【JL099】线性系统状态反馈极点配置算法研究
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jl099
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【JL099】线性系统状态反馈极点配置算法研究,jl099,线性,系统,状态,状况,反馈,极点,配置,算法,研究,钻研
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英 文 翻 译 系 别 自动化 专 业 自动化 班 级 191001 学生姓名 刘小丽 学 号 103582 指导教师 王 敏 1 of in is to of at of of is to a by a to is as a of of by a of of is by as of a of of at to 2004 1. is a in at a to an 2 of of is of in of In on of of et a of by to by an to to of on 002, a of a MD of to to of in by as or to to In of of is to of in of is of an as In of of is 3 of of is in in of w is to of by a is to of is a 2. in (1) in s no is (2) of as (3 )is by in (4) is to of of 3. of of of of is by in s is of at At of ; as of be 1 ,M x C x K x F B w ( In of on 4 is a of of on As a if or of on of in of in is is in be (3a) (3b) In to F q. ( at as 2(c) d). q. (1) be 4 4 ) ,z e r o e r o s M ( ( 4 4 ) ,z e r o e r o s K ( v is no of in of s of be he C is to be to 5 (3a) 3b) of at 4n 1) F be in 2 2 211 ( ) ,22 B A x U B k B (x is , A. q. (q. ( of be 3 2 111 FM x C x K x B A x B B x B w (It is to of in as . By x ()t ( ) （ a be 2 2 11111( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , . . . ,22mm i j i j Ti i i i j j i i j B t B k t B w i mU m m ( m is of D E ( (be in a ( ) ( ) ( ) TI t P t Q t B w （ in I is of m, P Q of m m be 12,2 j i i i （ 2 2 21 ,2 j i i B （ 6 be in as z A z B w （ in 2m 1) z is 1 21 ( ) . ( ) mm （ A, B 122 21000 , , （ 0 I of m m; 4. of by A a q. ( of to be of is z （ If of A is a to is of of of A of of a be in s in s of If of on of s is on of s in If to of s is a is or is a of on of of be by no on of on 7 of is If to or it be to it is of in a a it is be 2s 1 , 1 ,n n n d d 1,i （ is nis s), is of a be in in of 8 使用极点配置技术控制悬索桥颤振失稳 摘要 闭环状态反馈的极点配置技术，可以广泛应用于控制体制控制文学，适用于控制悬索桥颤振失稳。当在桥址的平均 振临界风速时， 通过适当设计一个状态反馈增益矩阵去控制颤振失稳会迫 使 占系统支配地位的主极点实部达到一个理想的负值状态。 控制力，它表示为一个增益矩阵和状态矢量坐标模态的产品，是适用于 一个 桥跨中间的 积极扭矩 的形式。状态变量的价值是通过设计一个完整的订单观察员制度来评估的。 那个提高 悬索桥颤振的 临界风速管制计划的申请文被森托马斯大桥的数值例子给论证了。 控制桥面颤振方法效率是根据设定的一系列参数变化进行研究的。该数值研究结果表明利用极点配置技术控制体制有效地造成桥在几乎零值几秒钟之内风速比颤振临界风速较大时的发散震荡 。 2004年 留所有权利。 1 导言 大跨度悬索桥由于其柔韧性和重量小 非常容易遭受颤振失稳。颤振是当一个关键的风速指数增长时在桥面引起的失稳 。悬索桥颤振条件评价 是这些桥梁的设计过程中最重要的阶段之一。 近年来， 许多研究人员把他们的注意力集中在提高当 使用不同类型的控制装置时索支承桥梁 的颤振临界风速。王尔德等提出了通过添加两个额外的表面产生稳定的力量气动控制被动的颤振，并 通过安置一个额外的钟摆去控制扭动。 其他研究也已开展了以控制使用偏心质量的大跨度桥梁的颤振临界风速。 2002年， 作者提出了一个使用联合纵向和扭转调谐质量阻尼器系统（ 动控制悬索桥颤振风速。提议的调谐质量阻尼器系统（ 两个自由度， 它调整的频率与桥梁的纵向和扭转对称模式接 9 近，颤振期间得到耦合。 即使有这些进步，挑战仍然存在于运用合理的外部设备诸如主动控制力量或被动控制性能来提高颤振临界风速，并试图找到切实可行的方法来控制这些桥梁的颤振条件。特别是，对桥梁振动控制的极点配置技术的应用与最优控制理论相比要少得多。迈罗维奇 和戈什采用模态控制来抑制悬索桥颤振，但他们 在模态空间 主要利用最优控制理论。由于桥梁颤振控制与使系统从一个不稳定到稳定状态的问题有关，极点配置技术 应该找到这个问题的良好应用。 在这个文件中，闭环状态反馈的极点配置技术，已用于其他控制问题，采用控制方法，适用于稳定悬索桥颤振失稳状态。因此，该系统的运动方程，是由桥面使用一致质量矩阵的多模有限元模型（梁单元）得来的。一致质量矩阵和结构刚度矩阵用使用能源的方式进行评估，这充分的考虑了悬索的影响。最后的控制系统的运动方程，由状态空间在广义模态坐标向量获得的。控制力 w 被认为是与状态向量的值成正比的，这是通过设计一个全维观测系统进行估计。控制体制是用于抑制文森托马斯大桥颤振失稳及它中止桥梁的颤振控制的效力是通过数 值研究不同的平均风速调查的。 2. 假设 以下假设作出的分析： （ 1） 桥梁中的所有的应力元素都服从胡克定律，因此材料都被认为是线性特性。 （ 2） 控制力和系统的输出被视为标量数量。 （ 3） 初始的恒载由钢索承载，而不会对悬挂结构造成任何压力。 （ 4） 小叛逃理论应用于取得悬索桥的动力学方程议案。 3. 桥梁的运动方程 该系统的运动方程是 多模态有限元法在时域里利用能源的方法和应用 因此， 整个大桥 被离散成 二维梁单元，在它的每个端部都有两个节点组成，在每个节点 4个自由度，叫做 垂直位移1()q和翘曲位移2()q。如图 1所示， 占支配地位的颤振运动方程可以写为 1 ,M x C x K x F B w （ 辛格等人的桥梁断面模型的实验研究之一表明，横向位移的发生很有可能依赖于升降机，因此，如果以垂直横向或 纵向横向扭振型为主的模式控制颤振临界风速，横 10 向运动可能会严重影响颤振风速。由于对大跨度桥梁颤振的量化计算在修改临界风速对横向运动的影响的文献是不足的，目前的研究考虑的只有垂直扭转颤振条件的控制问题，如果横向移动也包括在颤振问题中，那么极点配置技术就可以很容易扩展为控制此类颤振得条件。 由均衡器获得的力量 (3a)和 (3b) 被认为是沿构件不变。 为了评估气动弹性力向量（ 分布式气动弹性力集中在如图 2(c)和 (d)所示的构件节点处。 方程 1中的质量和刚度矩阵被认为是双层对称桥面 并可以表示为： ( 4 4 ) ,z e r o e r o s M （ ( 4 4 ) ,z e r o e r o s K （ 其中 弯曲振动中分别 是质量和刚度矩阵，并且 M 和 K 都是扭振的。请注意， 在 对双对称桥面的线性分析的纵向和扭转模式之间 没有模态耦合 ，利用桥的总潜力和动能以及应用汉密尔顿原则，结构质量和刚度矩阵对于该系统的纵向和扭转运动是 可以被评价出来的。结构阻尼矩阵被假定为与质量和刚度矩阵成比例的。 使用均衡器 (3a)和 (3b)和把构件节点的气动弹性力结成块 (4n 1) 气弹力向量 F可用以下形式表达： 2 2 211 ( ) ,22 B A x U B k B (其中（ x）是定义均衡器 和矩阵 和 是载列于附录 A，把方程 (入方程 ( 最后的运动方程可以表示为 2 3 2 111 FM x C x K x B A x B B x B w (这是方便的解决颤振控制模态空间问题 由 迈罗维奇 和戈什实行的。通过考虑在模态矩阵 的条件下的位移向量（ x）和广义模态坐标向量 ()t 关系可表示如下 1 ( ) （ 并且使用标准模式的转变，第 2 2 2 11111( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) , 1 , 2 , . . . ,22mm i j i j Ti i i i j j i i j B t B k t B w i mU m m （ 11 而且 阵 D和 E 的元素可以被定义为 ( 方程 (矩阵形式表达如下 1 ( ) ( ) ( ) TI t P t Q t B w （ 这 I是 P和 Q是 m ，这些元素可以被定义为 212,2 j i i i （ 2 2 21 ,2 j i i B （ 最后，选择模态坐标作为状态变量，状态方程可以在标准状态空间里表达形式如下 z A z B w （ 其中 (2m 1)状态向量 z被定义如下 11 21 ( ) . ( ) mm （ 状态矩阵 A与输入矩阵 B依次表示如下 122 21000 , , ( 其中 0和 I是 m 次地，其他矩阵可以在前面被定义。 作为对 方程式（ 代表的系统，该系统的特征 值需要研究。为此，下列公式得到的特征值： z （ 如果所有的矩阵特征值 A有负实数部分，该系统是渐近稳定的。此外，一个让所有特征值有负实数部分的必要和充分条件是他们有决定其特征多项式的主导条件的的正系数。矩阵 A的特征值被称为原系统的极点。一个线性闭环系统的稳定性 可以从复杂的 中 果这些极点取于 么系统是不稳定的。因此， 的闭环极点是不允许在平常的线性 12 控制系统。如果所有的闭环极点都取于 么系统是稳定的。 线性系统是否稳定或不稳定是系统本身的属性并不依赖于系统的输入 ， 因而，绝对稳定性问题是可以通过选择没有封闭的 括木卫一轴。确定无疑地，在木卫一轴的闭环极点将产生振荡，它的振幅既不是衰弱的，也不随着时间的推移不断增加。如果主导复杂共轭闭环极点多集中在木卫一轴，瞬间的频率响应会出现过度振荡，或者也可能会非常缓慢。因此，为了保证快速良好的阻尼的瞬态频率响应特性，把系统的闭环极点置于某个 远离木卫一轴的特定区域是必要的。 对于二阶闭环控制系统，结果表明两极可以写为 22s 1 , 1 ,n n n d d 1,i (其中 是阻尼比，n是非阻尼固有频率，d是阻尼固有频率， 不考虑大部分损失，一个多自由度二阶闭环控制系统也可以就模态阻尼比和固 有频率而言把两极可以写进上面的公式。 线性系统状态反馈极点配置算法研究 姓名： 刘小丽 专业 : 自动化 班级： 191001 指导老师：王 敏 课题背景及意义： 0世纪 50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下。 着科学技术的日新月异和工业生产的高速发展，使得工程界对控制的要求也日益提高，由此极大地推动了现代控制理论的发展和完善。 主要技术指标： 设计系统满足以下要求： 调节时间： 超调量： % 5 % 4计内容 理论基础及数学准备 极点配置算法步骤及仿真结果 全文总结 2016/7/3 状态反馈 对连续时间线性定常受控系统，状态反馈的构成可用如图所示的方框图表示。 其中，状态 被回馈到系统输入端， 考虑到反馈矩阵 确切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。 2016/7/3 极点配置 对于连续系统要达到的控制目的，一个有意义的区域是图中所示的左半开复平面 ; 将闭环极点限定在这个区域内，可保证系统具有最小衰减度，最小阻尼比和最大阻尼自然频率，这将进一步保证系统的最大超调，振荡模频率，衰减时间，上升时间，调节时间等过渡过程指标 2016/7/3 （一） 1 ） 输入单输出极点配置。 2） 点配置 （二） 1 ） ）：初始化的 2） 增加新的矩阵变量 3） A， B， 给定前描述的 2016/7/3 （ 4） 果系统已经用 返回这个 部描述 （ 5） ， 求解 （ 6） c， 针对约束，极小化。 （ 7） ， ， 求解广义特征值最小化问题。 2016/7/3 极点配置算法及仿真 控制系统设计的极点配置一般分为精确极点和区域极点两种配置方式。精确极点配置是指将闭环系统的极点精确的配置在指定的位置上，但是由于模型的不确定性和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式很难实现，因此人们转而重点研究区域极点配置这种控制方式。 在本文中主要用三种方法进行仿真： 2016/7/3 精确极点配置： 对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的。当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。 对于已知系统 假设其参数分别为： ， 希望的闭环极点为 ， 试设计状态反馈矩阵 K，并计算当系统初始条件为 时的响应。下图分别为变量 320100010A100,1 100;0;1x 0 2016/7/3 各状态下系统的零输入响应曲线如下图所示 变量 变量 2016/7/3 根据仿真曲线得调节时间均为两秒左右。仿真结果满足控制系统所提出的动态性能指标。 说明状态反馈极点配置方法可以稳定系统且动态性能良好。 变量 2016/7/3 具有稳定裕度的区域极点配置 下面介绍一类可以用一个线性矩阵不等式刻画的区域，称为 以证明，一个矩阵的特征值均在这样一个而可以借助求解线性矩阵不等式的有效方法来方便地求解系统极点的分析和区域极点配置问题 . 图对于已知系统 x=u 假设其参数分别为： 希望闭环极点均配置在 s=设计状态反馈矩阵 K，当系统初始条件为 时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布。 320100010A100B 001C 从图中可以看出，闭环系统的极点都位于左 半开复平面 =节时间均为两秒左右。仿真结果满足控制系统所提出的动态性能指标。结果验证了设计方法的可行性和有效性。 变量 系统的极点分布图 2016/7/3 具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 用满意控制思想解决实际工程问题时，常常要将系统的闭环极点配置到期望的区域内，以使系统有着满意的动态性能。圆域极点配置是指将一个系统的所有闭环极点配置在一个给定的圆域内。众所周知，线性系统的瞬时响应与其极点的位置密切相关，只有将闭环系统的极点配置在一个合适的圆域内，就能保证系统具有一定的动态性能和稳态性能。 对于已知系统 假设其参数分别为： 希望的闭环极点配置在以 径为 2的圆内，试设计状态反馈矩阵 K，当系统初始条件为 时，画出其零输入响应曲线及系统的极点分布图。 320100010A100B 001C 从图中可以看出，闭环系统的极点都位于圆域内。仿真结果验证了设计方法的有效性。 仿真得出区域极点配置的控制方式较精确极点配置的控制方式在稳定性特征上能够更好的控制系统，使得系统满足静态与动态特性。 变量 系统的极点分布图 2016/7/3 全文总结 本论文是对线性系统状态反馈区域极点配置的算法研究， 首先介绍了该课题的背景和研究意义。 接着对于线性系统状态反馈极点配置算法研究课题中的线性系统，状态反馈及极点配置做了详细的说明。从而为后面的研究奠定了理论基础。 然后就是对于该课题的研究中要用到的 语言特点到工具箱和函数的介绍使人们对 统的认识。 最后便是本文的核心部分，即极点的配置。本文主要从精确极点配置，具有稳定裕度的区域极点配置和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计三个方面分别对极点配置进行了研究分析，编程，仿真。结果证明了设计内容的正确性和可行性。 综上所述，对于一个理想的控制系统，其极点至关重要。 谢老师 本科毕业设计论文 题 目 线性系统状态反馈极点配置算法研究 专业名称 自动化 学生姓名 刘小丽 指导教师 王 敏 毕业时间 2014 年 6 月 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 1 毕业 任务书 一、题目 线性系统状态反馈极点配置算法研究 二、指导思想和目的要求 通过毕业设计，使学生对所学自动控制原理、现代控制原 理、控制系统仿真、电子技术等的基本理论和基本知识加深理解和应用；培养学生设计计算、数据处理、文件编辑、文字表达、文献查阅、计算机应用、工具书使用等基本事件能力以及外文资料的阅读和翻译技能；掌握常用的线性系统状态反馈极点配置算法，培养创新意识，增强动手能力，为今后的工作打下一定的理论和实践基础。 要求认真复习有关基础理论和技术知识，认真对待每一个设计环节，全身心投入，认真查阅资料，仔细分析被控对象的工作原理、特性和控制要求，按计划完成毕业设计各阶段的任务，重视理论联系实际，写好毕业论文。 三、主要技术指 标 设计系统满足以下要求： 调节时间： 4调量： % 5% 四、进度和要求 1、搜集中、英文资料，完成相关英文文献的翻译工作，明确本课题的国内外研究现状及研究意义； （第 1、 2周） 2、完成总体设计方案的论证并撰写开题报告； （第 3、 4周） 3、 分析控制系统极点配置的方法； （第 5、 6周） 4、 掌握状态空间极点配置的基本原理 ； （第 7、 8周） 5、 基于状态空间极点配置设计控制器； （第 9、 10周） 6、利用 控制系统进行仿真； （第 11周） 7、整理资料撰写毕业论文； 设计 论文 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 2 （ 1）初稿 ； （第 12、 13周） （ 2）二稿 ； （第 14周） 8、准备答辩和答辩。 （第 15周） 五、主要参考书及参考资料 1刘豹，现代控制理论，机械工业出版社， 2郑大钟 . 线性系统理论 1998. 3刘满，井元伟，张嗣瀛 J 2005. 4D. D， D. M. of MI 2000: 461 5张德丰 制系统设计与仿真 J子工业出版社， 2009: 2516高金凤，俞立，王春平 J 2003, 10(2): 1457 A， R. of ure . 2000， 36:2798卢京潮 .自动控制原理 9胡寿松 .自动控制原理 008， 6 出版社， 2008， 6. 10薛定宇 统仿真技术 与应用 11王正林 . 控制系统仿真 学生 刘小丽 指导教师 王敏 系主任 史怡凯 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 3 摘 要 20世纪 50年代后期，控制理论由经典控制理论向现代控制理论转变，现代控制理论是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构，但不同的是，经典控制理论中主要采用输出反馈，而现代控制系统中主要采用 内部状态反馈。状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，从而实现更优的控制。闭环系统极点的分布情况决定于系统的稳定性和动态品质，因此，可以根据对系统动态品质的要求，规定闭环系统的极点所应具备的分布情况，把极点的配置作为系统的动态品质指标。这种把极点配置在某位置的过程称为极点配置。在空间状态法中，一般采用反馈系统状态变量或输出变量的方法来实现系统的极点配置。本论文对线性系统的状态反馈区域极点配置的算法进行了研究，分别以具有 稳定 裕度和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计为例，利用线性矩阵不等式 理方法，编写系统的 真程序 ,结果证明了设计方法的正确性和有效性。 关键词 ：线性系统，状态反馈，极点配置，线性矩阵不等式 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 4 n 950s, by to is on As so as to of on to of of of of in In in or to of by of as by MI of is 北工业大学明德学院本科毕业设计论文 5 目录 第一章 绪论 . 7 题背景及意义 . 7 点配置简介 . 8 论文研究的主要工作 . 9 第二章 理论基础及数学准备 . 10 性定常系统 . 10 性定常系统时间响应的性质 . 10 性定常系统频率响应的性质 . 10 统稳定性的分析方法 .点配置问题 . 性能指标要求 . 12 点选择区域 . 13 它极点配置原则 . 13 态反馈 . 14 态反馈的构成 . 15 态反馈系统的描述 . 15 态反馈系统的结构特性 . 16 态反馈对系统能观测性的影响 . 16 章小结 . 17 第三章 述 . 18 语言描述 . 18 性矩阵不等式 . 20 性矩阵不等式 本变换引理 . 21 具箱介绍 . 22 的极点配置函数 . 24 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 6 章小结 . 25 第四章 线性定常系统状态反馈极点配置算法研究 . 26 确极点配置 . 27 题描述 . 27 法步骤 . 28 真分析 . 28 有稳定裕度的区域极点配置 . 32 题描述 . 32 有 稳定裕度的状态反馈控制器设计 . 32 序清单 . 34 真结果 . 35 有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 . 38 题描述 . 38 有圆域极点约束的状态反馈控制器设计 . 38 序清单 . 39 真 结果 . 41 章小结 . 43 第五章 全文总结 . 44 参考文献和书目 . 45 致 谢 . 46 毕业设计小结 . 47 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 7 第一章 绪论 题背景及意义 在 20世纪 50 年代蓬勃兴起的航天技术的推动下， 1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。现 代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。 其研究问题的方法主要有时域状态空间分析法，线性二次型最优状态调节器法（ 记为 状态观测器控制法，李雅普诺夫（ 定性分析法以及极点配置法等 1近年来，随着科学技术的日新月异和工业生产的高速发展，使得工程界对控制的要求也日益提高，由此极大地推动了现代控制理论的发展和完善。 在控制理论与实践中的一个基本要求是设计反馈控制律，将闭环系统的极点配置在指定的位置上，从而保证闭 环系统具有所要求的动态和稳态特性。由于模型的不确定因素和各种扰动的存在，使得精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现。实际设计中只要将闭环系统的极点配置在指定的区域内，就可以使系统获得满意的性能。 近年来，对 用这一理论研究区域极点配置问题已取得一些成果，包括最优控制、鲁棒性、 2H 性能、 H 性能等方面 3。 在对系统的分析 和设计中，首先要考虑的是系统的稳定性问题。而线性系统的稳定性与其极点的位置紧密相关，因此极点配置问题在系统设计中是很重要的。为此，需要根据分析和设计的目的，将系统极点配置在指定区域内或指定某个位置。这里需要解决两个问题：一个是建立极点配置的条件，也就是给出受控系统可以利用状态反馈而任意地配置其闭环极点所应遵循的条件；另一个是确定满足极点配置要求的状态反馈增益矩阵 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 8 点配置简介 所谓极点配置问题，就是通过反馈矩阵的选择，使闭环系统的极点，及闭环特征方程的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上或者 是某个区域内。由于希望的极点具有一定的任意性，因此极点的配置也具有一定的任意性。 对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当极点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特征也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应是非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实数的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快 慢由极点的实部决定。因此将系统极点配置在指定位置（这主要由综合问题中更为直观的性能指标，例如时域形式的过渡过程时间，超调量等和频域形式的增益稳定域度，相位稳定域度等，通过转换和实验估计，而具体的加以给出的），可以使系统满足性能指标的要求，从而改善系统的基本特性，具有实际的理论意义。在现代控制理论中，以状态空间描述和状态空间方法为基础，引入反馈和补偿器将闭环系统的极点配置在指定位置。显然，解决极点配置问题必须给出可配置条件和相应的配置方法。由于在控制理论中，主要的反馈形式有状态反馈和输出反馈两种。传统的输出反 馈方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性，而采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。下面重点对状态反馈形式的极点配置问题进行讨论。 状态反馈是控制理论中最基本的反馈形式之一。状态反馈就是采用线性系统的状态变量构成反馈率。首先，状态反馈的引入不改变系统的能控性，但可能改变系统的能观测性。其次，由于状态反馈是系统结构信息的一种完全的反馈，因此状态反馈可以获得良好的动态性能。最后，当系统状态完全可测时，状态反馈控制器更易于实现。下面我们给出线性定常系统极点的可配置条件：线性定常系统可以通过状态反馈任意配 置其全部极点的充分必要条件是此系统完全能控。对于单输入单输出线性定常系统，可以直接通过系统的特征多项式求出状态反馈增益矩阵。 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 9 论文研究的主要工作 本论文是对线性系统状态反馈区域极点配置的算法研究，首先第一章介绍了该课题的背景和研究意义。接着第二章对于线性系统状态反馈极点配置算法研究课题中的线性系统，状态反馈及极点配置做了详细的说明。从而为后面的研究奠定了理论基础。然后第三章就是对于该课题的研究中要用到的 语言特点到工具箱和函数的介绍使人们对 统 的认识。最后便是本文的核心部分，即第四章极点的配置。 对于线性系统而言，其稳定性取决于状态的零输入响应，因而取决于系统极点的分布，当极点的实部小于零时，系统是稳定的；当极点分布在虚轴上时，系统是临界稳定的；当几点的实部大于零时，系统是不稳定的。同时，系统动态响应的基本特性也依赖于极点的分布，若系统极点是负实数，则系统动态响应时非周期的，按指数规律衰减，衰减的快慢取决于极点的分布；若系统极点是具有负实部的共轭复数，则其动态响应是衰减振荡的，振荡的频率取决于极点的虚部，而振幅衰减的快慢由极点的实部决定 。本文主要从 精确极点配置，具有稳定裕度的区域极点配置和具有圆域极点约束的状态反馈控制器设计三个方面分别对极点配置进行了研究分析，编程，仿真。结果证明了设计内容的正确性和可行性。 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 10 第二章 理论基础及数学准备 性定常系统 线性定常系统（ 又称之为线性时不变系统，是指特性不随时间改变的线性系统。它是定常系统的特例，但只要在所考察的范围内定常系统的非线性对系统运动的变化过程影响不大，那么这个定常系统就可看作是线性定常系统。对于线 性定常系统，不管输入在哪一时刻加入，只要输入的波形是一样的，则系统输出响应的波形也总是同样的。线性定常系统的分析和设计均比时变系统或非线性系统容易得多，是自动控制理论中最成熟的部分 。 系统对输入信号导数的响应，可以通过系统对该输入信号的导数来求得；而系统对输入信号积分的响应，可以通过系统对该输入信号响应的积分来求取，其积分常数 由 初始条件确定。如：单位脉冲、单位阶跃和单位速度输入信号存在微分和积分的关系，其一阶惯性环节的单位脉冲响应、单位阶跃响应和单位速度响应之间也存在着 同样的微分和积分关系。 系统稳态输出和输入的频率相同，但输出和输入的振幅比（幅频特性 )(A ，相位差（相频特性 ）（ ）都是频率 的函数。换言之，在波形图上输出与输入和横轴交点间距一致，但波形高度不同且波形有平移。 用数学式表达：若输入信号 ）（ ， （ 则有输出信号 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 11 )(s （）（ 式中： 正弦输入信号的振幅 正弦输入信号的频率 系统稳定性分析主要是时域和频域上的分析，具体地讲包括劳斯判据、赫尔维茨判据、奈奎斯特判据（奈氏图）、对数判据（伯德图）、根轨迹法等。其中前两者属于代数判据，后三者需作图再判断系统稳定性。 点配置问题 在控制理论与实践中的一个基本问题是涉及反馈控制率 ,将闭环系统的极点配置在所期望的 位置上 ,以确保闭环系统具有所要求的动态和稳态性能 考虑的是精确的极点配置问题 ,即将闭环极点配置在复平面中事先给定的位置 由于模型的不精确性和各种扰动的存在使得这样一种精确极点配置的控制方式不可能得到真正的实现 . 区域极点配置是指将一个线性系统的所有极点配置在一个指定的区域内 ,对于连续系统 ,指定的区域在左半开复平面 ;对于离散系统 ,指定的区域在以圆点为圆心的单位圆内 ,如果记这个指定区域为 D,则区域极点配置称为 下面介绍将系统极点配置在左半开复平面某一区域内的主要目 的。线性系统的瞬时响应与它的极点配置紧密相关 ,只要将闭环系统的极点配置在复平面上一个适当区域内 ,就能保证系统具有一定的动态和稳态特性 设极点为 : 其阶跃响应可由无阻尼自然频率（或无阻尼振荡频率） n,阻尼比（或相对阻尼系数） 和阻尼自然频率d完全决定。如果将 配置在一个适当的区域内，则可保证 和d满足一些给定的界，从而保证系统具有所期望的过渡过程特性。对于要达到的控制目的，一个有意义的区域是图 2 12 |,|,|),( yx 将闭环极点限定在这个区域内，可保证系统具有最小衰减度 a ，最小阻尼比 最大阻尼自然频率 ，这将进一步保证系 统的最大超调，振荡模频率，衰减时间，上升时间，调节时间等过渡过程指标不超过由 ，d和 n 确定的。 图 2）（ ,区域 下面列出性能指标中的几个主要指标的计算公式： 2 （ 21t （ （ 式中， 和 n 分别为阻尼比和自然频率， % 为超调量，13 调节时间。 图 2统在 所谓主导极点是指在 系统所有的闭环极点中，距离虚轴最近且周围无闭环零点的极点，而其余极点又远离虚轴，那么距虚轴最近的极点所对应的响应分量在系统响应中起主导作用，这样的闭环极点称为主导极点。 主导极点： 122,1 211 1t a nc o s 系统传递函数极点在 s 平面上的分布如图（ a）所示。极点 虚轴距离不小于共轭复数极点 倍，即 处 ， n 对西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 14 应于极点 同时，极点 以上条件可算出与极点 13 51451 （ 式 图 2统极点的位置与阶跃响应的关系 图（ b）表示图（ a）所示的单 位阶跃响应函数的分量。由图可知，由共轭复数极点 主导极点。因为它衰减得最慢。其它远离虚轴的极点 对应的单位阶跃响应衰减较快，它们仅在极短时间内产生一定的影响。因此，对系统过渡过程进行近似分析时，可以忽略这些分量对系统过渡过程的影响。 态反馈 状态反馈是系统的状态变量通过比例环节传送到输入端去的反馈方式。状态反馈是体现 现代控制理论 特色的一种控制方式。状态变量能够全面地反映系统的内部特性，因此状态反馈比传统的 输出反馈 能更有效地 改善系统的性能。但是状态变量往往不能从系统外部直接测量得到，这就使得状态反馈的技术实现往往比输出反馈复杂。 图 2中， 例环节） ，通西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 15 常称为反馈增益矩阵。如果原系统是定常线性系统 (A， B， C)（见线性系统理论） ,则在引入状态反馈 系统就化成 (B， C)。状态反馈把系统的动态矩阵 不影响输入矩阵 。状态反馈也不影响系统的 能控性 ，但可能改变系统的能观测性。只要原系统是能控的，则一定可以通过适当选取反馈增益矩阵 移置闭环系统的极点。对于传统的输出反馈 ,如果不引入附加的补偿装置，这一点不是总能 做 到的。 图 2态反馈示意图 对连续时间线性定常受控系统，状态反馈的构成可用图 2中，状态 被回馈到系统输入端， 虑到反馈矩阵 确切地应称这类状态反馈为静态状态反馈。 图 2状态反馈结构图 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 16 考虑连续时间线性定常受控系统 ，状态空 间描述为： 0： A ，0 ，）（( 其中， x为 u为 y为 A,为相应维数的常数阵。由图 2 态反馈下受控系统的输入为： (其中， K为 p n 反馈矩阵， v为 式（ 入（ 通过简单推导，可以导出线性定常状态反馈系统 的状态空间描述为： ： ）（ 0）（, 0t ( 上式表明，引入状态反馈的结果是使系统矩阵变为 系统综合中，不同的期望性能指标归结为综合不同的反馈矩阵 K。进而，由式（ 利用传递函数矩阵基本关系式，可以得到线性定常状态反馈系统d的传递函数矩阵为： k 1)( 对于线性定常状态反馈系统0，结构特性可由其系统矩阵的特征值表征，有 特征值 ）（ i , n.i ， 其中， i 表示相应矩阵的特征值。系统综合实质上就是通过映入适当状态反馈矩阵特征值位于复平面上期望位置。 对于连续时间线性定常系统，状态反馈保持能控性，但是不一定保持能观性，状态反馈为系统结构信息的完全反馈，在物理上是不能构成的。 状态反馈对系统能观测性的影响是指系统引入状态反馈之后系统的能观测性是西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 17 否发生变化。例如，原系统是能观测的，在引入状态反馈之后，改变原来系统的能观测性，同时也有可能出现相反的情况，即引入状态反馈之后，原来不能观测的系统变成能观测的系统。 一般来说，当用状态反馈配置的系统极点与原系统的 零点相同，即出现零点、极点相消时，状态反馈就改变了原来系统的能观测性。极点配置的实质是用比例反馈去改变原系统的自由运动模式，以满足设计规定的性能要求。 定常线性系统的动态特性在很大程度上取决于它的传递函数矩阵的极点在复数平面上的位置。对于一个给定的系统，能否和如何用比例反馈方法把极点移置到指定的位置，这既是一个理论问题，同时也是一个方法问题。传统的 输出反馈 方法虽然也能改变系统极点的位置，但有很大的局限性。对于单输入单输出情况，输出反馈只能使极点在根轨迹曲线上变动，而不能把它们移到其他位置上去。采用状态反馈方法可以实现极点的任意配置。 在经典控制理论中，利用系统输出进行反馈，构成输出负反馈系统，可以得到较为满意的系统性能；减小干扰对系统的影响；减小被控对象参数变化对系统性能的影响。因此输出反馈得到了广泛的应用，在现代控制理论中，为了达到希望的控制要求，也采用反馈控制方法来构成反馈系统，多数控制系统都采用基于反馈控制构成的闭环系统。 反馈系统的特点是对内部参数变化和外部环境影响具有良好的抑制作用，反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。 状态反馈是以系统状态为反馈变量的一类反馈形式。状态反馈不增加系统新的状态变量，对系统输入矩阵无影响，状态反馈不改变系统的能控性。 章小结 本章主要是理论知识及数学准备，通过对线性定常系统，极点配置和状态反馈三方面的描述，从而对本课题有了更系统更全面的认识；并举例说明，为下面的研究做好了理论基础的准备。 西北工业大学明德学院本科毕业设计论文 18 第三章 述 语言描述 研究和解决各种具体问题。 合人们思维习惯的代码，代替了 C 和 用户带来的是最直观、最简洁的程序开发环境。以下简单介绍一下 (1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。 用其丰富的库函数避开繁杂的子程序编程任务，压缩了一切不必要的编程工作。由于库函数都由本领域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。可以说，用 具有 C 等高级计算机语言知识的读者可能已经注意到，如果用语言去编写程序，尤其当涉及矩阵运算和画图时，编程会很麻烦。例如，如果用户想求解一个线性代数方程，就得编写一个程序块读入数据，然后再使用一种求解线性方程的算法（例如追赶法）编写一个程序块来求解方程，最后再输出计算结果。在求解过程中，最麻烦的要算第二部分。解线性方程的麻烦在于要对矩阵的元素作循环，选择稳定的算法以及代码的调试都不容
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