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第四节 一 立体体积 二 曲面的面积 三 物体的质心 四 物体的转动惯量 五 物体的引力 重积分的应用 第十章 问题的提出 把定积分的元素法推广到二重积分的应用中 若要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性 即当闭区域D分成许多小闭区域时 所求量U相应地分成许多部分量 且U等于部分量之和 并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域时 相应地部分量可近似地表示为的形式 其中在内 这个称为所求量U的元素 记为 所求量的积分表达式为 一 立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面 则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为 任一点的切平面与曲面 所围立体的体积V 解 曲面 的切平面方程为 它与曲面 的交线在xoy面上的投影为 记所围域为D 在点 例1 求曲面 例2 求半径为a的球面与半顶角为 的 内接锥面所围成的立体的体积 解 在球坐标系下空间立体所占区域为 则立体体积为 二 曲面的面积 设曲面的方程为 如图 曲面S的面积元素 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 设曲面的方程为 曲面面积公式为 同理可得 解 例2 计算半径为a的球的表面积 解 设球面方程为 球面面积元素为 方法2利用直角坐标方程 见书P167 方法1利用球坐标方程 解 解方程组 得两曲面的交线为圆周 在平面上的投影域为 三 平面薄片的质心 对x轴的静矩 对y轴的静矩 当薄片是均匀的 质心称为形心 由元素法 空间物体的质心 例3 求位于两圆 和 的质心 解 利用对称性可知 而 之间均匀薄片 例 一个炼钢炉为旋转体形 剖面壁线 的方程为 内储有高为h的均质钢液 解 利用对称性可知质心在z轴上 采用柱坐标 则炉壁方程为 因此 故 自重 求它的质心 若炉 不计炉体的 其坐标为 解 四 平面薄片的转动惯量 薄片对于轴的转动惯量 薄片对于原点的转动惯量 薄片对于轴的转动惯量 空间物体的转动惯量 解 例5 求半径为a的均匀半圆薄片对其直径 解 建立坐标系如图 半圆薄片的质量 的转动惯量 解 解 取球心为原点 z轴为l轴 则 球体的质量 例 求均匀球体对于过球心的一条轴l的转动惯量 设球 所占域为 用球坐标 薄片对轴上单位质点的引力 为引力常数 五 平面薄片对质点的引力 解 由积分区域的对称性知 所求引力为 例7 求半径R的均匀球 对位于 的单位质量质点的引力 解 利用对称性知引力分量 点 几何应用 曲面的面积 物理应用 重心 转动惯量 对质点的引力 注意审题 熟悉相关物理知识 六 小结 思考题 薄片关于轴对称 思考题解答 练习题 练习题答案 t为时间 的雪堆在融化过程中 其 侧面满足方程 设长度单位为厘米 时间单位为小时 1 设有一高度为 已知体积减少的速率与侧面积成正比 比例系数0 9 问高度为130cm的雪堆全部融化需要 多少小时 2001考研 备用题 提示 记雪堆体积为V 侧面积为S 则 用极坐标 由题意知 令 得 小时 因此高度为130cm的雪堆全部融化
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