[竞赛]2003年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案.doc

高中数学风云 2003年全国高中数学联合竞赛试卷得分评卷人 一选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A、B、C、D四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。1删去正整数数列1，2，3，中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A2046B2047C2048D2049答（ ）2设a，bR，ab0，那么直线axyb0和曲线bx2ay2ab的图形是 yyyyxxxx A B C D 答（ ）3过抛物线y28(x2)的焦点F作倾斜角为60o的直线，若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于A B CD 答（ ）4若，则的最大值是ABCD答（ ）5.已知x，y都在区间(2，2)内，且xy1，则函数的最小值是ABCD答（ ）6.在四面体ABCD中，设AB1，CD，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于 ABCD答（ ）得分评卷人二填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。7不等式 | x | 32x24| x | 3 0 的解集是_8设F1，F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1| : |PF2|2 : 1，则三角形PF1F2的面积等于_9已知Axx24x30，xR，Bx21xa0，x22(a7)50，xR，若AB，则实数a的取值范围是_10已知a，b，c，d均为正整数，且，若ac9，则bd 11将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于_12设M n (十进制)n位纯小数ai只取0或1（i1，2，n1，an1，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则_得分评卷人三解答题（本题满分60分，每小题20分）13设x5，证明不等式14设A，B，C分别是复数Z0ai，Z1bi，Z21ci（其中a，b，c都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线ZZ0cos4t2Z1cos2t sin2tZ2sin4t （tR）与ABC中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点15. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OAa. 拆叠纸片，使圆周上某一点A/ 刚好与A点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A/取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合2003年全国高中数学联合竞赛加试试卷得分评卷人PABCDQ一（本题满分50分）过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A，B所作割线交圆于C，D两点，C在P，D之间，在弦CD上取一点Q，使DAQPBC求证：DBQPAC得分评卷人二（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l，m，n，且lmn，已知，其中xxx，而x表示不超过x的最大整数求这种三角形周长的最小值得分评卷人三（本题满分50分）由n个点和这些点之间的t条连线段组成一个空间图形，其中nq2q1，t，q2，qN，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A，B，C，D和四条连线段AB，BC，CD，DA组成的图形）2003年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请依据本评分标准选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次2如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。不要再增加其它中间档次一选择题：1注意到4522025，4622116，2026a202645a1981，2115a211545a2070而且在从第1981项到第2070项之间的90项中没有完全平方数 又1981222003，a2003a1981+222026222048故选(C)2题设方程可变形为yaxb和，则由观察可知应选(B)3易知此抛物线焦点F与坐标原点重合，故直线AB的方程为，因此，A，B两点的横坐标满足方程3x28x160，由此求得AB中点的横坐标，纵坐标，进而求得其中垂线方程为，令y0，得P点的横坐标x，即PF，故选(A)因为x，因此与在上同为增函数，故当时，y取最大值故选(C)5由已知得，故，而，故当时有最小值，故选(D)6如图，过C作CEAB且CEAB，以CDE为底面，BC为侧棱作棱柱ABFECD，则所求四面体的体积V1等于上述棱柱体积V2的而CDE的面积SCECDsinECD，AB与CD的公垂线MN就是棱柱ABFECD)的高，故，因此，故选(B)二填空题：7由原不等式分解可得(| x |3)(x2| x |1)0，由此得所求不等式的解集为8设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为2a、2b、2c，则由其方程知a3，b2，c，故，|PF1|PF2|2a6，又已知PF1|：|PF2|2：1，故可得|PFl|4，|PF2|2在PFlF2中，三边之长分别为2，4，2，而2242(2)2，可见PFlF2是直角三角形，且两直角边的长为2和4，故PFlF2的面积49易得：A(1，3)，设，要使，只需f (x)、g (x)在(1，3)上的图象均在x轴下方，其充要条件是f (1)0，f (3)0，g (1)0，g (3)0，由此推出4a110由已知可得：，从而，因此ab，cd又由于ac9，故，即，故得：，解得故bd9311如图，由已知，上下层四个球的球心A/，B/，C/，D/和A，B，C，D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆O/和O为上下底面构成圆柱，同时，A/在下底面的射影必是弧AB的中点M在A/AB中，A/AA/BAB2设AB的中点为N，则A/N 又OMOA，ON1，MNA/M，故所求原来圆柱的高为12Mn中小数的小数点后均有n位，而除最后一位上的数字必为1外，其余各位上的 数字均有两种选择(0或1)方法，故又因在这2n1个数中，小数点后第n位上的数字全是1，而其余各位上数字是0或1，各有一半故 三解答题：13解：(abcd)2a2b2c2d22(abacadbcbdcd)4(a2b2c2d2)(当且仅当abcd时取等号)5分取，则15分不能同时相等20分14解：设zxyi(x、yR)，则y(ac2b)x22(ba)xa，0x1又A、B、C三点不共线，故ac2b0，可见所给曲线是抛物线段(如图)5分AB、BC的中点分别是D()，E()，直线DE的方程是10分由联立得：15分ac2b0，由于，抛物线与ABC中平行于AC的中位线有且仅有一个公共点，此点的坐标为，对应的复数为20分15解：如图，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则有A(a，0)设折叠时，O上点A/()与点A重合，而折痕为直线MN，则 MN为线段AA/的中垂线设P(x，y)为MN上任一点，则PA/PA5分即10分 可得：1(此不等式也可直接由柯西不等式得到)15分平方后可化为1，即所求点的集合为椭圆圆1外(含边界)的部分20分2003年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准说明：1评阅试卷时，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分2如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要再增加其它中间档次一证明：联结AB，在ADQ与ABC中，ADQ=ABC，DAQ=PBC=CAB 故ADQABC，而有，即BCADABDQ10分又由切割线关系知PCAPAD得；同理由PCBPBD得20分又因PAPB，故，得ACBDBCADABDQ30分又由关于圆内接四边形ACBD的托勒密定理知ACBDBCADABCD于是得：ABCD2ABDQ，故DQCD，即CQDQ40分在CBQ与ABD中，BCQBAD，于是CBQABD，故CBQABD，即得DBQABCPAC50分二解：由题设可知于是3l3m3n(mod 104) 10分由于(3，2)(3，5)1，由可知3ln3mn1 (mod 24)设u是满足3u1 (mod 24)的最小正整数，则对任意满足3v1 (mod 24)的正整数v，我们有uv事实上若u不整除v，则由带余除法可知，存在非负整数a、b，使得vaub，其中0bu1，从而可推出3b3bau3v1 (mod 24)，而这显然与u的定义矛盾注意到33 (mod 24)，329 (mod 24)，332711 (mod 24)，341 (mod 24)，从而可设mn4k，其中k为正整数20分同理由可推出3mn1 (mod 25)，故34k1 (mod 25)现在我们求34k1 (mod 25)满足的整数k341524，34k1(1524)k10(mod 55)30分或即有k5t，并代入该式得t5t3(5t1)270(mod 52)即k5t53s，其中s为整数，故mn500s，s为正整数同理可得ln500r，r为正整数40分由于lmn，rs这样三角形的三边为500rn、500sn和n，由于两边之差小于第三边，故n500(rs)，因此当s1，r2，n501时三角形的周长最小，其值为300350分三证：设这n个点的集合VA0，A1，A2，An1为全集，记Ai的所有邻点(与Ai有连线段的点)的集合为Bi，Bi中点的个数记为Bibi，显然且bi(n1) (i0,1，2，n1) 若存在bin1时，只须取，则图中必存在四边形，因此下面只讨论bin1(i0,1，2，n1)的情况10分不妨设q2b0n1用反证法若图中不存在四边形，则当ij时，Bi与Bj无公共点对，即BiBj1(0ijn1)因此(i0,1，2，n1)故中点对的个数中点对的个数20分(当bi1或2时，令0) 30分故(n1)(nb0)(nb0