分离变量法 数学物理方程 数学物理方法

1 Wuhan University 武汉大学 物理科学与技术学院 Mathematical Methods in Physics 姚端正 2 Wuhan University 第二篇数学物理方程 Mathematical Equationgs in Physics 要想探索自然界的奥秘就得解微分方程 牛顿 3 一 本课程的内容和特点 数学物理方法 复变函数 第一篇 数学物理方程 第二篇 特殊函数 第三篇 5 5 数学物理方 程求解方法 无界空间波动问题 各种有界问题 各种定解问题 各种无界问题 行波法 分离变量法 积分变换法 格林函数法 变分法 怎样求解 或借鉴高数的一些方法 或从物理内容中得到启示 各种边值问题问题 4 Wuhan University 行波法 1 它基于波动特点为背景 2 要领 引入坐标变换简化方程 先求通解 再用定解条件确定特解 3 优点 求解方式易于理解 求波动方程方便 4 缺点 通解不易求 用定解条件定特解常 有困难 有局限性 能否引入直接求特解的方法求解 各种数理方程的定解问题 问题的引入 5 Wuhan University 第八章 分离变量法 The Method of Separation of Variables 6 Wuhan University 1 分离变量法 2 非齐次问题 3 写在后面的话 本次讲授内容 本章知识点 本章重点 本章难点 本章内容小结 复习思考题 要引起注意的问题 一 分离变量后要先求解本征值问题 而 不要先求时间变量常微方程 二 记住几种本征值问题结论简化求解过程 三 在边界条件齐次化同时可将方程也齐次化 四 注意叠加原理的应用 7 Wuhan University 第八章 分离变量法 中心内容 用分离变量法求解各种有界问题 基本要求 掌握有界弦的自由振动解及物理意义 着重掌握分离变量法的解题思想 解题步骤及 其核心问题 本征值问题 掌握求解非齐次方程的本征函数展开法 掌握将非齐次边界条件齐次化的方法 掌握在柱 球坐标系中对和 的分离变量及所得到的特殊函数微分方程 0 u0 uu 8 Wuhan University 8 1 有界弦的自由振动 Free transverse vibration of a finite string 五段教学法 提出问题 分析问题 解决问题 小结 举例说明 解决物理问题的三步骤 写出定解问题 求解 分析解答 9 Wuhan University 长为 两端固定的均匀弦 受一初始 扰动后作振幅极其微小的横振动 试求该弦的振动规律 l 物理模型 0 x txu l 8 1 有界弦的自由振动 一 定解问题 3x u xu 20u0 u 1lx0 uau 0tt0t lx0 x xx 2 tt 10 Wuhan University 8 1 有界弦的自由振动 2cos 1 x tAu 正波 2cos 2 x tAu 反波 x tAuuu2cos2cos2 21 驻波 tT xX 思路 两端固定的弦形成驻波 故可用驻波法 即分离变量法 求解 在数学物理中 一个方法的成功 不是由 于巧妙的谋略或幸运的偶遇 而是因为他 表达着物理真理的某个方面 O G 沙顿 二 求解 11 Wuhan University 则 1 6 5 0X X 0T aT 2 8 1 有界弦的自由振动 3x u xu 20u0 u 1lx0 uau 0tt0t lx0 x xx 2 tt 4 代入 1 1 TXaTX 2 二 求解 令 tTxXx tu 4 令 XTa 2 1 1 xX x X tTa tT 2 4 代入 2 0 0 0 tTlXtTX 2 7 0 0 0 lXX 1 分离变量 12 Wuhan University 则 1 6 5 0X X 0T aT 2 2 7 0 0 0 lXX 8 1 有界弦的自由振动 21 xx ececxX 0 0 7 21 21 ll ecec cc 0 21 cc 0 xX r r0 2 7 6 0X l 0 X 0 0X X 二 求解 16 Wuhan University 2 解本征值问题 8 1 有界弦的自由振动 r r0 2 7 6 0X l 0 X 0 0X X 3 若 0 kxckxcxXcossin 21 0cossin 00 7 21 21 klcklc cc kk 2 为实数 记 0sin kl L 3 2 1 2 n l n l n k kxcxXcsin 0 12 x l n cxX nn sin 二 求解 17 Wuhan University 本征值 8 1 2 3 n l n 2 22 本征函数 9 sinx l n C x X nn 8 1 有界弦的自由振动 2 解本征值问题 7 6 0X l 0 X 0 0X X n 1 n 2 n 3 n 4 总之 二 求解 思考 能先求 解关于T t 的 方程吗 18 Wuhan University 8 1 有界弦的自由振动 10 sincos t l an Bt l an AtT n nn 222 2 0 nn a n TtT t l 6 1 5 0X X 0T aT 2 3 0 0 xuxu t tt 3 求解的方程 tTn 0 22 l an r x l n t l an Bt l an Ax tu nnn sin sincos sin 0 x l xn Axu nn x l xn l an B t x u n n sin 0 8 代入 5 9 10 代入 4 注意 二 求解 19 Wuhan University 8 1 有界弦的自由振动 4 叠加 用初始条件定系数 11 sin sincos 1 x l n t l an Bt l an Atx u n n n 3 0 0 xuxu t tt sin 1 x l xn A n n 11 代入 3 sin 1 x l xn l an B n n 二 求解 20 Wuhan University 附 周期函数的傅立叶展开 x l n sinbx l n cosa a xf n 1n n 2 0 L 1 0 cos 1 nxdx l n xf l a l l n L 2 1 sin 1 nxdx l n xf l b l l n 设以为周期的函数在上可以展开为三角函数 l 2 ll sin 1 n n l xn bxf 则 则 若为奇函数 xf L 2 1 sin 2 0 nxdx l n xf l b l n 若为偶函数 xf x l n cosa a xf 1n n 2 0 则 L 1 0 cos 2 0 nxdx l n xf l a l n 8 1 有界弦的自由振动 21 Wuhan University 8 1 有界弦的自由振动 4 叠加 用初始条件定系数 11 sin sincos 1 x l n t l an Bt l an Atx u n n n 12 sin 2 0 l n d l n l A 13 sin 2 0 l n d l n an B 3 0 0 xuxu t tt sin 1 x l xn A n n 11 代入 3 sin 1 x l xn l an B n n 二 求解 需要均为奇函数吗 xx 22 Wuhan University 1 n 1本征解随时间变化的图形分布 取系数为1 8 1 有界弦的自由振动 4 叠加 用初始条件定系数 11 sin sincos 1 x l n t l an Bt l an Atx u n n n 二 求解 23 Wuhan University 2 n 2本征解随时间变化的图形分布 取系数为1 4 叠加 用初始条件定系数 11 sin sincos 1 x l n t l an Bt l an Ax t u n n n 8 1 有界弦的自由振动 二 求解 24 Wuhan University l an n 记 nnnnnn NB NAsincos 则 x l n t l an Bt l an Ax tu n n n sin sincos 1 8 1 有界弦的自由振动 当 且满足边界条件 2 式则 11 12 式给出的解存在 12 cc x l n tNx tu n n nn sin cos 1 x l n ttN nn n nnn sin sinsincos cos 1 n Nn An n Bn 三 分析解答 1 存在性 2 物理意义 25 Wuhan University 三 分析解答 2 物理意义 l an n 记 nnnnnn NB NAsincos 则 1 存在性 x l n t l an Bt l an Ax tu n n n sin sincos 1 8 1 有界弦的自由振动 当 且满足边界条件 2 式则 11 12 式给出的解存在 12 cc x l n tNx tu n n nn sin cos 1 x l n ttN nn n nnn sin sinsincos cos 1 n Nn An n Bn 26 Wuhan University x l n SinN n n n 个 共1 1 0 nnml n m xmL 波腹 振幅 频率 初位相 波节 驻波叠加 个 nnkl n k xk 2 1 2 12 L 8 1 有界弦的自由振动 x l n tNx tu n n nn sin cos 1 l n m xmx l n l n k x 2 1 2k x l n 2 12 三 分析解答 2 物理意义 27 Wuhan University 驻波的叠加 驻波 3 1 有界弦的自由振动 驻波叠加 x l n tNx tu n n nn sin cos 1 动画演示图 三 分析解答 2 物理意义 28 Wuhan University x l n N n sin nml n m xm 1 0 L 波腹 振幅 波节 nkl n k xk 2 1 2 12 L 8 1 有界弦的自由振动 取不同初值时的动画演示图 0 x xx 驻波叠加 x l n tNx tu n n nn sin cos 1 三 分析解答 2 物理意义 29 Wuhan University x l n N n sin nml n m xm 1 0 L 波腹 振幅 波节 nkl n k xk 2 1 2 12 L 8 1 有界弦的自由振动 0 cos 1 22 x xxxx 取不同初值时的动画演示图 驻波叠加 x l n tNx tu n n nn sin cos 1 三 分析解答 2 物理意义 30 Wuhan University 四 小结 11 x l n t sin l an sinBt l an cos At u x n 1n n 12 sin 2 0 l n d l n l A 13 sin 2 0 l n d l n an B 3 1 有界弦的自由振动 1 定解问题 3x u xu 20u0 u 1lx0 uau 0tt0t lx0 x xx 2 tt 的解 由下面 11 13 式给出 31 Wuhan University 3 1 有界弦的自由振动 21 xx ececxX 0 0 7 21 0 2 0 1 ll ecec ecec 0 2