高中立体几何大题20题汇总

Word 资料 2012 江西省 本小题满分 12 分 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD E F 是线段 AB 上的两点 且 DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 4 DE 4 现将 ADE CFB 分别沿2 DE CF 折起 使 A B 两点重合与点 G 得到多面体 CDEFG 1 求证 平面 DEG 平面 CFG 2 求多面体 CDEFG 的体积 解析 1 由已知可得 AE 3 BF 4 则折叠完后 EG 3 GF 4 又因为 EF 5 所以 可得又因为 可得 即所以平面EGGF CFEGF 底面CFEG EGCFG 面 DEG 平面 CFG 2 过 G 作 GO 垂直于 EF GO 即为四棱锥 G EFCD 的高 所以所求体积为 1112 5 520 335 DECF SGO 正方形 Word 资料 2012 山东 19 本小题满分 12 分 如图 几何体是四棱锥 为正三角形 EABCD ABD CBCD ECBD 求证 BEDE 若 M为线段AE的中点 求证 平面 120BCD DMBEC 解 解 设中点为O 连接OC OE 则由知 BDBCCD COBD 又已知 所以平面OCE CEBD BD 所以 即OE是BD的垂直平分线 BDOE 所以 BEDE II 取AB中点N 连接 MN DN M是AE的中点 是等边三角形 MNBEABDDNAB 由 BCD 120 知 CBD 30 所以 ABC 60 30 90 即 BCAB 所以ND BC 所以平面MND 平面BEC 故DM 平面BEC Word 资料 2012 浙江 20 本题满分 15 分 如图 在侧棱锥垂直 底面的四棱锥中 1111 ABCDABC D ADBC AD 的中点 11 2 2 4 2 AB ABADBCAAEDD 是 F是平面与直线的交点 11 BC E 1 AA 证明 i 11 EFAD ii 111 BABC EF 平面 求与平面所成的角的正弦值 1 BC 11 BC EF 解析 本题主要考查空间点 线 面位置关系 线面所成角等基础知识 同时 考查空间想象能力和推理认证能力 因为所以 i 11111111 C BAD C DADD A 平面 1111 C BAD DA平面 又因为所以 1111 BC EFAD DAEF 平面平面 11 C BEF 所以 11 ADEF 因为所以ii 11111 BBABC D 平面 111 BBBC 又因为 11111111111 BCB ABCABB ABCBA 所以平面所以 在矩形的中点 111 ABB AFAA中是 111 2 tantan 2 AB FAAB 即 11111 AB FAABBAB F 所以 111 BABC EF 平面 第第2 20 0题题图图 F E C1 B1 D1 A1 A D B C 第第2 20 0题题图图 H F E C1 B1 D1 A1 A D B C Word 资料 设与交点为 连接 1 BA 1 B FH 1 C H 由知 111 BABC EF 平面 所以所成的角 1111 BC HBCBC EF 是与面 在矩形 111 4 2 2 6 AAB BABAABH 中得 在直角中 1 BHC 11 1 430 2 5 sin 156 BH BCBHBC H BC 得 所以与平面所成的角的正弦值是 1 BC 11 BC EF 30 15 2010 四川 18 本小题满分 12 分 已知正方体中 点 M 是 ABCDA B C D 棱的中点 点是对角线的中点 AAO BD 求证 OM 为异面直线与的公垂线 AA BD 求二面角的大小 MBCB 解解 连接 AC 取 AC 中点 K 则 K 为 BD 中点 连接 OK 因为点 M 是棱的中点 点 AA 是的中点 AM O BD 1 2 AMDDOK 1 2 BDOKMOAK MOAK 由 得 AAAK MOAA 因为 所以平面 AKBD AKBB AK BDD B AKBD MOBD 又 与异面直线和都相交 OM AA BD 故为异面直线和的公垂线 OM AA BD 5 分 取的中点 N 连接 MN 则 MN BB 平面 BCC B 过点 N 作 NH 于 H 连接 MH 则由 BC 三垂线定理得 从而为二面角的平面角 BCMH MHN MBCB 设 则 1AB 122 1 sin45 224 MNNHBN Word 资料 在中 Rt MNH 1 tan2 2 2 4 MN MHN NH 故二面角的大小为 12 分 MBCB arctan2 2 2010 辽宁文 19 本小题满分 12 分 如图 棱柱的侧面是菱形 111 ABCABC 11 BCC B 11 BCAB 证明 平面平面 11 ABC 11 ABC 设是上的点 且平面 求的值 D 11 AC 1 AB 1 BCD 11 AD DC Word 资料 2012 辽宁 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABCA B C 90BAC AA 1 点M N分别为和2 ABAC A B 的中点 B C 证明 平面 MN A ACC 求三棱锥的体积 AMNC 椎体体积公式 V Sh 其中 S 为地面面积 h 为高 1 3 答案与解析答案与解析 Word 资料 2012 北京 16 本小题共 14 分 如图 在中 分别为1Rt ABC 90C DE 的中点 点为线段上的一点 将ACABFCDADE 沿折起到的位置 使 如图 DE 1 ADE 1 AFCD 2 求证 平面 DE 1 ACB 求证 1 AFBE 线段上是否存在点 使 平面 1 ABQ 1 AC DEQ 说明理由 解解 因为 分别为 的中点 所以 DEACABDEBC D F D E B C A1 F E CB A 图 2图 1 Word 资料 又因为平面 所以 平面平面 DE 1 ACBDE 1 ACB 由已知得且 ACBC DEBC 所以 所以 DEAC 1 DEAD DECD 所以平面 DE 1 ADC 而平面 所以 1 AF 1 ADC 1 DEAF 又因为 所以平面 1 AFCD 1 AF BCDE 所以 1 AFBE 线段上存在点 使 平面 理由如下 1 ABQ 1 AC DEQ 如图 分别取 的中点 则 1 AC 1 ABPQPQBC 又因为 DEBC 所以 DEPQ 所以平面即为平面 DEQDEP 由 知 平面 DE 1 ADC 所以 1 DEAC 又因为是等腰三角形底边的中点 P 1 DAC 1 AC 所以 1 ACDP 所以平面 1 AC DEP 从而平面 1 AC DEQ 故线段上存在点 使得 1 ABQ 平面 1 AC DEQ 2012 天津 17 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AD PD BC 1 PC 2 PD CD 2 3 I 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值 II 证明平面 PDC 平面 ABCD III 求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值 A1 P F D Q E C B Word 资料 18 本题满分 12 分 如图 已知直三棱柱 ABC A1B1C1 90ACB 2ACBC 1 4AA E F 分别是棱 CC1 AB 中点 1 判断直线 CF 和平面 AEB1的位置关系 并加以证明 2 求四棱锥 A ECBB1的体积 Word 资料 1 解 CF 平面 AEB1 2 分 证明如下 Zxxk 取 AB1的中点 G 联结 EG FG GF 分别是棱 AB AB1中点 2 1 11 BBFGBBFG 4 分 又 2 1 11 BBECBBEC ECFGECFG 四边形 FGEC 是平行四边形 EGCF 又 CF 平面 AEB EG平面 AEB1 CF 平面 AEB1 6 分 2 解 三棱柱 ABC A1B1C1是直棱柱 1 BB平面 ABC 又 AC 平面 ABC 1 BBAC 90ACB BCAC 1 BBCBB AC平面 ECBB1 ACSV SCBBECBBA 11 3 1 E 是棱 CC1的中点 2 2 1 1 AAEC 62 42 2 1 2 1 1 1 BCBBECSECBB 4 26 3 1 3 1 11 ACSV ECBBECBBA 12 分 本小题满分本小题满分 1212 分分 如图 三棱锥如图 三棱锥A A BPCBPC中 中 APAP PCPC ACAC BCBC MM为为ABAB中点 中点 D D 为为PBPB中点 且中点 且 PMBPMB为正三角形为正三角形 求证 求证 DMDM 平面平面APCAPC 求 求 证 平面证 平面ABCABC 平面平面APCAPC Word 资料 若 若BCBC 4 4 ABAB 20 20 求三棱锥 求三棱锥D D BCMBCM的体积的体积 解 M 为 AB 中点 D 为 PB 中点 MD AP 又 MD 平面 ABC DM 平面 APC 3 分 PMB 为正三角形 且 D 为 PB 中点 MD PB 又由 知 MD AP AP PB 又已知 AP PC AP 平面 PBC AP BC 又 AC BC BC 平面 APC 平面 ABC 平面 PAC 8 分 AB 20 MB 10 PB 10 又 BC 4 2128416100 PC 2122124 4 1 4 1 2 1 BCPCSS PBCBDC 又 MD 351020 2 1 2 1 22 AP VD BCM VM BCD 71035212 3 1 3 1 DMS BDC 12 分 2012 高考全国文 19 本小题满分 12 分 注意 在试题卷上作答无效 Word 资料 如图 四棱锥中 底面为菱形 底PABCD ABCDPA 面 是上的一点 ABCD2 2AC 2PA EPC 2PEEC 证明 平面 PC BED 设二面角为 求与平面所成角的APBC 90 PDPBC 大小 解析 命题意图 本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解 的运用 从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度 并加 以证明和求解 解 设解 设AC BDO 以O为原点 OC为x轴 OD为 y 轴建立空间直角坐标系 则 2 0 0 2 0 0 2 0 2 ACP 设 0 0 0 0 BaDaE x y z 证明 由 证明 由2PEEC 得 22 0 33 E 所以所以 2 2 0 2 PC 22 33 BEa 0 2 0 BDa 所以 22 2 2 0 2 0 33 PC BEa 2 2 0 2 0 2 0 0PC BDa 所以PC BE PC BD 所以PC 平面 BED 设平面PAB的法向量为 nx y z 又 0 0 2 2 0 APABa 由 0 0n APn AB 得 2 1 0 n a 设平面PBC的法向量为 mx y z 又 2 0 2 2 0 2 BCaCP 由 0 0m BCm CP 得 2 1 2 m a 由于二面角APBC 为90 所以 0m n 解得 2a 所以 2 2 2 PD 平面PBC的法向量为 1 1 2 m 所以PD与平面 PBC所成角的正弦值为 1 2 PD m PDm 所以PD与平面PBC所成角为6 E C BD A P Word 资料 27 2012 高考安徽文 19 本小题满分 12 分 如图 长方体中 底面是正方形 是的中点 1111 DCBAABCD 1111 DCBAOBD 是棱上任意一点 E 1 AA 证明 BD 1 EC 如果 2 求 的长 ABAE2 1 ECOE 1 AA 解析 I 连接AC 11 AECCE A C C 共面 长方体 1111 DCBAABCD 中 底面 1111 DCBA是正方形 ACBD EABD ACEAABD 面 1 EACC 1 BDEC 在矩形 11 ACC A中 111 OEECOAEEAC 得 111 1 1 22 3 2 22 2 ACAAAE AA AOEA Word 资料 2012 高考四川文 19 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥中 点PABC 90APB 60PAB ABBCCA 在平面内的射影在上 PABCOAB 求直线与平面所成的角的大小 PCABC 求二面角的大小 BAPC 命题立意 本题主要考查本题主要考查直线与平面的位置关系 线面角的概念 二面角的 概念等基础知识 考查空间想象能力 利用向量解决立体几何问题的能力 解析 1 连接 OC 由已知 ABCPCOCP与平面为直线 所成的角 设 AB 的中点为 D 连接 PD CD 因为 AB BC CA 所以 CD AB 因为为 所以 PADPABAPB 6090等边三角形 不妨设 PA 2 则 OD 1 OP 3 AB 4 所以 CD 23 OC 13121 22 CDOD 在 Rt中 OCP tan 13 39 13 3 OC OP OPC 6 分 2 过 D 作 DEAP 于 E 连接 CE 由已知可得 CD 平面 PAB 据三垂线定理可知 CE PA 所以 的平面角 为二面角CAPBCED 由 1 知 DE 3 在 Rt CDE 中 tan2 3 32 DE CD CED 故2arctan的大小为 二面角CAPB 12 分 点评 本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念 重点考查思维能力和空间想象能 力 进一步深化对二面角的平面角的求解 求解二面角平面角的常规步骤 一找 寻找现成 的二面角的平面角 二作 若没有找到现成的 需要引出辅助线作出二面角的平面角 三求 有了二面角的平面角后 在三角形中求出该角相应的三角函数值 Word 资料 2012 高考天津文科 17 本小题满分 13 分 如图 在四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 是矩形 AD PD BC 1 PC 2 PD CD 2 3 I 求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值 II 证明平面 PDC 平面 ABCD III 求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值 解析 I ADBC PAD 是PA与BC所成角 在ADP 中 1 2ADPD ADBCPD tan2 PD PAD AD 异面直线PA与BC所成角的正切值为2 II ADPD ADDC PDDCDAD 面PDC AD 面ABCD 平面PDC 平面ABCD III 过点P作PECD 于点E 连接BE 平面PDC 平面ABCDPE 面ABCDPBE 是直线PB与平面ABCD所成 角 2 2 31203 1CDPDPCPDCPEDE 在Rt BCE 中 2222 1013BEBCCEPBBEPE 在Rt BPE 中 39 sin 13 PE PBE PB 得 直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 39 13 Word 资料 2012 高考新课标文 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 1 2 AA1的中点 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 解析 本题主要考查空间线线 线面 面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算 考查空间想象能力 逻辑推理能力 是简单题 解 由题设知 BC 1 CC BC AC 1 CCACC BC 面 11 ACC A 又 1 DC 面 11 ACC A 1 DCBC 由题设知 0 11 45ADCADC 1 CDC 0 90 即 1 DCDC 又 DCBCC 1 DC 面BDC 1 DC 面 1 BDC 面BDC 面 1 BDC 设棱锥 1 BDACC 的体积为 1 V AC 1 由题意得 1 V 112 1 1 32 1 2 由三棱柱 111 ABCABC 的体积V 1 11 VVV 1 1 平面 1 BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1 1 B1 C B A D C1 A1 Word 资料 2102 高考北京文 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 为线段 CD 上的一点 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位 置 使 A1F CD 如图 2 I 求证 DE 平面 A1CB II 求证 A1F BE III 线段 A1B 上是否存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 说明理由 解析 本题第二问是对基本功的考查 对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决 第三问的创新式问法 难度比较大 解 1 因为 D E 分别为 AC AB 的中点 所以 DE BC 又因 为 DE 平面 A1CB 所以 DE 平面 A1CB 2 由已知得 AC BC 且 DE BC 所以 DE AC 所以 DE A1D DE CD 所以 DE 平面 A1DC 而 A1F 平面 A1DC 所以 DE A1F 又因为 A1F CD 所以 A1F 平面 BCDE 所以 A1F BE 3 线段 A1B 上存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 理由如下 如图 分别取 A1C A1B 的中点 P Q 则 PQ BC 又因为 DE BC 所以 DE PQ 所以平面 DEQ 即为平面 DEP 由 2 知 DE 平面 A1DC 所以 DE A1C 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点 所以 A1C DP 所以 A1C 平面 DEP 从而 A1C 平面 DEQ 故线段 A1B 上存在点 Q 使得 A1C 平面 DEQ Word 资料 2012 高考陕西文 18 本小题满分 12 分 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB A A1 CAB 2 证明 11 BACB 已知 AB 2 BC 求三棱锥的体5 11 CAAB 积 解析 如图 连结 1 AB 111 ABCABC 是直三棱柱 CAB 2 来源 AC 平面 11 ABB A 故 1 ACBA 又 1 ABAA 四边形 11 ABB A是正方形 11 BAAB 又 1 CAABA 1 BA 平面 1 CAB 故 11 CBBA 1 2ABAA 5BC 11 1ACAC 由 知 11 AC 平面 1 ABA 11 1 3 CABA V S 1 ABA 11 AC 12 2 1 33 Word 资料 2012 高考辽宁文 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 AA 1 点M N分 ABCA B C 90BAC 2 ABAC 别为和的中点 A B B C 证明 平面 MN A ACC 求三棱锥的体积 AMNC 椎体体积公式 V Sh 其中 S 为地面面积 h 为高 1 3 解析 解析 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定 棱锥体积的计算 考查空 间想象能力 推理论证能力 运算求解能力 难度适中 解析 1 法一 连结 AB AC 由已知 90 BACAB AC 三棱柱 ABC ABC为直三棱柱 所以M为 AB中点 又因为N为 BC中点 所以 MN AC 又MN 平面 AACC AC 平面 AACC 因此 MNAACC平面 6 分 法二 法二 取A B 的中点为 P 连结 MP NP M N分别为 A B和 B C的中点 MP AA NP A C MP 面A ACC NP 面A ACC MPNPP 面 MPN 面A ACC MN 面A ACC MN 面A ACC 解法一 连结 BN 由题意A N B C 面A B C 面B BCC B C A N 面 NBC A N 1 2 B C 1 Word 资料 111 226 AMNCNA MCNA BCANBC VVVV 解法 2 111 226 AMNCANBCMNBCANBC VVVV 2012 高考江苏 16 1414 分 分 如图 在直三棱柱中 111 ABCABC 分别是棱上的点 点 不同于点 且 1111 ABAC DE 1 BCCC DC 为的中点 ADDEF 11