1.1.3四种命题间的相互关系

1 1 3四种命题间的相互关系 复习四种命题形式 原命题 逆命题 否命题 逆否命题 若p 则q若q 则p若 p 则 q若 q 则 p 思考 逆命题和否命题 逆命题和逆否命题 否命题和逆否命题之间有什么关系 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若 p则 q 逆否命题若 q则 p 互为逆否 互为逆否 四种命题之间的关系 1 原命题 若a 0 则ab 0 逆命题 若ab 0 则a 0 否命题 若a 0 则ab 0 逆否命题 若ab 0 则a 0 真 假 假 真 例1写出下列命题的逆命题 否命题和逆否命题 并判断它们的真假 2 原命题 若x2 3x 2 0 则x 2 逆命题 若x 2 则x2 3x 2 0 否命题 若x2 3x 2 0 则x 2 逆否命题 若x 2 则x2 3x 2 0 假 真 真 假 真 3 原命题 同位角相等 两直线平行 逆命题 两直线平行 同位角相等 否命题 同位角不相等 两直线不平行 逆否命题 两直线不平行 同位角不相等 真 真 真 4 变式 同位角不相等 两直线平行 一般地 四种命题的真假性 有而且仅有下面四种情况 四种命题的真假性关系如下 1 两个命题互为逆否命题 它们有相同的真假性 2 两个命题为互逆命题或互否命题 它们的真假性没有关系 四种命题之间的关系 原命题若p则q 逆命题若q则p 否命题若 p则 q 逆否命题若 q则 p 互为逆否同真同假 互为逆否同真同假 1 判断下列说法是否正确 1 一个命题的逆命题为真 它的逆否命题不一定为真 对 2 一个命题的否命题为真 它的逆命题一定为真 对 2 四种命题真假的个数可能为 个 答 0个 2个 4个 3 一个命题的原命题为假 它的逆命题一定为假 错 4 一个命题的逆否命题为假 它的否命题为假 错 练一练 3 写出下列命题的逆命题 否命题 逆否命题 1 原命题 若则答 逆命题 若则否命题 若则逆否命题 若则 2 原命题 若一个数是负数 则它的平方是0 逆命题 若一个数的平方是0 则它是负数 否命题 若一个数不是负数 则它的平方不是0 逆否命题 若一个数的平方不是0 则它不是负数 试判断上面命题的真假 真命题 假命题 假命题 真命题 假 假 假 假 证明命题的方法 方法一 直接法 从命题的条件p出发 经推理直接得出结论p 证明其为真命题 方法二 等价法 证明命题 若p 则q 的等价命题 逆否命题 若 q 则 q 为真 则原命题也为真 方法三 反证法 证明命题的否定 若p 则 q 为假命题 从而间接地证明了命题 若p 则q 为真命题 例2 证明 若p q 2 则p2 q2 2 证明一 要证 若p q 2 则p2 q2 2 只需证它的逆否命题 若p2 q2 2 则p q 2 成立 p2 q2 2 则2 p2 q2 2pq pq 1 p q 2 p2 q2 2pq 2 2pq 4 p q 2 逆否命题为真命题 故原命题也为真命题 证明二 假设p2 q2 2 则2 p2 q2 2pq pq 1 p q 2 p2 q2 2pq 2 2pq 4 p q