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3 2 1立体几何中的向量方法 方向向量与法向量 1 A P 直线的方向向量 直线 的向量式方程 换句话说 直线上的非零向量叫做直线的方向向量 一 方向向量与法向量 2 2 平面的法向量 l 平面 的向量式方程 换句话说 与平面垂直的非零向量叫做平面的法向量 3 例1 如图所示 正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为 平面OABC的一个法向量坐标为 平面AB1C的一个法向量坐标为 1 1 1 0 0 1 1 0 0 4 5 6 练习如图 在四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 侧棱PD 底面ABCD PD DC 1 E是PC的中点 求平面EDB的一个法向量 A B C D P E 解 如图所示建立空间直角坐标系 设平面EDB的法向量为 7 因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置 所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线 平面间的平行 垂直 夹角 距离等位置关系 用向量方法解决立体问题 8 二 立体几何中的向量方法 证明平行与垂直 9 m l 一 平行关系 10 11 12 二 垂直关系 l m 13 l A B C 14 15 例1 用向量方法证明定理一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 则这两个平面平行 已知直线l与m相交 16 例2四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC 6 E是PB的中点 DF FB CG GP 1 2 求证 AE FG A B C D P G F E A 6 0 0 F 2 2 0 E 3 3 3 G 0 4 2 AE FG 证 如图所示 建立空间直角坐标系 AE与FG不共线 几何法呢 17 例3四棱锥P ABCD中 底面ABCD是正方形 PD 底面ABCD PD DC E是PC的中点 1 求证 PA 平面EDB A B C D P E 解1立体几何法 18 A B C D P E 解2 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 连结AC AC交BD于点G 连结EG 19 A B C D P E 解3 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 设平面EDB的法向量为 20 A B C D P E 解4 如图所示建立空间直角坐标系 点D为坐标原点 设DC 1 1 证明 解得x 21 证明 设正方体棱长为1 为单位正交基底 建立如图所示坐标系D xyz 所以 22 证明2 23 E是AA1中点 例5正方体 平面C1BD 证明 E 求证 平面EBD 设正方体棱长为2 建立如图所示坐标系 平面C1BD的一个法向量是 E 0 0 1 D 0 2 0 B 2 0 0 设平面EBD的一个
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