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第二章 点 直线 平面之间的位置关系 章末整合提升 专题突破 1 证明共面问题证明共面问题 一般有两种证法 一是由某些元素确定一个平面 再证明其余元素在这个平面内 二是分别由不同元素确定若干个平面 再证明这些平面重合 2 证明三点共线问题证明空间三点共线问题 通常证明这些点都在两个面的交线上 即先确定出某两点在某两个平面的交线上 再证明第三个点是两个平面的公共点 当然必在两个平面的交线上 专题一 几何中共点 共线 共面问题 3 证明三线共点问题证明空间三线共点问题 先证两条直线交于一点 再证明第三条直线经过这点 把问题转化为证明点在直线上的问题 解析 如图 连接sp sq 并分别延长交ad bc于点m n 连接mn 因为p q分别为 sad sbc的重心 所以m n分别为ad bc的中点 所以o mn 由棱锥的性质 知点s m n不共线 所以确定一个平面smn所以mn 平面smn 所以o 平面smn 又p sm q sn sm 平面smn sn 平面smn所以p 平面smn q 平面smn所以s p o q四点共面 典例1 在这一章中 我们重点学习了立体几何中的平行与垂直关系的判定定理与性质定理 这些定理之间并不是彼此孤立的 线线 线面 面面之间的平行与垂直关系可相互转化 做题时要充分运用它们之间的联系 挖掘题目提供的有效信息 综合运用所学知识解决此类问题 专题二 线线 线面 面面的平行与垂直关系的证明 典例2 空间中的角包括异面直线所成的角 直线和平面所成的角和二面角 如何准确找出或作出空间角的平面角 是解答有关空间角问题的关键 空间角的题目一般都是多种知识的交汇点 因此它也是高考常考查的内容之一 专题三 空间角的计算 典例3 解析 1 由题意 co ao bo ao boc是二面角b ao c的平面角又 二面角b ao c是直二面角 co bo 又 ao bo o co 平面aob 又co 平面cod 平面cod 平面aob 1 转化思想转化与化归思想的主要目的是将未知问题转化为已知问题 复杂问题转化为简单问题 空间几何问题转化为平面几何问题 本章中涉及到转化与化归思想的知识有 1 位置关系的转化 即平行与平行的转化 垂直与垂直的转化 平行与垂直的转化 2 量的转化 如点到面距离的转化 3 几何体的转化 即几何体补形与分割 专题四 数学思想 典例4 解析 1 因为pc 平面abcd 所以pc dc 又因为dc ac 所以dc 平面pac 2 因为ab dc dc ac 所以ab ac 因为pc 平面abcd 所以pc ab 所以ab 平面pac 所以平面pab 平面pac 3 棱pb上存在点f 使得pa 平面cef 证明如下 如图 取pb中点f 连接ef ce cf 又因为e为ab的中点 所以ef pa 又因为pa 平面cef 所以pa 平面cef 2 函数与方程思想几何体中的线面位置关系以及几何体的体积和截面积的计算 可以转化为函数或方程
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