第二章矩阵教案讲稿【哈工大版】

教学单元教案格式 线性代数 课程教案 授课题目 第二章矩阵 教学时数 10 学时授课类型 理论课 实践课 教学目的及要求 1 理解矩阵的概念 知道单位矩阵 对角矩阵 对称矩阵 行阶梯矩阵 行最简矩阵 等矩阵的定义及性质 2 熟练掌握矩阵的线性运算 乘法运算 转置及相关运算性质 3 理解伴随阵概念及性质 理解逆矩阵的概念和性质 矩阵可逆充要条件 掌握判断 矩阵是否可逆的方法 会利用逆阵解矩阵方程 4 理解矩阵的初等变换 熟练地用初等行变换将矩阵化为其行阶梯矩阵与行最简矩阵 5 理解矩阵秩的概念 知道满秩矩阵及其性质 熟练地用初等行变换求逆矩阵 求矩 阵的秩 解矩阵方程 6 掌握分块矩阵的运算 教学重点 矩阵 逆矩阵 矩阵的秩及矩阵的初等变换的概念 矩阵的加法 乘法 数乘 转置及矩阵行列式的运算及运算性质 矩阵可逆的充要条件 初等矩阵与初等变换 的关系性质 用初等变换求逆矩阵 求矩阵的秩 解矩阵方程的方法 教学难点 矩阵秩的概念 有关矩阵秩的性质的应用问题 教学方法和手段 课程综合课堂的讲授 习题 讨论及课外资料的查询 分析等方法来传授知识 教学 手段主要利用多媒体开展 课外资料查询 分析利用网络 图书馆进行 选用教材和参考书目 教材 教材 郑宝东主编 线性代数与空间解析几何 高等教育出版社 北京 2013 参考书目 参考书目 1 同济大学数学教研室编 线性代数 第六版 高等教育出版社 2014 年 2 赵连偶 刘晓东 线性代数与几何 面向 21 世纪课程教材 高等教育出版社 3 居余马等 线性代数 清华大学出版社 4 赵树原主编 线性代数 第三版 中国人民大学出版社 1998 年 6 月 5 徐仲主编 线性代数典型题分析解集 第二版 西北工业大学出版社 2000 年 8 月 6 陈文灯 黄先开编 线性代数复习指导 思路 方法 技巧 世界图书出版公司 1998 年 10 月 线性代数 课程教案 教学内容及过程旁批 教学引入 前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法 即 Cramer 法则 但是 Cramer 法则有它的局限 性 系数行列式 方程组中变量的个数等于方程的个数 0D 接下来要学习的还是关于解线性方程组 即 Cramer 法则无法用上的 用 矩阵 的方法解 线性方程组 本节课主要学习矩阵的概念及其运算 矩阵这一具体概念是由 19 世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的 数学 上 一个 m n 矩阵就是一 m 行 n 列的矩形阵列 矩阵由数组成 在本门课程中 它是求解线性方 程组的一种重要工具 教学内容与教学设计 第二章第二章 矩阵矩阵 2 12 1 矩阵的概念矩阵的概念 2 22 2 矩阵的运算矩阵的运算 2 32 3 可逆矩阵可逆矩阵 2 42 4 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵 2 52 5 矩阵的秩矩阵的秩 2 62 6 分块矩阵分块矩阵 2 12 1 矩阵的概念矩阵的概念 一 定义 例题例题 1 某种物资有 3 个产地 4 个销地 调配量如表 2 1 所示 销地 产地 B1B2B3B4 A11635 A23120 A34012 那么 表中的数据可以构成一个矩形 数表 或 2104 0213 5361 2104 0213 5361 定义定义 1 由个数或代数式构成的一个行行列的矩形列列的矩形列nm njmiaij 2 1 2 1 mn 表表 矩阵是线 性代数的 核心 矩 阵的概念 运算和理 论贯穿线 性代数的 始终 矩 阵是一个 表格 它 的运算与 数的运算 是既有联 系又有区 别 矩阵 与行列式 也有很大 的关联 但二者不 能等同混 淆 或称为一个行列的矩阵矩阵 其中称为 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 mnmm n n aaa aaa aaa 21 22221 11211 mn ij a 矩阵的第 行列的元素元素 ij njmi 2 1 2 1 矩阵的元素属于数域 称其为数域的矩阵 若无特别说明 本书里的矩阵均FF 指实数域上的矩阵 一般用大写的字母 表示矩阵 有时为了突出矩阵RABC 的行列规模 也对大写字母右边添加下标 如的矩阵可以表为 还有 要nm A nm A 同时表明矩阵的规模和元素时也采用形式标记 若矩阵的所有元素为零 则称其 nm ij a 为零矩阵零矩阵 记为 不引起混淆时也可简记为 nm 00 当矩阵的行列数相等时 即时称其为阶方 矩 阵或简称为方阵 nm A nm nAA 一阶方阵也常作为一个数对待 对于阶方阵 由它的元素按原有排列形式n nn ij aA 构成的行列式称为方阵的行列式 记为或 AAAdet 定义定义 2 如果两个矩阵 具有相同的行数 列数 即 nm ij aA ts ij bB tnsm 且对应位置上的元素相等 那么称矩阵与矩阵相等 记为 ijij ba ABBA 例题例题 2 设矩阵 且 试求 32 1 b a A d c B 30 41 BA dcba 解 解 因为 故有 BA 11 c4 a02 bd33 联解求得 4 a2 b0 c1 d 二 几种特殊矩阵 1 矩阵 当时 即mn ijm n a Amn 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa A 称为 n 阶方阵 记为 特别地 一阶方阵 n A aa 方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线 从右上角元素 11 a nn a 到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线 1n a 1n a 2 形如 11121 222 0 00 n n nn aaa aa a A 的阶方阵称为上三角矩阵 n 3 形如 11 2122 12 00 0 nnnn a aa aaa A 的阶方阵称为下三角矩阵 n 4 形如 1 2 00 00 00 n 的阶方阵称为 n 阶对角矩阵 记为 n 12 diag n 5 形如 00 00 00 A 的阶方阵称为 n 阶数量矩阵 n 特别地 当时 即矩阵1 100 010 001 称为 n 阶单位矩阵 记为 n E 应该注意到 单位矩阵是数量矩阵 数量矩阵是对角矩阵 而反之则未必成立 当然零矩阵也 是数量矩阵 6 只有一行的矩阵 112 nn aaa A 称为行矩阵 又称行向量 为避免元素间的混淆 行矩阵也记作 12 n a aa A 7 只有一列的矩阵 1 2 1n n b b b B 称为列矩阵 又称列向量 就向量而言 称其元素为分量 分量的个数称为向量的维数 例如 是 4 维行向 2 1 2 5 量 是 维列向量 1 2 4 3 矩阵 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa aaa A 的每一行 12 iiin aaa 1 2 im 都是维行向量 A 的每一列n 1 2 j j mj a a a 1 2 jn 都是维列向量 m 8 分量都是 0 的向量称为零向量 记为 T 0 0 0 0 2 22 2 矩阵的运算矩阵的运算 1 矩阵的加法 定义 2 2 设有两个矩阵和 矩阵 A 与 B 的和记为 A B 规定mn ij a A ij b B 1111121211 2121222222 1122 nn nn ijij mmmmmnmn ababab ababab ab ababab AB 两个同型矩阵的和即为两个矩阵对应位置元素相加得到的矩阵 值得注意的是 只有两个矩阵 是同型矩阵时 才能进行矩阵的加法运算 矩阵加法满足下列运算规律 设都是矩阵 A B Cmn 1 ABBA 2 ABCABC 3 AOOAA 2 矩阵的数乘 定义 2 3 设有矩阵 为任意常数 数与矩阵 A 的乘积称为矩阵的数乘 记mn ij a Akk 作 kA 或 Ak 规定为 对于分块 矩阵 它 在矩阵乘 法 求逆 向量的线 性表出 线性相关 与秩 线 性齐次方 程组的解 等方面 都有很大 的用处 矩阵是本 课程的一 个重要概 11121 21222 12 n n mmmn kakaka kakaka kk kakaka AA 即矩阵的数乘就是用这个数乘矩阵的所有元素 设 记 ij a A ij a A 称为矩阵 A 的负矩阵 显然有 A AAO 由此规定矩阵的减法为 ABAB 即两个同型矩阵的减法为对应位置元素相减 数与矩阵的乘法满足以下运算规律 设是矩阵 为数 A Bmn kl 1 klkl AAA 2 kkk ABAB 3 klk ll k AAA 4 1 AA 1 AA 5 若 则或 k AO0k AO 矩阵相加与矩阵数乘结合起来 统称为矩阵的线性运算 例题例题 3 有 4 名学生的某 3 门课的平时考查成绩矩阵为 而课 75967095 74938086 66927890 A 程结业考试的卷面成绩矩阵为 规定各门课程的考核成绩由平 72977697 70958590 60988394 B 时考查和卷面考试的成绩分别占 30 和 70 构成 求 4 名学生的考核成绩矩阵 解 解 考核成绩矩阵为 72977697 70958590 60988394 7 0 75967095 74938086 66927890 3 07 03 0BA 念 在生 产活动和 日常生活 中 我们 常常用数 表表示一 些量或关 系 如工 厂中的产 量统计表 市场上的 价目表等 等 9 72 7 96 3 74 4 96 2 71 4 94 5 83 8 88 8 61 2 96 5 81 8 92 4 50 9 67 2 53 9 67 49 5 66 5 5963 42 6 68 1 58 8 65 5 22 8 2821 5 28 2 22 9 2724 8 25 8 19 6 27 4 2327 四 矩阵的乘法 定义 2 4 设是矩阵 是矩阵 规定矩阵 A 与 B 的乘积是一个 ij a Ams ij b Bsn 矩阵 其中mn ij c C 1 122 1 s ijijijissjikkj k ca ba ba ba b 1 2 1 2 im jn 即矩阵 C 的第 行第列的元素是矩阵 A 的第 行与矩阵 B 的第列对应元素相乘之和 记作ij ij cij CAB 注意 1 只有当左矩阵 A 的列数等于右矩阵 B 的行数时 A B 才能作乘法运算 AB 2 两个矩阵的乘积 AB 亦是矩阵 它的行数等于左矩阵 A 的行数 它的列数等于右矩阵 B 的 列数 3 乘积矩阵 AB 中的第行第 j 列的元素等于 A 的第行元素与 B 的第 j 列对应元素的乘积之 和 故简称行乘列的法则 例 5 设矩阵 103 212 A 410 113 234 B 求 AB 及 BA 解 因为 A 是矩阵 B 是矩阵 A 的列数等于 B 的行数 所以矩阵 A 与 B 可以相2 3 3 3 乘 其乘积 AB 是一个矩阵 2 3 410 103 113 212 234 AB 1 40 1 3 21 10 13 31 00 33 4 2 41 1 22 2 1 1 12 3 2 01 324 101012 5511 由于 B 的列数不等于 A 的行数 因此 BA 没有意义 例 6 求矩阵 12 n aaa A 1 2 n b b b B 的乘积 AB 及 BA 解 1 2 121 122 1 n nnnii i n b b aaaa ba ba ba b b AB 1 2 12 n n b b aaa b BA 1 1121 21222 12 n n nnnn b ab ab a b ab ab a b ab ab a 例题例题 2 已知 用分块矩阵计算 3500 2010 0201 A 100 010 021 203 BAB 解法一解法一 1 0 0 2 00 10 21 03 35 20 02 00 10 01 AB 4131 4231 43 21 1 22 0 2 BABA BBBB BB BB A EE 又 21 23 00 10 2 21 03 2 31 BB 2 2 1 0 2 0 2 2 42 BB 所以 50 00 10 35 31 BA 3 1 0 35 41 BA 350 221 233 AB 解法二解法二 10 01 02 20 0 0 1 3 35 20 02 00 10 01 AB 1 2121 1 0 2 00 2 A EBB E BB A EE 故 350 221 233 AB 从上例可以看出 不同的分块方法使得求解过程的繁杂程度不一样 一般地尽可能把 特殊的零子块和单位子块分出来 这样可以简化子块的求解 矩阵的乘法满足下列运算规律 假设运算都是可行的 1 乘法结合律 AB CA BC 2 数乘结合律 其中为数 kkk ABA BA Bk 3 左乘分配律 A BCABAC 右乘分配律 BC ABACA 例 8 求矩阵 63 21 A 26 13 B 15 11 C 的乘积 AB BA 及 AC 解 6326927 211339 AB 266300 132100 BA 6315927 211139 AC 由以上的例子可知 1 矩阵的乘法不满足交换律 即在一般情况下 ABBA 2 两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵 即由 一般不能得出或 ABO AO BO 3 矩阵的乘法不满足消去律 即由 一般不能从等式两边消去 A 得出 ABAC BC 若矩阵 A 与 B 满足 则称矩阵 A 与 B 可交换 ABBA 单位矩阵在矩阵的乘法运算中占有特殊的地位 任何矩阵与单位矩阵相乘 假设运算可以进行 都等于这个矩阵 即对任意的矩阵 A AEA EAA 单位矩阵的这条性质 使得单位矩阵在矩阵乘法运算中的地位类似于实数乘法中的数 不过应该注1 意 如果矩阵A A不是方阵 上面两个式子中的单位矩阵的阶数是不同的 五 矩阵的转置 定义 2 5 把矩阵 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵 称为 A 的转置矩阵 记作 T A 例如 矩阵 120 311 A 的转置矩阵为 T 13 21 01 A 矩阵的转置也是一种运算 满足下述运算规律 假设运算都是可行的 1 TT AA 2 TTT ABAB 3 其中为数 TT kk AAk 4 TTT ABB A 例 9 已知 201 132 A 171 423 201 B 求 T AB 解 解法一 因为 171 2010143 423 132171310 201 AB 所以 T 017 1413 310 AB 解法二 TTT 14221017 720031413 13112310 ABB A 定义 2 6 阶方阵 A 满足 则称 A 为对称矩阵 n T AA 例如 13 22 31 22 A 136 312 621 B 都是对称矩阵 对称矩阵的特点是它的元素以主对角线为对称轴对应相等 由定义可以直接得到 对 称矩阵的和 数乘仍为对称矩阵 六 方阵的行列式 定义 2 7 由阶方阵的元素所构成的行列式 各元素位置不变 称为方阵 A 的行列n ij a A 式 记作 A 或 det A 方阵与行列式是不同的概念 阶方阵是个数按一定方式排成的数表 而阶行列式则是这n 2 nn 些数按一定的运算法则所确定的一个数值 设 A B 为阶方阵 是任意常数 方阵的行列式满足如下的运算规律 nk 1 T AA 2 n kk AA 3 AB AB 例 10 设 101 210 321 A 210 031 002 B 求 AB 解 解法一 因为 212 451 690 AB 所以 212 451 690 AB 2 3 10110 1011 4511 1 24 69 690 由公式 则 ABAB 24 AB 解法二 因为 101 210 321 A 1 3 101 21 210 1 1 2 22 220 210 03112 002 B 所以 24 AB 注注 方阵是数表方阵是数表 而行列式是数值 而行列式是数值 2 3 可逆矩阵可逆矩阵 数的乘法存在着逆运算除法 当数时逆满足 这使得一元线性方程0 a 1 1 a a 1 1 aa 的求解可简单得到 方程两边同时乘以 得解 那么 在解矩阵方程bax 1 a a b bax 1 此处为单列矩阵 时是否也存在类似的逆使得呢 这就是要研究的可逆bAX b 1 AbAX 1 矩阵问题 对于任意的级方阵都有A AEAAE 这里是级单位矩阵 因之 从乘法的角度来看 级单位矩阵在级方阵中的地位类似于 1 在复Enn 数中的地位 一个实数的倒数可以用等式0 a 1 1 aa 1 1aa 12 2rr 31 1 rr 来刻划 相仿地 我们引入 1 逆矩阵的定义 定义 2 8 对于阶矩阵 A 如果存在一个阶矩阵 B 使得nn ABBAE 则矩阵 A 称为可逆矩阵 而矩阵 B 称为 A 的逆矩阵 A 的逆矩阵记作 即 1 A 1 BA 注 1 如果矩阵 A 是可逆的 那么 A 的逆矩阵是唯一的 这是因为 设 B C 都是 A 的逆矩阵 则有 BBEB ACBA CECC 所以 A 的逆矩阵是唯一的 2 定义中 的地位是对等的 因此也可逆 且 就是 即是说ABB 1 BA 1 1 AA 与是互为逆矩阵 AB 例如 由于 所以是可逆矩阵 且的逆矩阵是 同样 当都不 nnn E EE n E n E n E 123 为零时 由 1 2 3 00 00 00 1 1 1 2 1 3 00 00 00 1 1 1 2 1 3 00 00 00 1 2 3 00100 00010 00001 可知对角阵 1 2 3 00 00 00 是可逆矩阵 且 1 1 1 2 1 3 00 00 00 是其逆矩阵 2 逆矩阵的求法 一个矩阵在什么条件下是可逆的呢 下面的定理回答了这个问题 并以行列式为工具给出了逆 矩阵的一种求法 首先介绍伴随矩阵的概念 设 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa A 则称阶方阵n 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA AAA A 为矩阵 A 的伴随矩阵 其中为元素的代数余子式 ij A ij a 例如 则 12 34 A 42 31 A 由矩阵乘法易知 AAA AA E 定理 2 1 阶方阵 A 可逆的充要条件是 且当时 n 0 A 0 A 1 1 AA A 证明 必要性 因为 A 可逆 即有 使得 1 A 1 AAE 故 1 1 AAE 所以 0 A 充分性 设 则由 得 0 A E AAA AA 11 AAAAE AA 由逆矩阵的定义及唯一性可知 A 可逆 且 1 1 AA A 当 A 称为奇异矩阵 否则称为非奇异矩阵 由定理 2 1 可知可逆矩阵就是非奇异 0 A 矩阵 由定理 2 1 可得以下推论 推论 1 若阶方阵满足且 则 n ABO 0 A BO 证明 因为 所以 A 可逆 用左乘两边 得 0 A 1 A ABO BO 推论 2 若阶方阵满足 且 则 n ABAC 0 A BC 证明 因为 所以 A 可逆 用左乘两边 得 0 A 1 A ABAC BC 推论 3 设 A 为阶方阵 若存在阶方阵 B 使得 或 则 A 可逆 且nn ABE BAE 1 BA 证明 由 故 因而存在 于是 1 ABE 0 A 1 A 1111 BEBA A BAABA EA 推论 3 使检验可逆矩阵的过程减少一半 即由或 就可确定 B 是 A 的逆矩阵 ABE BAE 但前提是 A B 必须是同阶矩阵 3 逆矩阵满足的运算率 方阵的逆矩阵满足下述运算规律 1 若矩阵 A 可逆 则亦可逆 且 1 A 11 AA 2 若矩阵 A 可逆 数 则可逆 且 0k kA 11 1 k k AA 证明 因为 11 11 kk kk AAAAE 则由推论 3 可知 11 1 k k AA 3 若 A B 为同阶矩阵且均可逆 则 AB 亦可逆 且 111 ABB A 证明 因为 111111 AB B AA BBAAEAAAE 则由推论 3 可知 111 ABB A 4 可逆矩阵 A 的转置也可逆 且 T A T11 T AA 证明 因为 T1 T1TT AAA AEE 则由推论 3 可知 T11 T AA 5 若矩阵 A 可逆 则 11 AA 证明 因为 所以 1 AAE 1 1 AAE 从而 11 AA 例 1 求二阶矩阵的逆矩阵 ab cd A 0 adbc 解 因为 adbc A db ca A 所以 1 11 db caadbc AA A 例 2 求矩阵 123 221 343 A 的逆矩阵 解 因为 所以存在 下面再计算的代数余子式 20 A 1 A A 11 2 A 12 3 A 13 2A 21 6 A 22 6 A 23 2A 31 4 A 32 5 A 33 2A 则 264 365 222 A 所以 1 132 135 3 22 111 AA A 例题例题 3 求方阵的逆矩阵 3104 252 373 A 解解 所以可逆 1 3104 252 373 AA 333231 232221 131211 1 1 AAA AAA AAA AA A A 又可算得 类似可算得 5 310 25 11 A2 12 A0 13 A9 21 A3 22 A 所以 2 23 A1 31 A0 32 A1 33 A 120 032 195 1 A 例 4 设方阵 A 满足方程 证明 A 为可逆矩阵 并求 为常数 2 abc AAEO 1 A a b c 0c 证明 由 得 2 abc AAEO 2 abc AAE 因 故0c ab cc AE AE 则由推论 3 可知 A 可逆 且 1 ab cc AAE 对矩阵方程 AXB XAB AXBC 利用矩阵乘法的运算规律和逆矩阵的运算性质 通过在方程两边左乘或右乘相应矩阵的逆矩阵 可 求出其解 它们分别为 1 XA B 1 XBA 11 XA CB 对于其他形式的矩阵方程 可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解 例 5 设 123 221 343 A 21 53 B 13 20 31 C 求矩阵 X 使满足 AXBC 解 因为 所以 都存在 且 20 A 10 B 1 A 1 B 1 132 35 3 22 111 A 1 31 52 B 又由 得到 AXBC 11 132 1321 3135 320104 5222 31104 111 XA CB 4 方阵的幂 有了矩阵的乘法和逆矩阵的概念 就可以定义方阵的幂 设 A 为阶方阵 规定n 0 AE 1 AA 2 AAA 1 kk AA A 其中是正整数 即就是个 A 连乘 k k Ak 显然有意义的充要条件是为方阵 故只有方阵才有幂 k A AA 设 A 为阶可逆方阵 规定n 1 kk AA 其中是正整数 k 由于矩阵的乘法适合结合律 因此当 对于整数 有 0 A k l klk l A AA klkl AA 又因矩阵乘法一般不满足交换律 所以对两个阶矩阵 A 与 B 一般来说有 n k AB kk A B 例 6 设 且 求 12 14 P 10 02 APP n A 解 因为 2 P 1 421 112 P APP 所以 1 APP 21121 APP PPPP 1nn APP 而 10 02 2 2 101010 020202 10 02 n n 故 1 2 121042421211 1402111122 12 n n n n A 11 2211 422222211 2 42 222221 nnnn nnnn 2 4 矩阵的初等变换和初等矩阵矩阵的初等变换和初等矩阵 1 初等变换 初等变换 定义定义 10 设矩阵 则以下三种行 列 的变换 nm ij aA 1 的某两行 列 元素对换 A ji rr jnjj inii j i aaa aaa 行 行 21 21 行 行 j i aaa aaa inii jnjj 21 21 列列列列 或 jiji aa aa aa aa aa aa mimj ij ij cc mjmi ji ji ji 22 11 22 11 2 用一个非零数乘以的某一行 列 的元素 kA 3 的某行 列 元素的倍对应加到另一行 列 Ak 称为矩阵的初等行 列 变换 称为矩阵的初等行 列 变换 一般地 将矩阵的初等行 列的变换统称为矩阵的初等 变换 2 初等矩阵 初等矩阵 定义定义 11 由阶单位矩阵经过一次初等行 或列 变换得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵 n n E 对应于三种初等变换 可以得到三种初等矩阵 1 对换单位阵的两行 或两列 而得到的初等矩阵记为 常常也简记为ji jiEn 这种矩阵形如 jiE 行 行 j i jiE 1 1 01 1 1 10 1 1 2 用一个非零数乘以的第 行 或第 列 的元素得到的初等矩阵记为 kAii kiE 3 将矩阵的第 行 或第列 元素的倍对应加到第行 或第 列 去 得到Aijkji 的初等矩阵记为 kijE 因为初等矩阵都是由单位矩阵经过一次初等变换得到的 依据行列式的性质知道初等矩 阵的行列式值不为零 故它们都可逆 初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵 容易验证 它 们的逆矩阵为 jiEjiE 1 k iEkiE 1 1 kijEkijE 1 3 初等变换与初等矩阵的关系 初等变换与初等矩阵的关系 定理定理 4 设 则对施行一次初等行变换 相当于用一个阶的同类型初等 nm ij aA Am 矩阵 单位阵经相同初等变换而得到的初等矩阵 左乘矩阵 对施行一次初等列变 AA 换 相当于用一个阶的同类型初等矩阵右乘矩阵 nA nmm rr nm AjiEA ji jiEAA nnm cc nm ji nmm kr nm AikEA i ikEAA nnm cr nm i nmm krr nm AkijEA ij kijEAA nnm kcc nm ij 二 求逆矩阵的初等变换法二 求逆矩阵的初等变换法 定义定义 12 如果矩阵经过有限次初等变换变成矩阵 就称矩阵矩阵与与等价等价 记为ABAB BA 不难验证矩阵的等价具有下列性质 1 反身性 AA 2 对称性 则 BA AB 3 传递性 则 BA CB CA 例题例题 2 设矩阵 试将化为等价标准形 1212 0111 2011 AA 解 解 13 12 14 12 22 3212 2121 0001 1212 0111 2011 rr rr cc cc A 2120 3210 0001 3210 2120 0001 32 rr 这一步改过 4300 0010 0001 4300 3210 0001 24 23 23 2 3 2 2cc cc rr r 0100 0010 0001 3 4 3 34 3 cc c 定理定理 6 一个阶方阵可逆的充分必要条件是它的等价标准形为单位阵 且可以表成nAA 一系列初等矩阵的乘机 例题例题 3 已知 求 111 251 142 A 312 642 321 B 1 A 1 B 解解 001 010 100 142 251 111 100 010 001 111 251 142 AE 110 201 100 140 120 111 201 110 100 120 140 111 1 3 1 3 2 1 3 1 3 1 0 3 1 3 2 100 020 011 312 201 100 300 120 111 1 3 1 3 2 2 1 6 1 6 1 2 1 2 1 2 1 100 010 001 所以 1 3 1 3 2 2 1 6 1 6 1 2 1 2 1 2 1 1 A 故不可逆 即 100 012 001 312 000 321 100 010 001 312 642 321 BE B 不存在 1 B 例题例题 4 用逆矩阵或初等变换解下列矩阵方程 1 其中 2 XAAX2 321 011 324 A 102 211 103 120 001 31 52 X 解 解 1 由得 XAAX2 AXEA 2 121 011 322 1 1 1 2 321 011 324 2EA 又 故可逆 从而 1 121 011 322 2 EA EA2 AEAX 1 2 因为 321 324 011 121 322 011 321 011 324 121 011 322 2AEA 330 692 011 110 010 011 330 302 011 110 340 011 9122 692 683 100 010 001 所以 9122 692 683 2 1 AEAX 2 因为 101 2 3 2 1 2 11 100 010 001 102 2 3 2 1 1 103 010 001 102 211 103 120 001 所以 又 101 2 3 2 1 2 11 103 120 001 102 211 31 52 1 X 21 53 31 52 1 所以 2 1 2 1 2 7 2 1 2 3 2 23 101 2 3 2 1 2 11 21 53 101 2 3 2 1 2 11 31 52 1 X 2 5 矩阵的秩矩阵的秩 定义定义 13 在矩阵中任选行列 其交叉位置上的元素按原 nm ij aA kk nmk min 有的相对位置构成一个阶行列式 称为矩阵矩阵的的阶子式阶子式 kAk 如矩阵的第 2 与第 3 行 第 3 与第 6 列上的元素构成的 2 阶子 321 324 011 121 322 011 式为 2 3 行 2 5 列构成 3 阶子式为 1 2 3 行 1 2 5 列上6 31 33 0 22 22 的元素构成 3 阶子式为 12 221 222 111 的矩阵中阶子式有个 其中可能有的子式值为零 有的却不为零 不为nm k k m k n CC 零的子式称为非零子式 定义定义 14 如果一个矩阵有一个 阶非零子式 且所有阶 如果存在的话 子式的Ar1 r 值全为零 数 称为矩阵矩阵的秩的秩 记为 规定零矩阵的秩为 0 rA rAR 在一个矩阵中 根据拉普拉斯定理可以推知 若所有阶子式的值全 nm ij aA 1 r 为零的话 则所有高于阶的子式的值必全为 0 因此 一个矩阵的秩就是其最高阶1 r 非零子式的阶数 很显然 矩阵的秩 满足 若 则r nmr min0 nmr min 称为满秩矩阵 矩阵的秩反应了矩阵内在的重要特性 在矩阵理论和应用中都具有重A 要意义 一般而言 要利用定义 2 14 求一个矩阵的秩并非易事 而对于矩阵 nm ij aA 0 3 2 1 0 5 4 3 0 0 1 2 0 0 2 0 0 0 0 1 B 它具有如下特点 1 元素全为零的行位于矩阵的最下面 2 自上而下各行中第一个非零元素左边的零元素个数 随着行数的增加而增加 形如的矩阵 有的可能无整行元素为零的情形 称为阶梯 形 矩阵 所有非零元素B 所在行的行数称为梯级数梯级数 矩阵的秩可一眼看出 因为要子式不为零 最多只可能 1 至 3 行都选 即非零子B 式最高只可能为 3 阶 恰好又有所有梯级上的第一列构成的 3 阶非零上三角形子式 故据定义知矩阵的秩为 同理可知阶梯矩阵的秩等于其梯10 500 420 301 B 3 BR 级数 即等于它的非零行数 那么 一般的矩阵与阶梯矩阵有何关联呢 不加证明地介绍两个定理来解决这一问 题 有兴趣的读者应该能够依据行列式的性质和矩阵秩的定义加以证明 定理定理 7 任意一个的矩阵都可以经过一系列初等行变换化为的阶梯矩阵 nm nm 定理定理 8 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 这两个定理告诉我们 在求一个非特殊矩阵的秩时 可以先将其化为阶梯矩阵 然 后由阶梯矩阵的秩确定原矩阵的秩 例题 例题 求下列矩阵的秩 1211 2332 2111 A 12412 11603 02422 01211 B 解 解 所以 1100 2110 2111 1211 2332 2111 13 2 2 rr rr A 3 AR 4214 13 12 10030 14030 04000 01211 12412 11603 02422 01211 2 3 2 rrrr rr rr B 故 3423 04000 04000 10030 01211 04000 14030 10030 01211 rrrr 00000 04000 10030 01211 3 BR 2 6 分块矩阵分块矩阵 一 矩阵的分块 将矩阵 A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵 每一个小矩阵称为矩阵 A 的子块 以子块为元 素的形式上的矩阵称为分块矩阵 分成子块的方法很多 矩阵分块的原则 在同一行中 其各个块 矩阵的行数一致 在同一列中 其块矩阵的列数一致 例如 1 2 3 100 000 101 011 a a b b A AA