二次根式的乘除法

二次根式的乘除法 二 重点 难点 1 重点 1 掌握二次根式乘 除法法则 并会运用法则进行计算 2 能够利用二次根式乘 除法法则对根式进行化简 3 能够将二次根式化简成 最简二次根式 2 难点 1 理解最简二次根式的概念 2 能够运用积的算术平方根的性质 二次根式的除法法则将二次根式化简成 最简二次根式 三 知识梳理 1 二次根式的乘法 两个二次根式相乘 把被开方数相乘 根指数不变 即 0 0 说明 1 法则中 可以是单项式 也可以是多项式 要注意它们的取值范围 都是非 负数 2 0 0 可以推广为 0 0 0 0 0 0 3 等式 0 0 也可以倒过来使用 即 0 0 也称 积的算术平方根 它与二次根式的乘法结合 可以对一些 二次根式进行化简 2 二次根式的除法 两个二次根式相除 把被开方数相除 根指数不变 即 0 0 说明 说明 1 法则中 可以是单项式 也可以是多项式 要注意它们的取值范围 0 在 分母中 因此 0 2 0 0 可以推广为 0 0 0 3 等式 0 0 也可以倒过来使用 即 0 0 也称 商的算术平方根 它与二根式的除法结合 可以对一些二次根式进行化简 3 最简二次根式 一个二次根式如果满足下列两个条件 1 被开方数中不含能开方开得尽的因数或因式 2 被开方数中不含分母 这样的二次根式叫做最简二次根式 说明 说明 1 这两个条件必须同时满足 才是最简二次根式 2 被开方数若是多项式 需利用因式分解法把它们化成乘积式 再进行化简 3 二次根式化简到最后 二次根式不能出现在分母中 即分母中要不含二次根式 典型例题典型例题 例 1 求下列式子中有意义的 x 的取值范围 1 2 分析 分析 此题涉及二次根式的乘法 除法公式的正确应用 特别注意公式应用的范围 a 0 b 0 a 0 b 0 解 解 1 1 0 2 0 解得 1 2 即 1 2 2 0 3 0 解得 0 3 即 0 3 例 2 计算 1 2 3 4 分析 分析 直接运用二次根式的乘法进行计算 把它们的被开方数相乘 根指数不变 如果积能开方一 定要开方 解 解 1 2 6 3 4 例 3 化简 1 2 3 4 分析 分析 直接运用公式 0 0 化简即可 尽可能将被开方数的因式写成平 方的形式 解 解 1 15 2 6 3 20 4 例 4 计算 1 2 3 4 分析 分析 利用 0 0 对二次根式进行乘法计算 要注意当结果仍然是二次 根式时 应尽量化简 4 中的隐含条件是 0 0 解 解 1 2 3 39 4 例 5 化简 1 2 3 4 分析 分析 利用 0 0 可把被开方数比较复杂的二次根式化简 方法是先将 被开方数进行质因数分解 化为积的形式 如果根号内有开得尽方的因式就移到根号外面来 用它的算 术平方根来代替 从而达到化简的目的 解 解 1 2 3 504 4 例 6 化简 1 0 2 0 3 0 4 0 分析 分析 对于被开方数是多项式的二次根式 应把多项式分解因式然后按照被开方数是单项式的方法 进行分解 为使运算简便 应尽量地应用运算律和乘法公式来进行计算 运算得到的结果必须进行化简 解 解 1 2 3 4 例 7 计算 1 2 3 4 分析 分析 直接运用 0 0 进行计算 运算后结果要化简 解 解 1 2 2 3 3 2 4 例 8 化简 1 2 3 4 分析 分析 运用公式 0 0 化简 即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除 以除式的算术平方根 要注意的是 当被开方数是带分数时 要先把它化成假分数 解 解 1 2 3 4 例 9 计算 1 2 3 4 分析 分析 二次根式的除法可以转化为乘法运算 对于多个二次根式相除的情况 应按照题中指定的顺 序进行计算 有括号的先算括号里面的 没有括号的 从左往右依次计算 结果注意化简 数字应放在 字母前面 解 解 1 2 3 4 例 10 把下列根号外的因式移到根号内 1 2 分析 分析 把根号外的因式内移到根号内 是指将根号外的非负因数或非负因式平方后移到根号内 并 与根号内的因数或因式相乘 解 解 1 2 点拨 点拨 因式内移 最容易发生符号错误 因此内移时 一定要认准非负因数或因式 保证内移时 不改变根式的大小 如 1 题中被开放数 根号外面的 x 也是非负的 内移后根号外应没有负 号 2 题因为被开方数 0 所以 0 所以 0 要把负号留在根号外面 例 11 去掉下列各式分母中的根号 分析 分析 1 分母 分子 分母同乘即可去掉分母中的根号 2 分母 分子 分母同乘即可去掉分母中的根号 3 分子 分母同乘即可去掉分母中的根号 4 将分子分解后 直接与分母约分 从而化去分母 解 解 1 2 3 4 点拨 点拨 去掉分母中的根号 通常是分母有理化 分母有理化时 应结合题目的具体特点 选择适当 的方法 当分子或分母可以分解因式 并且分解后的因式能够约分的 最好不要直接分母有理化 待约 分后再相机行事 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 一 填空题 1 等式成立的条件是 2 计算 1 2 3 4 3 化简 1 2 4 计算 1 2 二 选择题 5 把化简的结果应是 A B C D 6 下列计算中 正确的是 A B C D 7 如果 则实数的取值范围是 A B C D 8 下列二次根式中 最简二次根式是 A B C D 三 解答题 9 计算 1 2 3 4 5 6 10 化简 1 2 3 4 11 已知 求的值 试题答