线性代数1-2章精选练习题课案

第一章第一章 行列式行列式 一一 单单项项选选择择题题 1 下列排列是 5 阶偶排列的是 A 24315 B 14325 C 41523 D 24351 2 如果阶排列的逆序数是 则排列的逆序数是 n n jjj 21 k 12j jjn A B C D kkn k n 2 k nn 2 1 3 阶行列式的展开式中含的项共有 项 n 1122 a a A 0 B C D 2 n 2 n 1 n 4 0001 0010 0100 1000 A 0 B C D 21 1 5 0001 1000 0010 0100 A 0 B C D 21 1 6 在函数中项的系数是 1000 323 211 112 x x xx xf 3 x A 0 B C D 21 1 7 若 则 2 1 333231 232221 131211 aaa aaa aaa D 32313331 22212321 12111311 1 22 22 2 2 aaaa aaaa aaaa D A 4 B C 2 D 4 2 8 若 则 a aa aa 2221 1211 2111 2212 kaa kaa A B C D kaka ak 2 ak 2 9 已知 4 阶行列式中第 1 行元依次是 第 3 行元的余子式依次为3 1 0 4 则 x 1 5 2 x A 0 B C D 23 3 10 若 则中第一行元的代数余子式的和为 5734 1111 1326 3478 DD A B C D 1 2 3 0 11 若 则中第四行元的余子式的和为 2235 0010 1111 0403 DD A B C D 1 2 3 0 12 等于下列选项中哪个值时 齐次线性方程组有非零解 k 0 0 0 321 321 321 xxkx xkxx kxxx A B C D 1 2 3 0 二二 填填空空题题 1 阶排列的逆序数是 n2 12 13 2 24 nn 2 在六阶行列式中项所带的符号是 261365415432 aaaaaa 3 四阶行列式中包含且带正号的项是 4322a a 4 若一个阶行列式中至少有个元素等于 则这个行列式的值等于n1 2 nn0 5 行列式 0100 1110 1010 0111 6 行列式 000 1000 0200 0010 n n 7 行列式 00 0 1 1 221 1 1 111 n n nn a aa aaa 8 如果 则 M aaa aaa aaa D 333231 232221 131211 32323331 22222321 12121311 1 33 33 3 3 aaaa aaaa aaaa D 9 已知某 5 阶行列式的值为 5 将其第一行与第 5 行交换并转置 再用 2 乘所 有元素 则所得的新行列式的值为 10 行列式 1111 1111 1111 1111 x x x x 11 阶行列式 n 111 111 111 12 已知三阶行列式中第二列元素依次为 1 2 3 其对应的余子式依次为 3 2 1 则该行列式的值为 13 设行列式 为 D 中第四行元的代数余子 5678 1234 8765 4321 D j A4 4 3 2 1 j 式 则 44434241 234AAAA 14 已知 D 中第四列元的代数余子式的和为 dbca ccab babc acba D 15 设行列式 为的代数余子式 则6 2211 7651 4433 4321 D j A4 4 3 2 1 4 ja j 4241 AA 4443 AA 16 已知行列式 D 中第一行元的代数余子式的和为 n n D 001 0301 0021 12531 17 齐次线性方程组仅有零解的充要条件是 0 02 02 321 21 321 xxx kxx xxkx 18 若齐次线性方程组有非零解 则 023 052 02 321 32 321 kxxx xx xxx k 三三 计计算算题题 1 2 cbadbadcadcb dcba dcba dcba 3333 2222 yxyx xyxy yxyx 3 解方程 4 0 011 011 101 110 x x x x 1 1 1 1 1 1321 321 221 221 221 n n n n aaaa xaaa axaa aaxa aaax 5 n a a a a 111 111 111 111 2 1 0 njaj 1 0 1 6 bn b b 1 111 1211 1113 1111 7 8 n abbb aabb aaab 321 2221 1111 1111 xaaa axaa aaxa aaax n n n 321 21 21 21 9 10 2 21 2 2 212 121 2 1 1 1 1 nnn n n xxxxx xxxxx xxxxx 21000 12000 00210 00121 00012 11 a aa aa aa aa D 11000 1100 0110 0011 0001 四四 证证明明题题 1 设 证明 1 abcd0 1 11 1 11 1 11 1 11 2 2 2 2 2 2 2 2 d d d d c c c c b b b b a a a a 2 333 222 111 2 33333 22222 11111 1 cba cba cba x cbxaxba cbxaxba cbxaxba 3 1111 4444 2222 dcbacdbdbcadacab dcba dcba dcba 4 nji ij n i i n n nn n n nn n n aaa aaa aaa aaa aaa 11 21 22 2 2 1 22 2 2 1 21 111 5 设两两不等 证明的充要条件是 cba 0 111 333 cba cba0 cba 参考答案参考答案 一 单项选择题一 单项选择题 A D A C C D A B C D B B 二 填空题二 填空题 1 2 3 4 5 6 7 n 43312214 aaaa00 1 1nn 8 9 10 11 12 1 1 21 2 1 1 nnn nn aaa M3 160 4 x 1 n n 2 13 14 15 16 17 18 009 12 1 1 1 n k k n3 2 k7 k 三 计算题三 计算题 1 2 cdbdbcadacabdcba 2 33 yx 3 4 1 0 2 x 1 1 n k k ax 5 6 1 1 1 1 00 n k k n k k a a 2 1 2 bnbb 7 8 n k kk n ab 1 1 n k k n k k axax 11 9 10 n k k x 1 11 n 11 1 1 42 aaa 四四 证明题证明题 略略 第二章第二章 矩阵矩阵 一一 单单项项选选择择题题 1 A B 为 n 阶方阵 则下列各式中成立的是 a b c d 2 2 AA 22 BABABA ABAABA 2 TTT BAAB 2 设方阵 A B C 满足 AB AC 当 A 满足 时 B C a AB BA b c 方程组 AX 0 有非零解 d B C 可逆 0 A 3 若为 n 阶方阵 为非零常数 则 Ak kA a b c d AkAkAk n Ak n 4 设为 n 阶方阵 且 则 A0 A a 中两行 列 对应元素成比例 b 中任意一行为其它行的线性组合AA c 中至少有一行元素全为零 d 中必有一行为其它行的线性组合 AA 5 设 为 n 阶可逆矩阵 下面各式恒正确的是 AB a b 111 BABABAAB T c d BABA T 11 111 BABA 6 设为 n 阶方阵 为的伴随矩阵 则 A AA a a b c d 1 AAAA 1 n AA 1 n AA 7 设为 3 阶方阵 行列式 为的伴随矩阵 则行列式A1 A AA 1 2 2 AA a b c d 8 27 27 8 8 27 27 8 8 设 为 n 阶方矩阵 则下列各式成立的是 AB 22 BA a b c d BA BA BA 22 BA 9 设 均为 n 阶方矩阵 则必有 AB a b c d BABA BAAB BAAB 22 BA 10 设为阶可逆矩阵 则下面各式恒正确的是 An a b T AA22 11 2 2 AA c d 111 TTT AA TTTT AA 11 11 如果 则 333231 232221 331332123111 333231 232221 131211 333 aaa aaa aaaaaa aaa aaa aaa A A a b c d 103 010 001 100 010 301 101 010 300 130 010 001 12 已知 则 113 022 131 A a b AAT 1 AA c d 113 202 311 010 100 001 A 113 202 311 010 100 001 A 13 设为同阶方阵 为单位矩阵 若 则 ICBA IIABC a b c d IACB ICAB ICBA IBAC 14 设为阶方阵 且 则 An0 A a 经列初等变换可变为单位阵AI b 由 可得BAAX BX c 当经有限次初等变换变为时 有 IA BIBA 1 d 以上 a b c 都不对 15 设为阶矩阵 秩 则 Anm nmrA a 中 阶子式不全为零 b 中阶数小于 的子式全为零ArAr c 经行初等变换可化为 d 为满秩矩阵 A 00 0 r I A 16 设为矩阵 为阶可逆矩阵 则 Anm CnACB a 秩 秩 b 秩 秩 ABAB c 秩 秩 d 秩 与秩 的关系依而定 ABABC 17 为 n 阶非零矩阵 且 则秩 和秩 AB0 ABAB a 有一个等于零 b 都为 n c 都小于 n d 一个小于 n 一个等于 n 18 n 阶方阵可逆的充分必要条件是 A a b 的列秩为 nnrAr A c 的每一个行向量都是非零向量 d 伴随矩阵存在 A 19 n 阶矩阵可逆的充要条件是 A a 的每个行向量都是非零向量A b 中任意两个行向量都不成比例A c 的行向量中有一个向量可由其它向量线性表示A d 对任何 n 维非零向量 均有 X0 AX 二二 填填空空题题 1 设为 n 阶方阵 为 n 阶单位阵 且 则行列式 AIIA 2 A 2 行列式 0 0 0 cb ca ba 3 设 2 则行列式的值为 100 020 101 A 9 3 21 IAIA 4 设 且已知 则行列式 2 1 2 3 2 3 2 1 AIA 6 11 A 5 设为 5 阶方阵 是其伴随矩阵 且 则 A A3 A A 6 设 4 阶方阵的秩为 2 则其伴随矩阵的秩为 A A 7 非零矩阵的秩为 nnnn n n bababa bababa bababa 21 22212 12111 8 设为 100 阶矩阵 且对任何 100 维非零列向量 均有 则的秩AX0 AXA 为 9 若为 15 阶矩阵 则的第 4 行第 8 列的元素是 ij aA AAT 10 若方阵 与相似 则 11 AI4 A K K K K K K 3 11 1 2 2 1 lim 12 n n 4 1 00 1 3 1 0 21 2 1 lim 三三 计计算算题题 1 解下列矩阵方程 X 为未知矩阵 1 2 22322 11032 12102 X 01013 20 10021 11 00110 X 3 其中 1 T T X IB CBI 310 404 422 B 101 212 121 C 4 其中 2 AXAXI 101 020 101 A 5 其中 2AXAX 423 110 123 A 2 设为阶对称阵 且 求 An 2 0A A 3 已知 求 110 021 101 A 21 2 4 AIAI 4 设 求 1 12 01 A 2 34 23 A 3 00 00 A 4 12 01 A 12 34 AA AA 5 设 求一秩为 2 的方阵 使 112 224 336 A B0AB 6 设 求非奇异矩阵 使 211011 101 121 110110 AB C T AC BC 7 求非奇异矩阵 使为对角阵 P 1 P AP 1 2 21 12 A 112 131 201 A 8 已知三阶方阵的三个特征根为 1 1 2 其相应的特征向量依次为A 求矩阵 0 0 1 1 1 0 2 1 1 TTT A 9 设 求 532 644 445 A 100 A 四四 证证明明题题 1 设 均为阶非奇异阵 求证可逆 ABnAB 2 设 为整数 求证可逆 0 k A kIA 3 设为实数 且如果 如果方阵满足 12 k a aa 0 k a A 求证是非奇异阵 1 11 0 kk kk Aa AaAa I A 4 设阶方阵与中有一个是非奇异的 求证矩阵相似于 nABABBA 5 证明可逆的