2021版高考数学一轮复习第六章数列第2讲等差数列及其前n项和教案文新人教A版.docx

第2讲等差数列及其前n项和一、知识梳理1等差数列与等差中项(1)定义：文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数；符号语言：an1and(nN*，d为常数)(2)等差中项：若三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a，b的等差中项2等差数列的通项公式与前n项和公式(1)通项公式：ana1(n1)d(2)前n项和公式：Snna1d3等差数列的性质已知数列an是等差数列，Sn是其前n项和(1)通项公式的推广：anam(nm)d(n，mN*)(2)若klmn(k，l，m，nN*)，则akalaman(3)若an的公差为d，则a2n也是等差数列，公差为2d(4)若bn是等差数列，则panqbn也是等差数列(5)数列Sm，S2mSm，S3mS2m，构成等差数列常用结论1等差数列与函数的关系(1)通项公式：当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d0，则为递增数列，若公差d0，则为递减数列(2)前n项和：当公差d0时，Snna1dn2n是关于n的二次函数且常数项为0.2两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质若项数为2n，则S偶S奇nd，；若项数为2n1，则S偶(n1)an，S奇nan，S奇S偶an，.(2)两个等差数列an，bn的前n项和Sn，Tn之间的关系为.二、习题改编1(必修5P38例1(1)改编)已知等差数列8，3，2，7，则该数列的第10项为 答案：372(必修5P46A组T2改编)已知等差数列an的前n项和为Sn，若a112，S590，则等差数列an的公差d 答案：33(必修5P39练习T2改编)某剧场有20排座位，后一排比前一排多2个座位，最后一排有60个座位，则剧场总共的座位数为 解析：设第n排的座位数为an(nN*)，数列an为等差数列，其公差d2，则ana1(n1)da12(n1)由已知a2060，得60a12(201)，解得a122，则剧场总共的座位数为820.答案：820一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列()(2)已知数列an的通项公式是anpnq(其中p，q为常数)，则数列an一定是等差数列()(3)数列an为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数()(4)数列an为等差数列的充要条件是对任意nN*，都有2an1anan2.()(5)等差数列an的单调性是由公差d决定的()(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)二、易错纠偏(1)等差数列概念中的两个易误点，即同一个常数与常数；(2)错用公式致误；(3)错用性质致误1已知数列an中，a11，anan1(n2)，则数列an的前9项和等于 解析：由a11，anan1(n2)，可知数列an是首项为1，公差为的等差数列，故S99a191827.答案：272记Sn为等差数列an的前n项和若a4a524，S648，则an的公差为 解析：由已知得解得所以数列an的公差为4.答案：43在等差数列an中，若a3a4a5a6a7450，则a2a8 解析：由等差数列的性质，得a3a4a5a6a75a5450，所以a590，所以a2a82a5180.答案：180等差数列的基本运算(师生共研) (1)(2020福州市质量检测)已知数列an中，a32，a71.若数列为等差数列，则a9()A.B.C. D(2)(2019高考全国卷)记Sn为等差数列an的前n项和，已知S40，a55，则()Aan2n5 Ban3n10CSn2n28n DSnn22n【解析】(1)因为数列为等差数列，a32，a71，所以数列的公差d，所以(97)，所以a9，故选C.(2)法一：设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为所以解得所以ana1(n1)d32(n1)2n5，Snna1dn24n.故选A.法二：设等差数列an的公差为d，因为所以解得选项A，a12153；选项B，a131107，排除B；选项C，S1286，排除C；选项D，S12，排除D.故选A.【答案】(1)C(2)A等差数列的基本运算的解题策略(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知量和未知量是常用方法1(一题多解)(2020惠州市第二次调研)已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2a3a415，a713，则S5()A28 B25C20 D18解析：选B.法一：设等差数列an的公差为d，由已知得解得所以S55a1d51225，故选B.法二：由an是等差数列，可得a2a42a3，所以a35，所以S525，故选B.2已知等差数列an的前n项和为Sn，若a24，S422，an28，则n()A3 B7C9 D10解析：选D.因为S4a1a2a3a44a22d22，d3，a1a2d431，ana1(n1)d13(n1)3n2，由3n228，得n10.等差数列的判定与证明(典例迁移) 已知数列an中，a1，其前n项和为Sn，且满足an(n2)(1)求证：数列是等差数列；(2)求数列an的通项公式【解】(1)证明：当n2时，SnSn1.整理，得Sn1Sn2SnSn1.两边同时除以SnSn1，得2.又4，所以是以4为首项，以2为公差的等差数列(2)由(1)可得数列的通项公式为4(n1)22n2，所以Sn.当n2时，anSnSn1.当n1时，a1，不适合上式所以an【迁移探究】(变条件)本例的条件变为：a1，Sn(n2)，证明是等差数列证明：因为Sn，所以2Sn1SnSnSn1，即Sn1Sn2SnSn1，故2(n2)，又4，因此数列是首项为4，公差为2的等差数列等差数列的判定与证明的常用方法(1)定义法：an1and(d是常数，nN*)或anan1d(d是常数，nN*，n2)an为等差数列(2)等差中项法：2an1anan2(nN*)an为等差数列(3)通项公式法：ananb(a，b是常数，nN*)an为等差数列(4)前n项和公式法：Snan2bn(a，b为常数)an为等差数列提示若要判定一个数列不是等差数列，则只需找出三项an，an1，an2，使得这三项不满足2an1anan2即可；但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法1已知数列an满足a11，an1，且bn，nN*.求证：数列bn为等差数列证明：因为bn，且an1，所以bn111bn，故bn1bn1.又b11，所以数列bn是以1为首项，1为公差的等差数列2(2020贵州省适应性考试)已知数列an满足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3的值；(2)证明数列是等差数列，并求an的通项公式解：(1)由已知，得a22a14，则a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212，得2a3123a2，所以a315.(2)由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以数列是首项1，公差d2的等差数列则12(n1)2n1，所以an2n2n.等差数列的性质及应用(多维探究)角度一等差数列项性质的应用 (1)(一题多解)在公差不为0的等差数列an中，4a3a113a510，则a4()A1 B0C1 D2(2)一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为3227，则该数列的公差d 【解析】(1)通解：设数列an的公差为d(d0)，由4a3a113a510，得4(a12d)(a110d)3(a14d)10，即2a16d10，即a13d5，故a45，所以a41，故选C.优解一：设数列an的公差为d(d0)，因为anam(nm)d，所以由4a3a113a510，得4(a4d)(a47d)3(a4d)10，整理得a45，所以a41，故选C.优解二：由等差数列的性质，得2a73a33a510，得4a5a33a510，即a5a310，则2a410，即a45，所以a41，故选C.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，公差为d.由已知条件，得解得又S偶S奇6d，所以d5.【答案】(1)C(2)5角度二等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列an的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为()A100 B120C390 D540(2)在等差数列an中，a12 018，其前n项和为Sn，若2，则S2 018的值等于()A2 018 B2 016C2 019 D2 017【解析】(1)设Sn为等差数列an的前n项和，则S10，S20S10，S30S20成等差数列，所以2(S20S10)S10(S30S20)，又等差数列an的前10项和为30，前30项和为210，所以2(S2030)30(210S20)，解得S20100.(2)由题意知，数列为等差数列，其公差为1，所以(2 0181)12 0182 0171.所以S2 0182 018.【答案】(1)A(2)A角度三等差数列的前n项和的最值 (一题多解)(2020广东省七校联考)已知等差数列an的前n项和为Sn，a6a86，S9S63，则Sn取得最大值时n的值为()A5 B6C7 D8【解析】法一：设数列an的公差为d，则由题意得，解得所以an2n17，由于a80，a90，所以Sn取得最大值时n的值是8，故选D.法二：设数列an的公差为d，则由题意得，解得则Sn15n(2)(n8)264，所以当n8时，Sn取得最大值，故选D.(1)等差数列前n项和的性质在等差数列an中，Sn为其前n项和，则S2nn(a1a2n)n(anan1)；S2n1(2n1)an；当项数为偶数2n时，S偶S奇nd；项数为奇数2n1时，S奇S偶a中，S奇S偶n(n1)(2)求数列前n项和的最值的方法通项法：1若a10，d0，则Sn必有最大值，其n可用不等式组来确定；2若a10，d0，则Sn必有最小值，其n可用不等式组来确定二次函数法：等差数列an中，由于Snna1dn2n，故可用二次函数求最值的方法来求前n项和的最值，这里应由nN*及二次函数图象的对称性来确定n的值不等式组法：借助Sn最大时，有(n2，nN*)，解此不等式组确定n的范围，进而确定n的值和对应Sn的值(即Sn的最值)1(一题多解)(2020福建省质量检查)等差数列an的前n项和为Sn，且a8a59，S8S566，则a33()A82 B97C100 D115解析：通解：设等差数列an的公差为d，则由得解得所以a33a132d4323100，故选C.优解：设等差数列an的公差为d，由a8a59，得3d9，即d3.由S8S566，得a6a7a866，结合等差数列的性质知3a766，即a722，所以a33a7(337)d22263100，故选C.2已知无穷等差数列an的前n项和为Sn，S6S7，且S7S8，则()A在数列an中，a1最大B在数列an中，a3或a4最大CS3S10D当n8时，an0解析：选A.由于S6S7，S7S8，所以S7S6a70，S8S7a80，所以数列an是递减的等差数列，最大项为a1，所以A正确，B错，D错；S10S3a4a5a107a70，故C错误3两等差数列an和bn的前n项和分别为Sn，Tn，且，则 解析：因为数列an和bn均为等差数列，所以.答案：思想方法系列10整体思想在等差数列中的应用 在等差数列an中，其前n项和为Sn.已知Snm，Smn(mn)，则Smn 【解析】设数列an的公差为d，则由Snm，Smn，得得(mn)a1dnm.因为mn，所以a1d1.所以Smn(mn)a1d(mn)(mn)【答案】(mn)从整体上认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等在等差数列中，当要求的Sn所需要的条件未知或不易求出时，可以考虑整体代入(2020石家庄市第一次模拟)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，且f(x)在(1，)上单调，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则数列an的前100项的和为()A200B100C50 D0解析：选B.因为函数f(x)的图象关于直线x1对称，又函数f(x)在(1，)上单调，数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，所以a50a512，所以S10050(a50a51)100，故选B.基础题组练1(2020长春市质量监测(二)等差数列an中，Sn是它的前n项和，a2a310，S654，则该数列的公差d为()A2B3C4 D6解析：选C.由题意，知解得故选C.2(2020重庆市七校联合考试)在等差数列an中，若a3a5a7a9a1155，S33，则a5等于()A5 B6C7 D9解析：选C.设数列an的公差为d，因为数列an是等差数列，所以a3a5a7a9a115a755，所以a711，又S33，所以解得所以a57.故选C.3已知数列an满足a115，且3an13an2，若akak10，则正整数k()A21 B22C23 D24解析：选C.3an13an2an1anan是等差数列，则ann.因为akak10，所以0，所以k0知d0，故Snan等价于n211n100，解得1n10.所以n的取值范围是n|1n10，nN10已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk110.(1)求a及k的值；(2)已知数列bn满足bn，证明数列bn是等差数列，并求其前n项和Tn.解：(1)设该等差数列为an，则a1a，a24，a33a，由已知有a3a8，得a1a2，公差d422，所以Skka1d2k2k2k.由Sk110，得k2k1100，解得k10或k11(舍去)，故a2，k10.(2)由(1)得Snn(n1)，则bnn1，故bn1bn(n2)(n1)1，即数列bn是首项为2，公差为1的等差数列，所以Tn.综合题组练1(2020广东揭阳期末改编)已知数列an满足a1，an1(nN*)，则an ，数列an中最大项的值为 解析：由题意知an0，由an1得8，整理得8，即数列是公差为8的等差数列，故(n1)88n17，所以an.当n1，2时，an0；当n3时，an0，则数列an在n3时是递减数列，故an中最大项的值为a3.答案：2(创新型)(2020安徽省淮南模拟)设数列an的前n项和为Sn，若为常数，则称数列an为“精致数列”已知等差数列bn的首项为1，公差不为0，若数列bn为“精致数列”，则数列bn的通项公式为 解析：设等差数列