导数及其应用总复习4.doc

定积分及其应用一、基础知识1. 定积分概念（1）定义：如果函数f(x)在区间a,b上连续，用分点a=x0x1x2xi+1xixn=b将区间a,b等分成n个小区间，在每个小区间xi-1, xi上任意取一点i(i=1,2,n),作和式当时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b上的定积分，记作，即=。定积分的相关名称： 叫做积分号， f(x) 叫做被积函数，f(x)dx 叫做被积表达式， x 叫做积分变量，a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，a, b 叫做积分区间。（2）定积分的几何意义当函数f(x)在区间a,b上恒为正时，定积分的几何意义是由直线x=a,x=b(ab),y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积（左图中阴影部分）。2定积分性质（1）；（2）（3）3微积分基本定理一般地，如果是在上有定义的连续函数，是在上可微，并且，则，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式，为了方便，常常把，记作，即.4、常见求定积分的公式（1）（2）（C为常数）（3） （4） （5）（6） （7）二、典型例题1. 定积分的计算利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数，求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算，因此应注意掌握一些常见函数的导数.特别警示(1)若函数f(x)为偶函数，且在区间a，a上连续，则 ；若f(x)是奇函数，且在区间a，a上连续，则 .(2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数，那么可以利用定积分的性质，根据函数的定义域，将积分区间分解为若干部分，代入相应的解析式，分别求出积分值，相加即可.例1.求下列定积分（1） （2） （3） （4）（5）（6）例2.已知求函数的最小值.2. 定积分的应用求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤(1)画出图形；(2)确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分的上、下限；(3)确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置；(4)写出平面图形面积的定积分的表达式；(5)运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积.例（1）求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积. （2）求曲线，及所围成的平面图形的面积.练习：1. ；= ；2(x3+5x5)dx= 2. 已知函数的图像所围成的封闭图形的面积为，则3. 变速直线运动的物体的速度为，则它在前2s内所走的路程是_,若初始位置为，则物体在2s末所在的位置是_4. 求定积分dx.5. 求函数f(x)=在区间0，3上的积分.6. 已知f(a)= (2ax2-a2x)dx,求f(a)的最大值.7. (2009青岛模拟)对于函数f(x)=bx3+ax2-3x.（1）若f(x)在x=1和x=3处取得极值，且f(x)的图象上每一点的切线的斜率均不超过2sintcost-2cos2t+,试求实数t的取值范围；（2）若f(x）为实数集R上的单调函数，且b-1,设点P的坐标为（a,b)，试求出点P的轨迹所围成的图形的面积S.8.设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（3）若直线x=t（0t1）把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.9.设f(x)|x2a2|dx.(1)当0a1与a1时，分别求f(a)；(2)当a0时，求f(a)的最小值10.已知曲线与曲线交于点O、A，直线x=t(0t1)与曲线C1、C2分别相交于点D、B，连接OD、D