉相消的第一级极小点 0 Q 1 Q 现在要分析此极小点应满足的条件 1 Q 图 2 6 单缝衍射的一级极小 设上述点与透镜的光心 C 的连线与主轴成角 此角就是单缝发 1 Q 1 CQ 1 1 出无数子波中 被透镜会聚于点的那一组平行光线与主轴所成角度 此角 1 Q 1 空间滤波实验 第 10 页 称为此组平行光线的衍射角 此组平行光线的垂直平面与单缝 AB 的夹角也 1 AD 等于此衍射角 即 1 11 BAD 上述衍射角为的平行光线 从垂直面中任一点经透镜到屏上点的 1 1 AD 1 Q 光程都相等 因此 上述任何两条平行光线的光程差 就等于它们从单缝 L AB 到垂直面的光程差 这一组光程差中的最大光程差应是单缝两 1 AD L 1m L 端 B 与 A 的光程差 1 BD 按照干涉原理 两个相干光叠加时 它们的光程差若为半波长 可得到干 涉相消的结果 已知上述一组平行光线在屏上点形成第一级极小 也就是说 1 Q 这一组平行光线整体在点形成干涉相消 如果将这组平行光线平分成上下两 1 Q 个半组 当这两组的平均光程差为半波长时 可达到整组干涉相消的结果 具 体说来 可在单缝 AB 的中点作一垂直于图面的直线 将单缝平分成与 A 上下两部分 同时也将上述平行光线分成上下两组 这两组平行光线到达 B 点的平均光程差 应等于半波长 即 于是这两组平行光线一对一对 1 Q 2 L 地在形成干涉相消 根据上述分析 可将屏上点应满足的条件总结如下 1 Q 1 Q 2 2 2 22 11 LLBD m 2 3 11 sinaBD 2 4 1110 ftgxQQ 2 5 110 xQQ 此式的 f 是透镜的焦距 是以为原点的位置坐标 是负一级极 1 x 0 Q 1 Q 1 x 的坐标 与对称地分布在的两侧 1 Q 1 Q 1 Q 0 Q 图 2 7 单缝衍射的二级极小 空间滤波实验 第 11 页 图 2 7 表示在一级极小旁边有二级极小 此点所对应的平行光线 1 Q 2 Q 2 Q 的衍射角 所对应的最大光程差为 21 122 BDLBD m 按照点的特点 应将单缝平分成四个部分 即 2 QBBBAAA 1111 并要求其中相邻两部分上述平行光线的平均光程差都等于半波长 即 2 L 因此 从单缝中的与 两部分发出的上述平行光线在形成干涉相消 1 AA 1 A 2 Q 从与两部分发出的平行光线也在形成干涉相消 因此 参照 2 2 1 B BB1 2 Q 至 2 5 式 可将此成为二级极小的条件总结如下 2 Q 2 2 44 22 lLBD m 2sin 22 aBD 2220 ftgxQQ 220 xQQ 按上述例子可把夫琅禾费单缝衍射屏上各级极小 的条件都写下 1 Q 2 Q 3 Q 来 11 2 m BDLkLk 1 sinBDak 1 0k Q Qxftg 1 0k Q Qx 1 1 2k 如上所述菲涅耳提出的简单方法称为半波带法 具有如下特点 1 将到 达单缝的波阵面分割成面积相等的矩形窄条 窄条长度平行于狭缝 每个窄条 称为一个波带 各个波带含有相同数目的子波源 2 要求相邻波带发出的子 波会聚到达屏上 Q 点的平均光程差都等于半波长 3 如果分割成的波带数恰 为偶数 2k1 则此 Q 点便是此单缝衍射的第 k1级极小位置 空间滤波实验 第 12 页 三 夫琅禾费衍射图样的特点三 夫琅禾费衍射图样的特点与光强计算与光强计算 3 13 1 图样特点 图样特点 观察点和光源与障碍物的距离有限 在计算光程和叠加后的光强等问题时 都难免遇到繁琐的数学运算 夫琅禾费在 1821 1822 年间研究了观察点和光源 距障碍物都是无限远 平行光束 时的衍射现象 在这种情况下 计算衍射图 样中光强的分布时 数学运算就比较简单 所谓光源在无限远 实际上就是把 光源置于第一个透镜的焦平面上 得到平行光束 所谓观察点在无限远 实际 上是在第二个透镜的焦平面上观察衍射图样 在使用光学仪器的多数情况中 光束总是要透过透镜的 因而经常会遇到这种衍射现象 而且由于透镜的会聚 衍射图样的光强将比菲涅耳衍射图样的光强大大增加 图 3 1 为红光单狭缝衍射图样 其特点是在中央有一条特别明亮的亮条纹 两侧排列着一些强度较小的亮条纹 相邻亮条纹之间有一条暗条纹 如以相邻 暗条纹之间的间隔作为亮条纹的宽度 则两侧的亮条纹是等宽的 而中央亮条 纹的宽度为其他亮条纹的两倍 图 3 1 红光单缝衍射图样 3 23 2 光强的计算光强的计算 现在我们用惠更新 菲涅耳原理来解释上述现象 如图 2 13 所示 为了清 楚起见 图中狭缝的宽度 BB已经放大 平行光束垂直于缝的平面入射时 波 空间滤波实验 第 13 页 面和缝平面重合 垂直于图面 将缝的面积分为一组平行于缝长的窄带 从每 一条这样的窄带发出次波 其振幅正比于窄带的宽度dx 设光波的初位相为零 b 为缝 BB的宽度 而宽度dx的窄条上次波的振幅为 则狭缝处bA0 bdxA0 各窄带所发次波的振动可用下式表示 0 0 cos A dx dEt b 这些次波都可认为是球面波 各自向前传播 现在 首先对其中沿图面与 原入射方向成 角 称为衍射角 的方向传播的所有各次波进行研究 在入射 光束的平面波面 BB 上各次波的位相都相等 通过透镜后在焦平面 FF 上的 2 L 同一点 P 处叠加 要计算 P 点的合振幅 必须考虑到各次波的位相关系 这取 决于由各窄带到 P 点的光程如何 现在作平面 BD 垂直于衍射方向 B D 根据 BD 面上各点的位相分布情况即可决定在 P 点相遇的各次波的位相关系 我们知 道 从平面 BD 上各点沿衍射方向通过透镜而达到 P 点的光程都相等 这就只要 算出从平面 BB到平面 BD 的各平行直线段之间的光程差就可以了 MN为沿着 衍射角 进行的任一条路程 令BM x 则sinMNx 这就是从 M 和从 B 两点所发次波沿平行于 MN 方向到达平面 BD 时的光程差 得 BD 面上 N 点的光振 动的表达式为 0 2 cos sin A dx dExt b 或 2 sin 0 ixt A dx dEe b 其复振幅为 2 sin 0 ix A dx dEe b 为简化计算起见 上式中假设各次波到达 P 点时有相同的振幅 不考虑振 幅与光程与反比的关系以及华侨因数 根据惠更斯 菲涅耳原理 将上式对整 个缝宽 从 x 0 到 x b 积分 最后可得沿着衍射角 方向传播的所有次波在 观察点 P 叠加起来的合振幅 空间滤波实验 第 14 页 0 sin sin sin P b AA b 3 5 令 sin ub 通常称 sin uu为 u 的sinc函数 并写成sincu 故 P 点的光强为 2 0sinP IIc u 3 6 3 33 3 衍射条纹的分布衍射条纹的分布 当光屏放置在透镜 L2的焦平面上时 屏上出现衍射条纹 光强的分布可 由 2 6 式决定 不同的衍射角 对应于光屏上不同的观察点 首先来决定 衍射花样中光强最大值和最小值的位置 即求出满足光强的一阶导数为零的那 些点 2 23 sin2sin cossin 0 duu uuu duuu 由此得 sin 0 uutgu 分别解以上两式 可得出所有的极值点 1 单缝衍射中央最大值的位置 由 解得满足的一些衍射方向 即 0sin u 0sin 00 bu0sin 0 中间最大值的位置 也就是在焦点 P0处 光强为最大 这里 叠 2 0 0 AIp 加的各个次波位相差为零 所以振幅叠加互相加强 2 单缝衍射最小值的位置 由 解得满足的一些衍射方向 即0sin u kbu kk 2sin2 最小值位置 b k k sin 3 2 1k 空间滤波实验 第 15 页 时 AP为零 屏上这些点是暗的 3 43 4 夫琅禾费单缝衍射光强分布夫琅禾费单缝衍射光强分布 如果只考虑单色平行光垂直入射到开孔平面上的的夫琅禾费衍射 则通常 采用图 3 2 所示的夫琅禾费衍射装置 单色点光源放置在透镜的前焦平面上 所产生的平行光垂直入射开孔 由开孔的衍射 在透镜的后焦平面上可以观察到开孔 的夫琅禾费衍射图 2 L 样 图 3 2 夫琅禾费衍射装置 若开孔面上有均匀的光场分布 令 又因为透镜贴近孔 常数 AyxE 11 径 所以后焦平面上的光场复振幅可为fz 1 11 11 dydxeCyxE fyyxxik f yx fik e f iA C 2 22 对于夫琅禾费单缝衍射 水平缝宽为 a 垂直缝宽为 b 则 沿 y 方向ab 的衍射效应不明显 只在 x 方向有亮暗变化的衍射图样 由 3 20 式 衍射 屏上 P 点的光场复振幅为 空间滤波实验 第 16 页 sin 2 2 sin 2 sin 2 0 2 2 2 2 1 1 1 E f kxa f kxa Ca f kxa ikx Cf e ikx Cf dxeCPE a a f ikxx a a fikxx 式中是观察屏中心点处光场复振幅 CaE 0 0 P 相应 P 点的光强度为 2 0 sin II 式中 在衍射理论 2 00 EI 为衍射角 sin 2 a f xa f kxa 中 通常称为单缝衍射因子 为中央明纹中心处光强度 为单 22 sin 0 I 缝边缘光线与中心光线的相位差 根据 3 22 式可的单缝衍射的光强分布特征 1 在中央P点 我们使为一很小的趋于零的角 对求极限 则0 为中央主极大光强 1 sin 0 II 2 在时 振幅 光强为暗纹的光 k 21 k0 sin 0 AA0 I 强 3 当时 同理有为一级次极大光23 0 2 2 01 047 0 23 23sin IAI 强 4 当时 同理有为二级次极大光强 25 0 2 2 02 016 0 25 25sin IAI 5 当时 同理有为三级次极大光27 0 2 2 03 008 0 27 27sin IAI 强 空间滤波实验 第 17 页 四四 实验分析实验分析 4 14 1 光强分布的极值点光强分布的极值点 当光屏放置在透镜 L2的焦平面上时 屏上出现衍射图案 光强的分布可由 3 22 式决定 也就是说 衍射光场在 P 点的强度大小主要由因子或 决定 不同的衍射角 对应于光屏上不同的观察点 22 sin 1 当时 该点光强度取最大值 00 或 称为主极大值 max0 IPIPI 2 当或时 该点强度取极小值 k 3 2 1 sin kka min 0 IPI 3 相邻两个极小值之间存在一个极大值 由于因子 该极大1sin 22 值的强度总是小于主极大值 故称之为次极大值 空间滤波实验 第 18 页 求出满足光强的一阶导数为零的那些点 0 sincossin2sin 3 2 d d 解得 tan 0sin 于是得到夫琅禾费单缝衍射的次极大值位置满足关系为 对于 tan 这一超越方程其根为 47 3 46 2 43 1 对应的值为 sin aaa 47 3 46 2 43 1 sin 4 24 2 条纹的角宽度和线宽度条纹的角宽度和线宽度 1 暗纹的角宽度 暗纹出现的位置在的地方 对应的值为 3 2 sin 3 2 sin aaa 任何两相邻暗纹间的衍射角的差值为 即暗纹是以点为中心等间隔 a 0 P 左右对称分布的 2 亮纹的角宽度和线宽度 以相邻暗纹的焦距离作为亮纹的角宽度 在傍轴条件下 即很小时 暗 纹的衍射角位置简化为 中央主极大明纹宽度由 a k sin 3 2 1k 的暗纹的衍射角所确定 则主极大亮纹角宽度和线宽度分别为1 k 4 1 a 2 a f fx 2 空间滤波实验 第 19 页 在两相邻暗纹间存在的次极明纹 其角宽度和线宽度分别为 4 2 2 a2 x a f fx 实验总结实验总结 从以上结论可以看出 夫琅禾费单缝衍射图样的强度随