【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编：G单元++立体几何

G G 单元单元 立体几何立体几何 目录 G 单元 立体几何 1 G1 空间几何体的结构 2 G2 空间几何体的三视图和直观图 2 G3 平面的基本性质 空间两条直线 2 G4 空间中的平行关系 2 G5 空间中的垂直关系 2 G6 三垂线定理 2 G7 棱柱与棱锥 2 G8 多面体与球 2 G9 空间向量及运算 2 G10 空间向量解决线面位置关系 2 G11 空间角与距离的求法 2 G12 单元综合 2 G1 空间几何体的结构空间几何体的结构 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G19 如图 三棱柱 11 DCCABB 中 BC面 1 ABB 90 1 ABB 4 AB 2 BC 2 1 CC 棱CD上有一动点P 则 1 APC 周 长的最小值为 A 6224 B 6254 C 6223 D 6422 知识点 几何体表面距离的最小值问题 答案解析 A解析 解 因为中的长是定值 1 APC 1 AC 222 422242 6 所以AP P的最小值 为此将沿CD展成与平面ABCD共面 这时B 共 1 C 1 C DC C 1 C 线 所以只需A P 共线时AP P 最小 所以选A 1 C 1 C 1 AC 2 2 4224 2 思路点拨 几何体表面距离的最小值问题转化为平面上距离最小值问题 G2 空间几何体的三视图和直观图空间几何体的三视图和直观图 数学 理 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 G23 一个几何体的三视图如图所示 其中俯视图 与左视图均为半 径是2的圆 则这个几何体的表面积是 A 16 B 14 C 12 D 8 知识点 由三视图求几何体的表面积 答案解析 A 解析 解 由三视图可知该几何体为一个球 体的 缺口部分为挖 去球体的 球的半径 3 4 1 4 2R 这个几何体的表面积等于球的表面积的加上大圆的面积 3 4 故选 A 22 3 S4 RR16 4 ppp 思路点拨 由三视图可知该几何体为一个球体的 缺口部分为挖去球体的 3 4 1 4 据此可得出这个几何体的表面积 数学 文 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 G212 某 几何体的三视图如右图所示 根据所给尺寸 单位 cm 则该几何体的体积为 3 cm 知识点 三视图 答案解析 解析 解 根据右图的几何体的三视图我们可以15 画出原几何体的立体图形如下图 上部分是一个放倒的三棱柱 下部分 是一个长方体 正视图 俯视图 左视图 所以该几何体的体积为 故答案为 1 3 2 22 1 315 2 3 cm15 思路点拨 根据三视图还原原几何体 再由体积公式计算即可 数学 文 卷 2015 届浙江省重点中学协作体高考摸底测试 201408 G28 某几何体 的三视图如图所示 且该几何体的体积是 3 则正视图中的的值是 x A 2B C D 3 9 2 3 2 知识点 由三视图求几何体的体积 答案解析 D 解析 解 根据三视图判断几何体为四棱锥 其直观图是 故选 D 11 2 v233 32 xx 思路点拨 根据三视图判断几何体为四棱锥 再利用体积公式求高x即可 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G2G815 一 个几何体的三视图如图所示 其中正视图是一个正三角形 俯视图是一个等腰直角三角形 则该几何体的外接球的表面积为 211 正视图 侧视图 俯视图 x 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 3 1 1 知识点 几何体的三视图的应用 球的表面积 答案解析 16 3 解析 解 由三视图知 几何体是三棱锥 且几何体的侧面 SAC 与底面垂直 高 SO 为3 如图 其中 OA OB OC 1 SO 平面 ABC 其外接球的球心在 SO 上 设球心为 M OM x 则 2 13xx 得 x 3 3 外接球的半径 R 2 3 3 几何体的外接球的表面积 S 4 4 3 16 3 思路点拨 由三视图解决几何问题 关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征 再 求几何体的外接球的表面积与体积时 能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径 若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题 数学理卷 2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试 201405 G214 已知某个 几何体的三视图如下 根据图中标出的尺寸 单位 cm 可得这个几何体 的体积是 知识点 由三视图求面积 体积 答案解析 解析 解 由三视图可得几何体是四棱锥 V ABCD 其中面 VCD 面 ABCD 底面 ABCD 是边长为 20cm 的正方形 棱锥的高是 20cm 由棱锥的体积公式得 V cm3 思路点拨 先有三视图得到几何体的形状及度量关系 利用棱锥的体积公式求出体积 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G2G815 某 几何体的三视图如图所示 则该几何体外接球的体积为 4 5 4 3 5 3 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 侧 知识点 三视图 球的体积公式 答案解析 125 2 3 解析 由三视图可知该几何体有从同一顶点出发的三条棱两两垂直 且长分别为 3 4 5 的三棱锥 则其外接球即为以 3 4 5 为棱长的长方体的外接球 因为长方体的对角线长为 222 3455 2 所以球半径为 5 2 2 则所求的球的 体积为 3 45 2125 2 323 思路点拨 由三视图解决几何问题 关键是准确的判断出原几何体的基本形状特征 再 求几何体的外接球的表面积与体积时 能直接确定圆心位置的可通过圆心位置求球的半径 若圆心位置难以确定可考虑用补形法转化为正方体或长方体外接球问题 数学文卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G210 某三棱 锥的三视图如图所示 该三棱锥的表面积是 A 28 6 B 30 6 C 56 12 D 60 12 5555 知识点 几何体三视图描述的空间图形的特征 答案解析 B解析 解 由三视图可得三棱锥的底面是两直角边长分别是4 5 后面与底面垂直 后面与底面公共边长5 顶点在底面上摄影把长为 5的棱分为 2 3 两段 而且棱锥高为 4 从而求得 该三棱锥的表面积30 6 5 思路点拨 由几何体三视图得该三棱锥的特征 底面是两直角边长分别是 4 5 后面 与底面垂直 后面与底面公共边长 5 顶点在底面上摄影把长为 5的棱分为 2 3两段 而且棱锥高为 4 由此求得三棱锥的表面积 数学文卷 2015 届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试 201407 G2G710 一个棱锥 的三视图如图 则该棱锥的表面积为 A 48 12 2 B 48 24 2 C 72 12 2 D 72 24 2 知识点 三视图的应用 答案解析 C解析 解 由三视图可知棱锥是底面是腰长为 8的等腰直角三角形 顶点在底面上的射影是底面三角形斜边的中点 且高为3 另俩侧面上的斜高为 5 所以其表面积为 111 8 88 2 328 572 12 2 222 思路点拨 由三视图可知棱锥边角特点是 底面是腰长为8的等腰直角三角形 顶 点在底面上的射影是底面三角形斜边的中点 且高为3 另俩侧面上的斜高为 5 可 求其表面积为 数学文卷 2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试 201407 G28 如图 上右 一个简单组合体的正视图和侧视图相同 是由一个正方形与一个正三角形构成 俯视图中 圆的半径为 则该组合体的表面积为 3 A 15 B 18 C 21 D 24 知识点 几何体的三视图 几何体的表面积的求法 答案解析 C 解析 解 由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱 上部为圆 锥的几何体 所以几何体的表面积为 故选 C 2 1 32 32 32 32 321 2 pppp 思路点拨 由题意可知三视图复原的几何体是下部为圆柱 上部为圆锥的几何体 根据三视图的数据 求出几何体的表面积即可 典型总结 本题是基础题 考查几何体的三视图 几何体的表面积的求法 准确 判断几何体的形状是解题的关键 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G2G822 本大题 12 分 如图 三棱锥中 它的三视图如下 求该棱锥的ABCP 90 ABC 全面积 内切球体积 外接球表面积 知识点 根据 三视图的定义正确读取三棱锥中的位置关系和数量关系 几何ABCP 体内切球半径 外切球半径的求法 答案解析 1 2 3 21248 343 24 36 3 4 289 解析 解 1 由三视图可知此三棱锥是 底面是腰长为6的等腰直角三角形 ABC 顶点P在底面上射影是底面直角三角形斜边中点E 且高为 4的三棱锥 侧面 PAB PAC的高都是 5 底面斜边长 所以全面积为 6 2 6 4 3 正视图 6 6 3 俯视图 6 4 3 侧视图 P A CB 111 6 626 56 2448 12 2 222 2 设内切球球心O 半径r 则由得 P ABCO ABCO PABO PACO PBC VVVVV 解得r 1111 6 6 448 12 2 3232 r 6 42 7 所以内切球体积为 3 288 42 343 3 设外接球球心M 半径R M在高PE所在直线上 因为4 3 2 所以 解得R 所以外接球表面积为 2 2 2 43 2RR 17 44 289 思路点拨 1 三视图的定义正确读取三棱锥中的位置关系和数量关系 从ABCP 而求得三棱锥的全面积 2 内切球球心与三棱锥各顶点连线 把原三棱锥分割成四个小 三棱锥 利用等体积法求内切球半径 3 分析外切球球心位置 利用已知的数量 求外 切圆半径 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G214 正三角形 ABC的边长为a 利用斜二测画法得到的平面直观图为CBA 那么CBA 的 面积为 知识点 斜二测画法规则 答案解析 解析 解 以正三角形 ABC 的水平边 BC 所在直线为 x 轴 线 2 16 6 a 段 BC 中点 O 为原点建立坐标系 则在直观图中 a 到直线的A B C B C A B C 距离为 所以的面积为 6 8 aCBA 2 16 6 a 思路点拨 根据水平放置的平面图形的直观图画法规则 求正三角形直观图的底和高与 正三角形边长的等量关系 数学卷 2016 届广东省惠州市第一中学 惠州市 高一下学期期末考试 201407 G28 如 右图 一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图都是边 长为2的正三角形 其俯视图轮廓为正方形 则其体积是 A 4 3 3 B 4 2 3 C 3 6 D 8 3 知识点 简单空间几何体的三视图 答案解析 A解析 解 该几何体为底面边长为2 高为3的正四棱锥 3 34 322 3 1 V故选A 思路点拨 此题的关键是把圆三视图还原为几何体 有三视图的主视图与左视图 俯视 图易知该几何体为底面边长为2 高为的正四棱锥 代入锥体的体积公式即可得到结论 3 数学卷 2016 届四川省成都七中高一下学期期末考试 201407 G27 已知某个几何体 的三视图如图 根据图中标出的尺寸 单位 可得这个几何体的体积是 cm A B C 3 D 4 4 3 3 cm 8 3 3 cm 3 cm 3 cm 知识点 三视图的应用 空间几何体的体积 答案解析 B 解析 解 由三视图可知 该几何体为四棱锥 底面ABCD 为边长 为 2cm 的正方体 OE CD 且 E 是 CD 的中点 所以棱锥的高 OE 2cm 所以四棱锥的体积为故选 B 23 18 22 33 cm 思路点拨 由三视图可知 该几何体为四棱锥 分别确定底面积和高 利用锥体的 体积公式求解即可 G3 平面的基本性质 空间两条直线平面的基本性质 空间两条直线 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G37 正方体 中 N分别是棱和上的点 1111 DCBAABCD M 1 DD 1 BB 1 3 1 DDMD 那么正方体的过 N 1 C的截面图形是 1 3 1 BBNB M A 三角形B 四边形C 五边形D 六边形 知识点 几何体截面图形的寻找方法 平面的基本性质 答案解析 C解析 解 设相交于E 相交于F 连接EF交AD与P 1 C M CD 1 C N CB 交CB与Q 则五边形为所求截面图形 1 C MPQN 思路点拨 先确定截面上的已知边与几何体上和其共面的边的交点 再确定截面与几何 体棱的交点 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G3G4G5G3G4G52 下列说法 正确的是 A 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 知识点 空间点 线 面位置关系判定 性质及应用 答案解析 A解析 解 对于选项 A由线面平行性质定理及平行公理可得其正确 对于B C D容易找到它们不成立的情况 思路点拨 根据间点 线 面位置关系判定 性质 确定各选项的正误 G4 空间中的平行关系空间中的平行关系 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G4G1120 本题满分 12 分 如图 四边形是边长为 2 的正方形 ABCDAFDEDEAFABCDDE2 平面 与平面所成角的正 切值为BEABCD 2 2 1 求证 EFBAC平面 2 求二面角的大小ABEF F E D C B A 知识点 线面平行的判定 二面角的求法 答案解析 1 略 2 6 解析 1 设 AC BD 交于 O 取 EB 中点 G 连结 FG GO 在BDE 中 即四边形 FAOG 是平行四边形 11 22 OGDE FADEOGFA 又平面 EFB 平面 EFB 所以直线 AC 平面 EFB FGAO AO FG 2 分别以 AD DC DE 为轴 建立空间直角坐标系 x y zOxyz 2 2 0 0 0 2 2 0 1 BEF 0 2 1 2 2 2 BFBE 平面 AEB 的法向量 1 0 1 m 设平面 FBE 的法向量 nx y z 令 则 2 2220 nBFzy xyz nBE 1y 1 1 2 n 设二面角 F BE A 的大小为 3 cos 2 m n m n 所以二面角 F BE A 的大小为 6 思路点拨 证明直线与平面平行一般考虑直线与平面平行的判定定理 求二面角时若直 接求其平面角不方便时 可考虑建立适当的空间直角坐标系 利用向量求解 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G4G56 已知 m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 若 mn 且 mn 则 m 若 m m 则 若 m n 且 mn 则 其中正确命题的个数是 A B C D 1234 知识点 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 答案解析 B 解析 直线 m 还可以在平面 内 所以错误 由条件知平面 与 所成角与直线 m n 所成的角相等或互补 所以正确 因为 m 则在 内 必存在直线 n 与直线 m 平行 由 m 得 n 得 所以正确 两面还可 以相交 所以错误 综上得 正确 所以选 B 思路点拨 判断直线与平面 平面与平面平行与垂直关系能直接由定理推导的可直接推 导 不能直接推导的可举反例排除 数学理卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G4G5G719 本 小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面 P ABCDPDABCD 底面为正方形 分别是ABCDPD DCEF AB 的中点 PB 求证 平面 EFPAD 求证 EFCD 设 PD AD a 求三棱锥 B EFC 的体积 知识点 直线与平面平行的判定 棱柱 棱锥 棱台的体积 空间中直线与直线之 间的位置关系 答案解析 见解析 见解析 2 1 24 a 解析 解 证明 分别是 的中点 EFABPB 又 平面 平面 平面 4 分 EFAPEF PADAPPAD EFPAD 证明 四边形为正方形 ABCD 又 平面 ADCD PD ABCD 且 平面 PDCD ADPDD CD PAD 又 平面 又 8 分 PAPADCD PA EFAPEFCD 连接相交于 连接 AC DBOOF 则 面 则为三棱锥的高 OFABCDOFFEBC 11 22 OFPDa 2 111 2224 EBC a SEB BCaa 12 分 B EFCFEBC VV 2 11 11 33 22 224 EBC a a SOFaa 思路点拨 由题意容易证明 由线面平行的判定定理可证 EFAP 由 知 要证 只要证明 结合已知 EFAPEFCD CD PA 可证平面即可 利用等体积 把所求的体积 可CD PAD B EFCFEBC VV 求结果 数学理卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G7G5G47 如图 点 P 在正方体 ABCD A1B1C1D1的面对角线 BC1上运动 则下列四个结论 三棱锥 A D1PC 的体积不变 A1P 平面 ACD1 DP BC1 平面 PDB1 平面 ACD1 其中正 确的结论的个数是 A B C D 个1个2个3个4 知识点 棱锥的体积 直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定 答案解析 C解析 解 对于 C到面的距离不变 11 A D PC C AD P VV 1 AD P 且三角形的面积不变 三棱锥的体积不变 正确 1 AD P 1 AD PC 连接容易证明平面 面 从而由线面平行的定义可得 111 A BA C 1 BA C 1 ACD 平面 正确 1 A P 1 ACD 连接 DB DC1 可知是正三角形 当且仅当 P为中点时 1 DBC 1 BC 考虑特殊位置 当 P 与B重合时 与成60 角 不垂直 1 DPBC DP 1 BC 连接 根据正方体的性质 有 平面从而可以证 1 DB 11 DBACD 1 DB 1 PDB 明平面 正确 11 PDBACD 正确的命题个数有 3个 故选 C 思路点拨 利用直线与平面平行的判定 平面与平面垂直的判定依次判断即可 数学理卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G4G56 已知直 线 m n 与平面 给出下列三个命题 若 m n 则 m n 若 m n 则 n m 若 m m 则 其中真命题的个数是 A B C D 0123 知识点 平面与平面之间的位置关系 空间中直线与平面之间的位置关系 答案解析 C解析 解 时 m与n可能平行 可能异面也可能相 ma na 交 故 错误 时 存在直线 使 则 也必有 故 正确 mana la mlnl nm 时 直线 使 则 则 故 正确 ma mblb lmnb ab 故选 C 思路点拨 根据线面平行的性质 线面垂直的性质 面面平行的判定 结合空间点 线面之间的关系 逐一分析已知中的三个命题即可得到答案 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G4G720 本 题满分 12 分 如图 四边形是边长为 2 的正方形 ABCDAFDEDEAFABCDDE2 平面 与平面ABCD所成角的正切值为 2 2 BE 1 求证 EFBAC平面 2 求三棱锥BEFC 的体积 知识点 直线与平面的平行的判定 棱锥的体积 答案解析 1 略 2 2 3 解析 1 设 AC BD 交于 O 取 EB 中点 M 连结 FM MO 在BDE 中 11 22 OMDE FADEOM FA 即四边形 FAOM 是平行四边形 FGAO 又AO 平面 EFB 平面 EFB 所以直线 AC 平面 EFB FG 2 ED 平面 ABCD BD 是 BE 在面 ABCD 的射影 EBD 与平面 BCD 所成角 2 tan2 22 2 EDED EBDED BD 由 1 知 AC 平面 BEFA C 到平面 BEF 等距 C BEFA BEFB AEF VVV 正方形 ABCD 中 AB AD DE 平面 ABCD 且 FA EDFA 平面 ABCDFA AB 由 知 AB 平面 ADEFAB 为棱锥 B AEF 的高 因此 1 1 22 2 323 C BEFA BEFB AEF VVV 思路点拨 证明直线与平面平行一般抓住其判定定理 在平面内找到一条直线与已知直 线平行 在求三棱锥体积中 若直接求不方便时 可利用等底等高进行转化求解 也可通 过换底面求解 数学文卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G4G57 已知 m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 若 mn 且 mn 则 m 若 m m 则 若 m n 且 mn 则 其中正确命题的个数是 A 1B 2C 3D 4 知识点 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 答案解析 B 解析 直线 m 还可以在平面 内 所以错误 由条件知平面 与 所成角与直线 m n 所成的角相等或互补 所以正确 因为 m 则在 内 必存在直线 n 与直线 m 平行 由 m 得 n 得 所以正确 两面还可 以相交 所以错误 综上得 正确 所以选 B 思路点拨 判断直线与平面 平面与平面平行与垂直关系能直接由定理推导的可直接推 导 不能直接推导的可举反例排除 数学文卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G4G57 已知 直线m n与平面 给出下列三个命题 若m n 则m n 若 m n 则n m 若m m 则 其中正确命题的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 知识点 线面位置关系的合理判定 答案解析 C解析 解 在 的条件下直线 m n的位置关系不能确定 易证 正确 所以选 C 思路点拨 根据线面位置关系判定定理 性质定理判断各命题的真假 数学文卷 2015 届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试 201407 G4G517 如图 直 三棱柱中 平面 分别是 111 CBAABC AB 11B BCC 1 BBBCAB MN 的中点 ABCA1 求证 平面 MN 11B BCC 求证 平面 MNCBA 11 知识点 线面位置关系的判定与证明 答案解析 1 略 2 略 解析 解 1 连接交于N且N是的中点 1 AC 1 AC 1 AC 连接 因为M是AB中点 所以MN是的中位线 1 BC 1 ABC 所以平面 平面 1 MNBCMN 11B BCC 1 BC 11B BCC 所以 平面 MN 11B BCC 2 因为平面 所以平面 AB 11B BCC 11 ABAB 11 AB 11B BCC 又平面 所以 1 BC 11B BCC 111 ABBC 由题设条件可知四边形是正方形 所以 11 BC CB 11 BCBC 所以垂直于平面 中的两条相交直线 1 BCCBA 11111 AB BC 所以 平面 由 1 知 所以平面 1 BC CBA 111 MNBC MNCBA 11 思路点拨 1 根据线面平行的判定定理 在平面 中找到直线与直线MN 11B BCC 平行即可 2 根据线面垂直的判定定理 在平面中找到两条相交直线 与直线MN CBA 11 或与MN平行的直线垂直即可 数学文卷 2015 届黑龙江省哈三中高二下学期期末考试 201407 G4G53 已知直线 a BC M A N A1 B1C1 平面 那么下列命题中正确的是b A 若 则 B 若 则ba b a a bba C 若 则 D 若 则 aba b a a 知识点 线面位置关系的判定与证明 答案解析 D解析 解 在选项A的条件下还可能有 在选项B的条件下还可a 能有与相交 在选项C的条件下还可能有 所以选D b 思路点拨 利用线面位置关系的判定与证明 确定各选项的正误 数学文卷 2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试 201407 G11G7G4G520 本 小题满分 12 分 如图所示 矩形ABCD中 AD 平面ABE 2AEEBBC F为CE上的 点 且BF 平面ACE 求证 AE 平面BCE 求证 AE 平面BFD 求三棱锥C BGF 的体积 知识点 与二面角有关的立体几何综合题 棱柱 棱锥 棱台的体积 直线与平面 平行的判定 直线与平面垂直的判定 答案解析 1 见解析 2 见解析 3 1 3 解析 解 1 证明 AD 平面ABE ADBC BC 平面ABE 则AEBC 2 分 又BF 平面ACE 则AEBF AE 平面BCE 4 分 2 由题意可得G是AC的中点 连接FG BF 平面ACE 则CEBF 而BCBE F 是EC中点 6 分 在AEC 中 FGAE AE 平面BFD 8 分 3 AE 平面BFD AEFG G G 而AE 平面BCE FG 平面BCF G 是AC中点 F是CE中点 FGAE 且 1 1 2 FGAE 9 分 BF 平面ACE BFCE Rt BCE 中 1 2 2 BFCECF 10 分 1 221 2 CFB S 11 分 11 33 C BGFG BCFCFB VVSFG 12 分 思路点拨 1 根据 AD 平面 ABE AD BC可得 BC 平面 ABE 根据线面垂直的 性质可知 AE BC 根据 BF 平面 ACE 则 AE BF 而 BC BF B 满足线面垂直的 判定定理 从而证得结论 2 根据 G是AC的中点 连接 FG 而 BF 平面 ACE 根据线面垂直的性质可知CE BF 而 BC BE 从而 F是EC的中点 根据中位线定理 可知 FG AE 而 FG 平面 BFD AE 平面 BFD 满足线面平行的判定定理 从而证得 结论 3 根据 AE BE AE BF BE BF B 满足线面垂直的判定定理可得 AE 平面 BCE 而 AE FG则FG 平面 BCF 从而 FG为三棱锥 G BCF的高 然后求出 三角形 BCF的面积 根据三棱锥的体积公式解之即可 数学文卷 2015 届河北省唐山一中高二下学期期末考试 201407 G4G54 设是两 a b 条不同的直线 是两个不同的平面 则能得出的是 ab A B a b a b C D a b a b 知识点 空间中直线与平面之间的位置关系 答案解析 C解析 解 A 若 则 故 A错 a b ab B 若 则 又 则 故 B错 a ab b ab C 若 则 又 则 故 C正确 b ba a ab D 若 设 由线面平行的性质得 若 则 b cab bc ac 故 D错 ab 故选 C 思路点拨 可通过线面垂直的性质定理 判断A 通过面面平行的性质和线面垂 直的性质 判断 B 通过面面平行的性质和线面垂直的定义 即可判断C 由线 面平行的性质和面面垂直的性质 即可判断D 数学文卷 2015 届吉林省长春市十一中高二下学期期末考试 201407 G4G718 如图 在直三棱柱中 111 CBAABC 5 ACAB 6 1 BCBB 分别为的中点 ED CBAA 11 1 求证 平面 5 分 DEABC 2 求三棱锥的体积 7 分 BCDE 知识点 直线与平面平行的判定 棱锥的体积公式 答案解析 1 略 2 12 解析 解 1 取 BC 边中点 F 连 EF FA 则 且EF 1 BBADADEF 四边形 EFAD 是平行四边形 DEAF 且 平面AFABC DEABC 2 等腰三角形 ABC 中 易知 AFBC 又 面AF 1 BBAFCCBB 11 由 1 DEAFEBCDE 又 936 2 1 BCE S435 32 DEAF 1249 3 1 EBCDBCDE VV 思路点拨 1 取 BC中点 F 连接 AF EF 通过证明四边形 EFAD是平行四边 形 推出 然后证明 平面 DEAFDEABC 2 证明 利用 然后求解几何体的体积 DEEBC 面 E BCDD EBC VV 数学文卷 2014 届西藏自治区高三最后一次模拟统一考试 201405 G4G510 已知 是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列命题不正确的是 nm D 1 A 1 B 1 C A E B C 18 文图 F A 若 则 B 若 则 mn nm mnm n C 若则 D 则 mm mm 知识点 空间中直线与平面之间的位置关系 答案解析 A 解析 解 A 选项不正确 因为由线面平行的性质定理知 线平行于面 过线的面与已知面相交 则交线与已知线平行 由于 m 与 的位置关系不确定 故不能得 出线线平行 B 选项正确 因为两条平行线中的一条垂直于某个平面 则另一条必垂直于这个平面 C 选项正确 两个平面垂直于同一条直线 则此两平面必平行 D 选项正确 一个平面过另一个平面的垂线 则这两个平面垂直 综上 A 选项不正确 故选 A 思路点拨 A选项由线线平行的条件判断 B选项由线面垂直的条件判断 C选项由面面 平行的条件判断 D选项由面面垂直的条件判断 典型总结 本题考查空间中直线与平面之间的位置关系 解题的关键是有较强的空间想 像能力 熟练掌握空间中点线面位置关系判断的定理定义及条件 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G7G4G519 本大题 12 分 如图 在四棱台中 平面 底面是平行四边 1111 DCBAABCD DD1ABCDABCD 形 111 222DDADBAAB 60 BAD 证明 求与面成角的余弦值 BDAA 1 BA1 11ADD A 证明 直线 平面 1 CCBDA1 知识点 棱台的定义 空间线面位置关系的判定与证明 答案解析 1 证明 略 2 3 证明 略 17 85 解析 解 设AD a则在中 AB 2a AD a ABD 由余弦定理得BD 60BAD 3a 再由勾股定理的逆定理得 BDAD 因为 平面 平面ABCD 所以 DD1ABCDBD 1 DDBD 而是平面上两条相交线 所以平面 1 AD DD 11 ADD ABD 11 ADD A 又平面 所以 1 AA 11 ADD ABDAA 1 2 设棱台各侧棱相交于点S 因为AB 2 所以是四棱锥的中 11 AB 1111 ABC DSABCD 截面 所以在直角中SD 2a AD a 所以SA 所以 由ADS 5a 1 15 22 a DASA 1 可知时斜线与面成角 而且BD 所以 1 BAD BA1 11ADD A3a 所以 1 32 15 tan 55 2 a BAD a 1 cosBAD 17 85 3 连接AC交BD于E 则E是AC的中点 连接 由 2 可知时三角形SAC的中位线 所以平行且等于EC 所以 111 AC AE 11 AC 11 AC 11 AECC 是平行四边形 所以 又因为平面 平面 所以 11 CCAE 1 AE BDA1 1 CC BDA1 直线 平面 1 CCBDA1 思路点拨 1 要证两直线垂直 可证其中一条直线垂直于另一条直线所在的平面 2 根据线面角的定义找到与面成角 再把这个角放到三角形中求解 BA1 11ADD A 3 根据线面平行的判定定理 在平面内找到直线与 直线 平行即可 BDA1 1 CC 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G7G4G516 如图 正 三棱柱的各棱长都等于 在上 为中点 且 111 CBAABC 2D 1 ACF 1 BB 有下述结论 1 ACFD 1 1 AC BC 2 1 1 DC AD 3 二面角CACF 1 的大小为 90 4 三棱锥的体积为 正确的有 ACFD 3 3 A F D B C 1 A 1 C 1 B 知识点 正三棱住定义性质 线面位置关系的判定与性质 几何体体积的计算 答案解析 2 3 4 解析 解 在直角三角形 ABF中AF 在直角三角形5 中 所以是等腰三角形 又 所以D是 的中点 所 11 BC F 1 AC5 1 AFC 1 ACFD 1 AC 以 2 成立 取AC中点E连接BE DE 易得BFDE是矩形 所以BE 若 1 AC 1 AC 则 平面ABC 显然不成立 所以 1 不成立 因为平面BC 1 AC BEFD BE 所以平面所以 3 正确 11 ACC AFD 11 ACC A 而 所以 4 正确 V 11 11111 2 23 22232 D ACFCACFA CFC VV 3 3 思路点拨 根据题设条件判断是等腰三角形 又从而确定 2 成立 1 AFC 1 ACFD 然后 取AC中点E连接BE DE 易得BFDE是矩形 所以BE 若 则1 AC 1 AC BC 平面ABC 显然不成立 因为平面 所以平面 1 AC BEFD BE 11 ACC AFD 11 ACC A 所以 3 正确 而 V 11 11111 2 23 22232 D ACFCACFA CFC VV 3 3 所以 4 正确 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G415 若直线 022 yax与直线 013 yax平行 则实数a的值为 知识点 两直线平行的条件 答案解析 1解析 解 显然a 0时两直线不平行 当时 由0a 131 22 a a 得a 1 思路点拨 根据一般式下直线平行的条件得 关于字母参数a方程或不等式 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G4G56 设m n是两 条不同的直线 是两个不同的平面 下列说法正确的是 A nmnm B nmnm C D nmnm nmnm 知识点 线面位置关系判断与性质 空间想象能力 答案解析 B解析 解 A中条件下可能平行 可能相交 B 从而 C中条件下 mm nnnn m n mn m n可能平行 可能相交 D中条件下n 关系不能确定 思路点拨 对于选项A C D均可找到与所给结论矛盾的结果 对选项B 从而 所以选B mm nnnn m n mn 数学卷 2016 届黑龙江省哈三中高一下学期期末考试 201407 G3G4G5G3G4G52 下列说法 正确的是 A 若一条直线平行于两个相交平面 则这条直线与这两个平面的交线平行 B 若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等 则这两个平面平行 C 若两条直线和同一个平面所成的角相等 则这两条直线平行 D 若两个平面都垂直于第三个平面 则这两个平面平行 知识点 空间点 线 面位置关系判定 性质及应用 答案解析 A解析 解 对于选项 A由线面平行性质定理及平行公理可得其正确 对于B C D容易找到它们不成立的情况 思路点拨 根据间点 线 面位置关系判定 性质 确定各选项的正误 数学卷 2016 届广东省惠州市第一中学 惠州市 高一下 学期期末考试 201407 G5G4G5G419 本题满分 本题满分 14 分 分 如右图 是圆的直径 点是弧的中点 点ABOCAB 是圆所在平面外一点 是的中点 已知VODAC 2AB 2VAVBVC 1 求证 平面 ODVBC 2 求证 VO 平面 ABC 知识点 直线与平面平行的判定 直线与平面垂直的判定 答案解析 1 见解析 2 见解析 解析 解 1 O D 分别是 AB 和 AC 的中点 OD BC 2 分 又OD 面 VBC BC面 VBC 4 分 OD 平面 VBC 6 分 2 VA VB O 为 AB 中点 VOAB 8 分 连接OC 在VOA 和VOC 中 OAOC VOVO VAVC VOA VOC 10 分 VOA VOC 90 VOOC 12 分 ABOCO AB 平面 ABC OC 平面 ABC VO 平面 ABC 14 分 思路点拨 1 先证明出 OD BC 进而根据线面平行的判定定理证明出OD 平 面VBC 2 分别证明出VOAB 和VOOC C 最后根据线面垂直的判定定理证 明出 VO 平面ABC 数学卷 2016 届广东省惠州市第一中学 惠州市 高一下学期期末考试 201407 G11G5G410 如图 正方体的棱线长为 1 线 1111 ABCDABC D 段上有两个动点 且 则下列结论中错误 11 B D E F 2 2 EF 的是 A ACBE B EFABCD平面 C 三棱锥的体积为定值ABEF D 异面直线所成的角为定值 AE BF 知识点 异面直线所成的角及求法 线面垂直 面面平行的性质 答案解析 D解析 解 所以A正确 BEACDDBBAC 因此平面 11 易证B选项正确 EFBDEFABCD 平面 EF BEF 的面积为定值 EF 1 又 AC 平面 BDD1B1 AO 2 2 1 2 2 4 为棱锥 A BEF 的高 三棱锥 A BEF 的体积为定值 故C 正确 利用图形设异面直线所成的角为 当 E 与 D1重合时 sin 30 1 2 当 F 与 B1重合时 tan 异面直线 AE BF 所成的角不是定值 故D 错误 2 2 思路点拨 利用证线面垂直 可证 AC BE 判断 A正确 根据正方体中上下面平行 由面面平行的性质可证 线面平行 从而判断B正确 根据三棱锥的底面面积与EF的位置无关 高也与 EF的位置无关 可判断 C正确 例举两个特除位置的异面直线所成的角的大小 根据大小不同判断D错误 数学卷 2016 届云南省玉溪一中高一下学期期末考试 201407 G5G418 本小题满分 12 分 如图 三棱柱的三视图 主视图和侧视图是全等的矩形 俯视图是等腰直ABCCBA 111 角三角形 点 M 是 A1B1的中点 I 求证 B1C 平面 AC1M II 求证 平面 AC1M 平面 AA1B1B 知识点 平面与平面垂直的判定 平面与平面平行的判定 答案解析 I 见解析 II 见解析 解析 解 I 由三视图可知三棱柱为直三棱柱 底面是等腰直角三角ABCCBA 111 形且 90ACB 主视图主视图侧视图侧视图 俯视图俯视图 1 2A1 M C1 B1 A B C A1 M C1 B1 A B C O 连结 A1C 设 连结 MO 由题意可知 A1O CO A1M B1M 所以 OACCA 11 MO B1C 又平面 平面 MO 1 AC M 1 BC 1 AC M 所以平面 6 分 1 BC 1 AC M II 又为的中点 1111 ACBC M 11 AB 111 C MAB 平面 平面 1 AA 111 ABC 1 C M 111 ABC 11 C MAA 又平面 所以平面 AC1M 平面 AA1B1B 12 分 1 C M 1 AC M 思路点拨 I 由三视图确定直观图的形状 连接A1C 设 连OACCA 11 接MO 证明 MO B1C 利用线面平行的判定 可得平面 1 BC 1 AC M II 先证明 C1M 平面 AA1B1B 再证明 平面AC1M 平面AA1B1B G5 空间中的垂直关系空间中的垂直关系 数学 文 卷 2015 届湖北省部分重点中学高三上学期起点考试 201408 G5G6G1120 本小题满分 13 分 如图 中 两点ABC 90 2 1 BABBCD E 分别是线段 的中点 现将沿折成直二面角 ABAC ABC DEADEB 求证 求直线与平面所成角的正切值 ADCABE 面面ADABE A B C DE A B C D E 知识点 线面垂直的判定定理 二面角的求法 答案解析 1 见解析 2 3 3 解析 解 由两点分别是线段的中点 90 BD E ABAC 得 DEBCDEAD DEBD 为二面角平面角 ADB ADEB 2 ADB ADBCDBEBCDADBE 面又面 又 21 1 22 BDBC BDDEBCBDEDBC DEBD 即 EBDDCBBEDC BEADC 面 7 分 BEABEABEADC 又面面面 连结 BE 交 CD 于 H 连结 AH 过点 D 作于 O DOAH ADBE BEDHBEADH 面 DOADHBEDO 面 DOAHDO 又面ABE 所以为与平面所成角 DAO ADABE 中 Rt BDE 216 226 BD DE BDDEDH BE 中 Rt ADH 63 tan2 63 DH DAO DA 所以直线与平面所成角的正切值为 13 分ADABE 3 3 思路点拨 1 先找到二面角平面角 再结合线面垂直的判定定理即可 ADEB 2 通过已知条件确定为与平面所成角 然后在三角形中解出其正切值DAO ADABE 即可 数学理卷 2016 届黑龙江省大庆铁人中学高一下学期期末考试 201407 G4G56 已知 m n是两条不同的直线 是两个不同的平面 给出下列命题 若 m 则 若 mn 且 mn 则 m 若 m m 则 若 m n 且 mn 则 其中正确命题的个数是 A B C D 1234 知识点 直线与平面位置关系 平面与平面位置关系 答案解析 B 解析 直线 m 还可以在平面 内 所以错误 由条件知平面 与 所成角与直线 m n 所成的角相等或互补 所以正确 因为 m 则在 内 必存在直线 n 与直线 m 平行 由 m 得 n 得 所以正确 两面还可 以相交 所以错误 综上得 正确 所以选 B 思路点拨 判断直线与平面 平面与平面平行与垂直关系能直接由定理推导的可直接推 导 不能直接推导的可举反例排除 A B C D E H O 数学理卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G5G1120 本 小题满分 12 分 如图 四棱锥的底面是正方形 PD 底面 ABCD 点 E 在棱 PB 上 ABCDP 求证 平面 AEC 平面 PDB 当 PD AB 且 E 为 PB 的中点时 求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小 2 知识点 直线与平面垂直的判定 以及直线与平面所成的角 答案解析 见解析 45 解析 解 四边形 ABCD 是正方形 AC BD PD 底面 ABCD PD AC 又 PD BD D AC 平面 PDB 又 AC 平面 AEC 平面 AEC 平面 PDB 6 分 设 AC BD O 连接 OE 由 1 知 AC 平面 PDB 于点 O AEO 为 AE 与平面 PDB 所成的角 点 O E 分别为 DB PB 的中点 OE PD 且 OE PD 1 2 又 PD 底面 ABCD OE 底面 ABCD OE AO 在 Rt AOE 中 OE PD AB AO AEO 45 1 2 2 2 即 AE 与平面 PDB 所成的角为 45 12 分 思路点拨 欲证平面 AEC 平面PDB 根据面面垂直的判定定理可知在平面AEC 内一直线与平面 PDB垂直 而根据题意可得 平面AEC 平面PDB 设 AC BD O 连接 OE 根据线面所成角的定义可知 AEO为AE与平面 PDB所成的角 在 Rt AOE中求出此角即可 数学理卷 2016 届吉林省长春市十一中高一下学期期末考试 201407 G4G5G719 本 小题满分 12 分 如图 在四棱锥中 底面 P ABCDPDABCD 底面为正方形 分别是ABCDPD DCEF AB 的中点 PB 求证 平面 EFPAD 求证 EFCD 设 PD AD a 求三棱锥 B EFC 的体积 知识点 直线与平面