人教A版选修21 2.1.2椭圆的简单几何性质 课件(69张).ppt

椭圆的简单几何性质1 f1 c 0 f2 c 0 f1 0 c f2 0 c 椭圆分母看大小焦点随着大的跑 c a b 椭圆简单的几何性质 范围 a x a b y b椭圆落在x a y b组成的矩形中 如图 1 观察 x y的范围 2 思考 如何用代数方法解释x y的范围 a x a b y b 一 范围 二 椭圆的顶点 令x 0 得y 说明椭圆与y轴的交点 令y 0 得x 说明椭圆与x轴的交点 顶点 椭圆与它的对称轴的四个交点 叫做椭圆的顶点 0 b a 0 长轴 短轴 线段a1a2 b1b2分别叫做椭圆的长轴和短轴 a b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长 焦点总在长轴上 三 椭圆的对称性 把 x 换成 x 方程不变 说明椭圆关于 轴对称 把 y 换成 y 方程不变 说明椭圆关于 轴对称 把 x 换成 x y 换成 y 方程还是不变 说明椭圆关于 对称 y x 原点 所以 坐标轴是椭圆的对称轴 原点是椭圆的对称中心 练习 根据前面所学有关知识画出下列图形 1 2 a1 b1 a2 b2 b2 a2 b1 a1 四 椭圆的离心率 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 叫做椭圆的离心率 1 离心率的取值范围 1 e越接近1 c就越接近a 从而b就越小 椭圆就越扁 因为a c 0 所以0 e 1 2 离心率对椭圆形状的影响 2 e越接近0 c就越接近0 从而b就越大 椭圆就越圆 3 特例 e 0 则a b 则c 0 两个焦点重合 椭圆方程变为 a x a b y b 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b 知识归纳 a2 b2 c2 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 长半轴长为a 短半轴长为b a b a x a b y b a y a b x b a2 b2 c2 a2 b2 c2 例题1 求椭圆9x2 4y2 36的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 椭圆的长轴长是 离心率 焦点坐标是 四个顶点坐标是 椭圆的短轴长是 2a 6 2b 4 解 把已知方程化成标准方程 四 例题讲解 练习 求椭圆16x2 25y2 400的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点坐标 解 把已知方程化成标准方程 椭圆的长轴长是 离心率 焦点坐标是 四个顶点坐标是 椭圆的短轴长是 2a 10 2b 8 例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程 1 经过点 3 0 0 2 解 方法一 设椭圆方程为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 将点的坐标代入方程 求出m 1 9 n 1 4 所以椭圆的标准方程为 方法二 利用椭圆的几何性质 以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点 于是焦点在x轴上 且点p q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点 故a 3 b 2 所以椭圆的标准方程为 2 离心率为 经过点 2 0 练习 椭圆的一个顶点为 其长轴长是短轴长的2倍 求椭圆的标准方程 分析 题目没有指出焦点的位置 要考虑两种位置 椭圆的标准方程为 椭圆的标准方程为 解 1 当为长轴端点时 2 当为短轴端点时 综上所述 椭圆的标准方程是或 椭圆的简单几何性质2 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 a 0 a 0 0 b 0 b c 0 c 0 长半轴长为a 短半轴长为b a b b 0 b 0 0 a 0 a 0 c 0 c 关于x轴 y轴成轴对称 关于原点成中心对称 长半轴长为a 短半轴长为b a b a x a b y b a y a b x b a2 b2 c2 a2 b2 c2 二 离心率的常见题型及解法 题型一 定义法例1 已知椭圆方程为 1 求椭圆的离心率 1 直接算出a c带公式求e f2 c 0 x o y f1 c 0 p c a 2 几何意义 e为 opf2的正弦值 3 已知a2 c2直接求e2 变式训练1 若椭圆 1的离心率为1 2 求m的值 4 已知a2 b2不算c直接求e 题型二 方程法例2 依据a b c e的关系 构造关于a c 的齐次式 解出e即可 但要注意椭圆离心率范围是0 e 1 f2 c 0 x o y f1 c 0 a 60 已知椭圆的两个焦点为f1和f2 a为椭圆上一点 且af1 af2 af2f1 60 求该椭圆的离心率 高考链接 x 60 p 三 向量法之垂直问题 变式训练 椭圆 1 a b 0 的三个顶点为b1 0 b b2 0 b a a 0 焦点f c 0 且b1f ab2 求该椭圆的离心率 b2 0 b b1 0 b a a 0 f c 0 x o y 练习2 已知一椭圆的短轴长与焦距长相等 求椭圆的离心率 五 小结 1 知识点 求离心率的两种常规方法 1 定义法 求a c或a c的关系 2 方程法 根据题上的相等关系 构造关于a c的齐次式 解出e 2 思想方法 方程的思想 转化的思想 高考链接 2012新课标全国卷 设f1和f2是椭圆 1 a b 0 的左 右焦点 p为直线x 上一点 f2pf1是底角为30 的等腰三角形 求该椭圆的离心率 f2 c 0 x o y f1 c 0 x 3a 2 p 30 2c 2c c 2c 3a 2 六 课后练习 2 设椭圆的两个焦点分别为f1和f2 过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p 若为 f2pf1等腰直角三角形 求椭圆的离心率 1 若一个椭圆长轴的长度 短轴的长度和焦距长成等差数列 求该椭圆的离心率 3 已知椭圆的两个焦点为f1和f2 a为椭圆上一点 且af1 af2 af1f2 60 求该椭圆的离心率 1 椭圆以坐标轴为对称轴 离心率 长轴长为6 则椭圆的方程为 c 2 若某个椭圆的长轴 短轴 焦距依次成等差数列 则其离心率e 已知椭圆的离心率 求的值 由 得 解 当椭圆的焦点在轴上时 得 当椭圆的焦点在轴上时 得 由 得 即 满足条件的或 练习2 已知椭圆的离心率 求的值 练习3 例4 点m x y 与定点f 4 0 的距离和它到定直线l x 的距离的比是常数 求点m的轨迹 x y o f m l 椭圆的第二定义 准线方程 解 如图 设d是点m到直线l的距离 根据题意 所求轨迹的集合是 由此得 这是一个椭圆的标准方程 所以点m的轨迹是长轴 短轴分别是2a 2b的椭圆 平方 化简得 若点f是定直线l外一定点 动点m到点f的距离与它到直线l的距离之比等于常数e 0 e 1 则点m的轨迹是椭圆 新知探究 动画 第二定义 直线叫做椭圆相应于焦点f2 c 0 的准线 相应于焦点f1 c 0 的准线方程是 新知探究 椭圆的准线与离心率 离心率 椭圆的准线 离心率的范围 相对应焦点f c 0 准线是 相对应焦点f c 0 准线是 1 基本量 a b c e 几何意义 a 长半轴 b 短半轴 c 半焦距 e 离心率 相互关系 椭圆中的基本元素 2 基本点 顶点 焦点 中心 3 基本线 对称轴 共两条线 准线 焦点总在长轴上 课堂小结 准线 椭圆 1上一点p到右准线的距离为10 则 点p到左焦点的距离为 a 14b 12c 10d 8 答案 6 例3 变式 1 若椭圆的两个焦点把两准线间的距离三等分 则 离心率e 2离心率e 且两准线间的距离为4的椭圆的标准方程为 求标准方程 椭圆的简单几何性质3 直线与椭圆的位置关系 种类 相离 没有交点 相切 一个交点 相交 二个交点 直线与椭圆的位置关系的判定 代数方法 1 位置关系 相交 相切 相离2 判别方法 代数法 联立直线与椭圆的方程消元得到二元一次方程组 1 0 直线与椭圆相交 有两个公共点 2 0 直线与椭圆相切 有且只有一个公共点 3 0 直线与椭圆相离 无公共点 通法 知识点1 直线与椭圆的位置关系 例1 直线y x 1与椭圆恒有公共点 求m的取值范围 题型一 直线与椭圆的位置关系 变式练习 y kx 1与椭圆恰有公共点 则m的范围 a 0 1 b 0 5 c 1 5 5 d 1 练习1 k为何值时 直线y kx 2和曲线2x2 3y2 6有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 练习2 无论k为何值 直线y kx 2和曲线交点情况满足 a 没有公共点b 一个公共点c 两个公共点d 有公共点 d 思考 最大的距离是多少 设直线与椭圆交于p1 x1 y1 p2 x2 y2 两点 直线p1p2的斜率为k 弦长公式 知识点2 弦长公式 可推广到任意二次曲线 例3 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点 交椭圆于a b两点 求弦ab之长 例5 已知椭圆过点p 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 解 韦达定理 斜率 韦达定理法 利用韦达定理及中点坐标公式来构造 知识点3 中点弦问题 例5已知椭圆过点p 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率 点 作差 知识点3 中点弦问题 点差法 利用端点在曲线上 坐标满足方程 作差构造出中点坐标和斜率 直线和椭圆相交有关弦的中点问题 常用设而不求的思想方法 例5已知椭圆过点p 2 1 引一弦 使弦在这点被平分 求此弦所在直线的方程 所以x2 4y2 4 x 2 4 2 y 2 整理得x 2y 4 0从而a b在直线x 2y 4 0上而过a b两点的直线有且只有一条 解后反思 中点弦问题求解关键在于充分利用 中点 这一条件 灵活运用中点坐标公式及韦达定理 练习 p49 a8 例6 如图 已知椭圆与直线x y 1 0交于a b两点 ab的中点m与椭圆中心连线的斜率是 试求a b的值 练习 已知椭圆5x2 9y2 45 椭圆的右焦点为f 1 求过点f且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长 2 判断点a 1 1 与椭圆的位置关系 并求以a为中点椭圆的弦所在的直线方程 练习 已知椭圆5x2 9