一题多解 工程应用题

例 1 一项工程 甲队单独做完要 12 天 乙队单独做完要 10 天 两队合做多少天就可以完成 分析 1 把这项工程看作整体 1 甲每天完成工程的 乙队每天完成工程的 甲乙合做每天完成工程的 工程 1 里包含几个 就是两队合做完成这个工程的天 数 解法 1 两队合做 1 天完成的工程 两队合做多少天完成这项工程 1 天 综合算式 1 1 天 分析 2 用最小公倍解法 因为 12 和 10 的最小公倍数是 60 所以可假设这项工程为 60 那么甲队工作效率为 60 12 5 乙队工作效率为 60 10 6 甲乙合做效率为 5 6 11 用总工作 量 60 除以甲乙效率和 11 即得两队合做完成这个工程的天数 解法 2 假设这项工程总工作量为 60 60 60 12 60 10 60 5 6 60 11 天 分析 3 由题意可知 甲队每天的工作量 乙队天就可完成 即天 两队合做 1 天 的工作量由乙队独做需要 1 天 即天 所以乙队 10 天完成的这项工程 两队合做要用 10 天 完成 解法 3 10 1 10 12 10 1 10 天 分析 4 甲队 12 天的工作量 乙队 10 天即可完成 所以乙队 1 天的工作量 甲队要用 天完时 即天 那么甲乙两队合做 1 天的工作量 甲队要用 1 天 所以乙队 1 0 天完成的这项工程 两队合做要用 12 天 解法 4 12 1 12 10 12 1 12 天 答 两队合做天就可以完成 评注 解法 1 是工程应用题的一般解法 易于理解 是较好的解法 解法 2 是利用求公倍 数法解工程应用题 这种解法其实是假设解法 读者可根据实际情况选择恰当的数假设为总工 程量 例 2 一列货车与一列客车同时从甲 乙两站相对开出 经过 9 小时相遇 相遇后两车都 继续以原速前进 已知货车又行了 6 小时到达乙站 问客车行完全程需要几小时 分析 1 把甲乙两站全程看作标准 1 两车同行 1 小时行完全程的 货车 1 小时可 行全程的 即 那么客车 1 小时可行全程的 全程 1 里包含着多少个 就是客车行全程需要多少小时 解法 1 1 1 小时 分析 2 货车行全程需 9 6 15 小时 9 和 15 的最小公倍数是 45 所以两站全程可 假设为 45 那么两车同时行 1 小时可行 45 9 5 货车 1 小时可行 45 15 3 所以客车每小时 可行 5 3 2 甲乙两站全程 45 内包含多少个 2 就是客车行全程需要多少小时 解法 2 假设甲乙两站全程为 45 45 45 9 45 9 6 45 45 9 45 15 45 5 3 小时 分析 3 两车 9 小时行完的路程 货车要用 9 6 15 小时 行完 而客车 9 小时行完的路 程 货车只需 6 小时行完 那么货车 1 小时行完的路程 客车需要 9 6 1 5 小时 所以货车 1 5 小时的行程 客车需要 1 5 15 22 5 小时 解法 3 9 6 9 6 9 6 15 1 5 15 22 5 小时 分析 4 两车同时行全程需 9 小时 货车行全程需要 9 6 15 小时 那么客车行 9 小 时恰好行完全程的 6 所以客车每小时行全程的 9 由此可求客车行全程的时 间 解法 4 1 6 9 1 9 1 小时 分析 5 把客车行完全程需要的时间看作 1 货车行全程需 9 6 15 小时 而货车 6 小时的行程和客车 9 小时的行程恰好相同 由此可求出客车 9 小时行全程的 6 即 9 小时的对应分率 由此可求客车行全程的时间 解法 5 9 6 9 6 9 小时 答 客车行完全程需要小时 评注 比较以上五种解法 解法 1 是工程应用题的一般解法 思路简明清晰 易于理解 和掌握 解法 5 是运用分数除法应用题的解法 更有益于理解工程应用题 且运算简便 这两 种解法是本题的较好解法 例 3 一件工作 甲乙合做 8 天可以完成 甲独做 12 天可以完成 现在甲乙合做若干天后 余下的由乙继续做 3 天才完成 乙一共做了多少天 分析 1 乙每天完成这件工作的 那么乙 3 天完成了这件工作的 再求出甲乙合做的工作量 1 里包含多少个 就是甲乙合做了几天 即乙先做了几天 再加上余下 3 天即得乙共做多少天 解法 1 1 3 3 1 3 3 1 3 3 10 天 分析 2 根据 甲乙合做的工作量与乙独做完成工作量的和等于总工作量 这一 等量关系列方程 先求乙先做了几天 再加上 3 天即得乙共做了多少天 解法 2 设甲乙合做了 x 天 1 1 x 7 7 3 10 分析 3 假设总工作量为 24 那么甲乙效率和是 24 8 3 甲的效率是 24 12 2 所以乙的效率是 3 2 1 它 3 天完成了 1 3 3 因此 甲乙合做 24 3 3 7 天 即乙先做了 7 天 再加上 3 天即得乙共做的天数 解法 3 假设工作总量为 24 24 24 8 24 12 3 24 8 3 24 3 2 3 3 3 24 3 3 3 21 3 3 10 天 分析 4 假设甲乙合做了 5 天 那么比实际少完成 1 5 3 甲乙继续合做还要用 2 天 所以乙共做了 5 2 3 10 天 解法 4 假设甲乙合做了 5 天 1 5 3 5 3 1 5 3 5 3 5 3 10 天 答 乙一共做了 10 天 评注 解法 1 和解法 2 是较好的解法 解法 1 是工程应用题的一般解法 虽思路 较繁 但容易想到 例 4 如图是表示甲 乙 丙三个工程队单独完成某项工程所需天数的条形图 请 计算 甲 乙两队合做 4 天后 剩下的工程由丙队做 丙队还要做几天才能完成任务 分析 1 先求出甲 乙两队合做 4 天完成了工程的几分之几 再求剩下的工程 再除以丙队每天的工作量 即得丙队还要做的天数 解法 1 甲 乙合做 4 天完成的工程 剩下的工程有多少 1 丙队还要几天完成 天 综合算式 1 1 4 1 天 分析 2 先求出甲 乙合做 4 天的工作量由丙队独做需要几天 再用丙独做全工 程用的 15 天减去这个天数 即得丙队还要做的天数 解法 2 甲 乙合做 4 天完成多少 甲 乙合做的工程由丙独做需几天 11 天 剩下的工程丙队还要几天完成 15 11 4 天 综合算式 15 15 4 15 15 11 4 天 分析 3 把丙队独做全工程需用天数看作 1 先求出甲 乙合做后剩下的工程 即丙队还要做天数的对应分率 最后求出剩下工程丙队还需几天完 解法 3 甲 乙合做了工程的几分之几 还剩下全工程的几分之几 1 丙队完成剩下的工程还需几天 15 4 天 综合算式 15 1 15 1 15 4 天 分析 4 根据 剩下工程 总工程 甲乙合做的工程 这一等量关系 列方程解 解法 4 设丙队还要 x 天完成 1 1 x x 4 答 丙队还要做 4 天才能完成任务 评注 比较以上四种解法 解法 1 和解法 3 是较好的解法 解法 1 是解工程应用 题的一般方法 容易理解 解法 3 是运用分数乘法应用题的解法 比解法 1 的思路更直 接 另外 本题还可用最小公倍法和正比例来解 读者可试解一下 例 5 一项工程 甲 乙两队合做 20 天完成 已知甲 乙两队工作效率的比是 4 5 甲乙两队单独完成这项工程各需要多少天 分析 1 甲乙两队的工作效率和是 又知甲乙工作效率的比是 4 5 由此运 用按比例分配的方法 分别求出甲 乙两队的工作效率 再用总工作量 1 分别除以甲 乙的独做效率 即得甲乙独做全工程的天数 解法 1 甲队每天完成多少工程 乙队每天完成多少工程 甲队独做全工程需几天 1 45 天 乙队独做全工程需几天 1 36 天 综合算式 甲队 1 1 45 天 乙队 1 1 36 天 分析 2 因为 工作量 工作效率 工作时间 工作时间一定 所以工作量和 工作效率成正比例 即甲乙两队工作量的比是 4 5 所以甲 20 天完成了全工程的 乙队 20 天完成了全工程的 由此可分别求出甲 乙独做全工程各需多少天 解法 2 甲队独做全工程需要多少天 20 20 45 天 乙队独做全工程需要多少天 20 20 36 天 分析 3 由分析 2 可知 甲乙完成工作量的比是 4 5 因为他们的工作效率一定 所以他们各自完成的工作量与所需的时间成正比例 由此可分别列比例式 求出两队 的独做时间 解法 3 设甲队独做需 x 天完 20 4 x 4 5 4x 20 9 x 20 9 4 x 45 设乙队独做全工程需要 y 天 20 5 y 4 5 5y 20 9 y 20 9 5 y 36 答 略 评注 解法 1 是解工程应用题的一般方法 易于理解 但思路较曲折 解法 2 是 运用分数除法应用题的方法来解的 思路简单明白 运算也较简便 是本题的较好解 法 解法 3 虽与解法 2 的思路 方法都不同 但两者的数量关系是相同的 例 6 修一段公路 甲队单独修需要 16 小时完工 甲乙两队合修 4 小时后 剩下的 由乙队又用小时修完 这段公路全部由乙队修筑需要几小时完工 分析 1 乙队先后共修了 4 小时 先求乙队共修了这段路的几分之几 再求乙队的工作效率 最后看这段公路 1 里包含几个乙队的工作效率 即乙队独 修需几小时 解法 1 乙队共修了全长的几分之几 1 4 乙队先后共修了几小时 4 小时 乙队每小时修全长的几分之几 乙队独修全长需几小时 1 14 小时 综合算式 1 1 4 4 1 1 1 1 14 小时 分析 2 把乙队独修全长需要的时间看作 1 由分析 1 可知 乙队先后共修了 小时 修了全长的 根据分数除法的意义求出乙队独修全长需要几小时 解法 2 4 1 4 14 小时 分析 3 根据 甲队修路 乙队修路 全路长 这一等量关系列方程解 解法 3 设乙队独修需 x 小时完 4 4 1 1 x 1 x 14 答 这段公路由乙队独修需 14 小时完工 评注 比较以上三种解法 解法 2 的思路最简捷 运算最简便 是本题的最佳 解法 例 7 一项工程甲队单独做要 15 天才能完成 乙队单独做 12 天才能完成 如果甲 队先做 3 天后 剩余的工作两队同时去做 还要多少天可以完成 分析 1 先求出甲队先完成了工程的几分之几 那么即可求出剩下的工程 再用 剩下的工程除以甲 乙队的工作效率和 即得甲 乙队合做还要多少天完 解法 1 甲队先做了多少 3 剩余的工作有多少 1 两队合做还要多少天完 天 综合算式 1 3 1 天 分析 2 把两队合做全工程的时间看作 1 先求出两队做全工程需要多少天 再求剩余的工程是全工程的几分之几 最后求出两队还要多少天完成 解法 2 甲乙合做全工程需要几天 1 天 两队要合做全工程的几分之几 1 3 两队还要多少天可以完成 天 综合算式 1 1 3 1 天 分析 3 根据 甲队先做的工作量 两队合做的工作量 工作总量 列方程解 解法 3 设两队还要 x 天完成 3 x 1 x 1 x 分析 4 剩余的工作由甲独做要用 15 3 12 天 把剩余的工作看作定量 那么 所需的时间和工作效率成反比例 由此列方程解 解法 4 设两队合做还要 x 天完 15 3 x 12 x x x 答 剩余的工作两队还要天可以完成 评注 以上四种解法各有特点 解法 1 是一般解法 最容易想到 运算较简便 是较好的解法 解法 2 是分数应用题的解法 思路更直接 解法 3 和解法 4 都是方程解法 但等量关系不同 读者可灵活选用 例 8 仓库有 45 吨化肥 甲汽车单独运 10 小时完成 乙汽车单独运 15 小时完成 用甲乙两辆汽车同时运 多少小时可以运完 分析 1 先求两车每小时各运多少吨 再求两车每小时共运多少吨 最后用总吨 数除以两车每小时运的 即得两车同运所需时间 解法 1 甲车每小时运多少吨 45 10 4 5 吨 乙车每小时运多少吨 45 15 3 吨 两车每小时运多少吨 4 5 3 7 5 吨 两车同时运需几小时运完 45 7 5 6 小时 综合算式 45 45 10 45 15 45 4 5 3 45 7 5 6 小时 分析 2 先求出两车每小时共运总吨数的几分之 几 再求两车每小时共运多少 吨 再看总吨数里包含几个这样的吨数 就是两队合运需几小时 解法 2 两车每小时运货的几分之几 两车每小时运货多少吨 45 7 5 吨 两车合运几小时完成 45 7 5 6 小时 综合算式 45 45 45 45 45 7 5 6 小时 分析 3 甲车每小时运化肥的 乙车每小时运化肥的 两车每小时运化 肥的 把化肥总吨数看作 1 1 里包含几个 就是两车同运 几小时完成 解法 3 1 1 6 小时 分析 4 根据 甲车运肥 乙车运肥 化肥总量 这一等量关系列方程解 解法 4 设两车同运 x 小时完 x x 1 x 1 x 1 x 6 或 x 1 x 1 x 6 答 两车同时运 6 小时可以完成 评注 比较以上四种解法 解法 3 的思路最简捷 运算最简便 是本题的最佳 解法 例 9 甲乙两地相距 630 千米 客车和货车同时从两地出发 相向而行 客车行完 全程需 14 小时 货车行完全程需 21 小时 两车相遇时各行了多少千米 分析 1 先求客车和货车的速度各多少 再求两车的相遇时间 最后用两车的速 度分别乘以相遇时间 即得每车各行多少千米 解法 1 客车每小时行多少千米 630 14 45 千米 货车每小时行多少千米 630 21 30 千米 两车几小时相遇 630 45 30 小时 相遇时客车行多少千米 45 378 千米 相遇时货车行多少千米 30 252 千米 综合算式 客车 630 14 630 630 14 630 21 45 630 45 30 45 378 千米 货车 630 378 252 千米 分析 2 先求出甲车的速度 再运用工程应用题的解法求两车的相遇时间 然后 用甲车速度乘以相遇时间即得甲车行多少千米 最后再求货车的行程 解法 2 客车每小时行多少千米 630 14 45 千米 两车几小时相遇 1 小时 客车行了多少千米 45 378 千米 货车行多少千米 630 378 252 千米 综合算式 客车 630 14 1 45 1 45 378 千米 货车 630 378 252 千米 分析 3 因为 路程 速度 时间 时间一定 所以客车和货车的路程比等于 速度比即 3 2 由此可运用按比例分配的方法分别求出两车各行了多少千米 解法 3 客车与货车所行路程的比 3 2 客车行了多少千米 630 378 千米 货车行了多少千米 630 252 千米 综合算式 客车 630 378 千米 货车 630 252 千米 答 略 评注 比较以上三种解法 解法 1 最繁 但其思维难度小 也最容易想到 解法 3 的思路简单明白 运算最简便 是本题最佳解法 如果由分析 3 继续分析 运用分数 应用题解法也可求出两车各行多少千米 例 10 一项工程 甲单独做 40 天完成 乙单独做 30 天完成 二人合做若干天后 甲临时调走 乙继续完成这项工程 一共用 27 天 求乙单独工作了多少天 分析 1 把全工程看作 1 先求出乙共完成的工程 再求出甲完成的工程 然 后再除以甲的工作效率即得甲做了几天 即甲乙合做的天数 最后用 27 天减去甲乙合做 的天数 即得乙单独做了多少天 解法