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题型一求数值型矩阵的逆矩阵 基本方法有 1 定义法 设A的逆矩阵为X 由AX E 或XA E 求出X即可 2 公式法 3 初等变换法 4 分块求逆法 若A能分成以下类型之一时 当A11 A22可逆时 可用分块求逆公式进行计算 例1 设A1 A2分别为m n阶矩阵 试求的逆矩阵 解 得 则 即 例2 设A B A B都是可逆矩阵 试求 A 1 B 1 1 解 1 A 1 B 1 B 1 BA 1 E B 1 BA 1 AA 1 B 1 A B A 1 2 A 1 B 1 1 B A B 1A 题型二A为抽象矩阵 讨论A的可逆性 1 证明A可逆的方法 1 把已知矩阵等式写为AB C的形式 AB A B C 0知 A 0 从而可逆 2 证明AX 0只有零解 则 A 0 从而可逆 3 证明的特征值全不为零即可 2 证明A不可逆的方法 1 反证法 假设A可逆 再在等式两边乘以A 1 导出矛盾 2 直接计算 A 0 3 证明A有零的特征值 4 证明AX 0只有非零解 则A不可逆 例1 设n阶矩阵A满足关系式A3 A2 A E 0 证明A可逆 并求A 1 解 由A3 A2 A E 0可得A A2 A E E从而 A A2 A E A2 A E A 1于是 A 0 故A可逆 且A 1 A2 A E 例2 设A B为n阶矩阵 且E AB可逆 证明E BA可逆 解 用反证法设E AB不可逆 则存在X 0 使 E AB X 0即X BAX于是AX ABAX 令Y AX 则Y 0 否则若Y 0 则有X BAX BY 0 这与X 0矛盾 从而有Y ABY Y 0即 E AB Y 0 Y 0这与E AB可逆矛盾 故E AB不可逆 题型三考查矩阵运算的特殊性 矩阵运算不满足交换律AB BA 涉及到两个矩阵是否可交换 一般联想到逆矩阵的定义 但矩阵运算满足结合律 A BC AB C 巧妙地运用结合律往往可以简化计算 例1 设A B C均为n阶矩阵 E为n阶单位矩阵 若B E AB C A CA 则B C为 解 由B E AB C A CA 知 E A B E C E A A 可见 E A与B互为逆矩阵 于是B E A E 从而有 B C E A E A 而E A可逆 故B C E 例2 解 题型四解矩阵方程 1 含有未知矩阵的等式称为矩阵方程 解矩阵方程的问题 本质上是考查矩阵的运算 特别是乘法和逆运算 因为在解矩阵方程的过程中 应尽量利用矩阵和运算性质先化简 再计算 2 矩阵方程的基本形式有 AX B XA B AXB C 若A为可逆矩阵时 其解分别为X A 1B X BA 1以及X A 1CB 1 这里要求B可逆 3 当A不可逆时 矩阵方程一般应转化为解线性方程组 例1 解 若先计算出方程中的及A 1 然后再解方程求X 则计算过程会十分复杂 为了避免求及A 1 可用公式在等式两边同时左
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