刘鸿文版材料力学-能量方法

材料力学刘鸿文主编 第4版 高等教育出版社 目录 第十章能量方法 第十章能量方法 10 1变形能的普遍表达式 10 2卡氏定理 10 3莫尔定理 单位力法 10 1变形能的普遍表达式 一 能量原理 二 杆件变形能的计算 1 轴向拉压杆的变形能计算 利用这种功能关系分析计算可变形固体的位移 变形和内力的方法称为能量方法 2 扭转杆的变形能计算 3 弯曲杆的变形能计算 10 1变形能的普遍表达式 变形能的大小与加载过程的先后次序无关 而只决定于载荷及其相应位移的最终值 相互独立的力 矢 引起的变形能可以相互叠加 即 克拉贝依隆原理 三 变形能的普遍表达式 10 1变形能的普遍表达式 细长杆 剪力引起的变形能可忽略不计 对于杆状构件 10 1变形能的普遍表达式 四 变形能的特点 1 产生同一种基本变形的一组外力在杆内所产生的变形能 不等于各力分别作用时产生的变形能之和 10 1变形能的普遍表达式 2 变形能的大小与加载过程的先后次序无关 而只决定于载荷及其相应位移的最终值 互等定理 10 1变形能的普遍表达式 互等定理 表明 第一组力在第二组力引起的位移上所作的功 等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功 这就是功的互等定理 10 1变形能的普遍表达式 位移互等定理 如 则 10 1变形能的普遍表达式 例如 外伸梁 在C点的力FP单独作用下截面的转角为 A FPal 6EI 求梁仅在A处的力偶矩M作用下C的挠度 又如 为测定悬臂梁在砝码G作用在自由端B时 截面1 2 3 4 5的挠度 如图所示 现仅有一个挠度计 千分表 且限定只能安装一次 试问该如何测定 10 1变形能的普遍表达式 MN 例1图示半圆形等截面曲杆位于水平面内 在A点受铅垂力P的作用 求A点的垂直位移 解 用能量法 外力功等于应变能 求内力 A P R O 10 1变形能的普遍表达式 外力功等于应变能 变形能 10 1变形能的普遍表达式 例2用能量法求C点的挠度 梁为等截面直梁 解 外力功等于应变能 应用对称性 得 思考 分布荷载时 可否用此法求C点位移 C a a A P B f 10 1变形能的普遍表达式 给Pn以增量dPn 则 1 先给物体加P1 P2 Pn个力 则 2 先给物体加力dPn 则 一 定理证明 10 2卡氏定理 再给物体加P1 P2 Pn个力 则 意大利工程师 阿尔伯托 卡斯提安诺 AlbertoCastigliano 1847 1884 10 2卡氏定理 二 使用卡氏定理的注意事项 U 整体结构在外载作用下的线弹性变形能 Pn视为变量 结构反力和变形能等都必须表示为Pn的函数 n为Pn作用点的沿Pn方向的变形 当无与 n对应的Pn时 先加一沿 n方向的Pn 求偏导后 再令其为零 10 2卡氏定理 三 特殊结构 杆 的卡氏定理 10 2卡氏定理 例3结构如图 用卡氏定理求A面的挠度和转角 变形 求内力 解 求挠度 建坐标系 将内力对PA求偏导 A L P EI 10 2卡氏定理 求转角 A 求内力 没有与 A向相对应的力 广义力 加之 负号 说明 A与所加广义力MA反向 将内力对MA求偏导后 令MA 0 求变形 注意 MA 0 L x O A P M A 10 2卡氏定理 例4结构如图 用卡氏定理求梁的挠曲线 解 求挠曲线 任意点的挠度f x 求内力 将内力对Px求偏导后 令Px 0 没有与f x 相对应的力 加之 P A L x C 10 2卡氏定理 变形 注意 Px 0 10 2卡氏定理 课堂练习 求fc A 10 2卡氏定理 一 虚功原理 虚功 10 3莫尔积分 10 3莫尔积分 二 单位力法 一般取P0 1 10 3莫尔积分 三 莫尔定理 莫尔积分 普遍形式的莫尔定理 取P0 1 对于杆状物 10 3莫尔积分 求任意点A的位移fA a A 图 fA 莫尔定理定理证明另一方法 莫尔定理 单位力法 10 3莫尔积分 四 使用莫尔定理的注意事项 M0 x 与M x 的坐标系必须一致 每段杆的坐标系可自由建立 莫尔积分必须遍及整个结构 M0 去掉主动力 在所求广义位移点 沿所求广义位移的方向加广义单位力时 结构产生的内力 M x 结构在原载荷下的内力 所加广义单位力与所求广义位移之积 必须为功的量纲 10 3莫尔积分 五 单位力的施加 10 3莫尔积分 例5用能量法求C点的挠度和转角 梁为等截面直梁 解 画单位载荷图 求内力 B q x 10 3莫尔积分 变形 x 10 3莫尔积分 求转角 重建坐标系 如图 0 10 3莫尔积分 例6拐杆如图 A处为一轴承 允许杆在轴承内自由转动 但不能上下移动 已知 E 210Gpa G 0 4E 求B点的垂直位移 解 画单位载荷图 求内力 5 20 A 300 P 60N B x 500 C x1 10 3莫尔积分 变形 10 3莫尔积分 例7如图所示刚架 AB段受均布载荷q作用 试求A点的铅垂位移和B截面转角 10 3莫尔积分 例8一桁架如图 各杆EA相同 节点B承受集中力F和2F作用 求杆BC的转角 10 3莫尔积分 变形 解 画单位载荷图 求内力 例9结构如图 求A B两面的拉开距离 P P A B 10 3莫尔积分 1 用卡氏定理 摩尔积分法求图示梁中B点的挠度和C截面的转角 比较两种方法的特点 已知EI为常数 课堂练习 10 3莫尔积分 2 试用卡氏定理求图示刚架截面A的转角和截面C的铅垂位移 EI为已知常数 10 3莫尔积分 3 试用卡氏定理求图示刚架C点两侧截面的相对转角 EI已知 10 3莫尔积分 4 由杆系及梁组成的混合结构如图所示 设FP a E A I均为已知 试求C点的垂直位移 10 3莫尔积分 5 半圆形小曲率曲杆的A端固定 在自由端作用扭转力偶矩Me 曲杆横截面为圆形 其直径为d 试用卡氏定理求B端的扭转角 10 3莫尔积分 第十章练习题一 抗拉 压 刚度为EI的等直杆 受力如图 其变形能是否为 二 试述如何用卡氏定理求图示梁自由端的挠度 三