曲面积分PPT课件.ppt

定义 设 为光滑曲面 乘积和式极限 都存在 的曲面积分 其中f x y z 叫做被积 f x y z 是定义在 上的一 个有界函数 或第一类曲面积分 若对 做任意分割和局部区域任意取点 则称此极限为函数f x y z 在曲面 上对面积 函数 叫做积分曲面 一 对面积的曲面积分的概念与性质 1 则对面积的曲面积分存在 对积分域的可加性 则有 线性性质 在光滑曲面 上连续 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似 积分的存在性 若 是分片光滑的 例如分成两 片光滑曲面 对称性 2 定理 设有光滑曲面 f x y z 在 上连续 存在 且有 二 对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分 一代 二换 三投影化为二重积分计算 3 一代 将z z x y 代入被积函数f x y z 得f x y z x y 一代 二换 三投影 化为二重积分计算 二换 将dS换成相应的曲面面积元素的表达式 如 z z x y 则 三投影 认清 在xOy平面上的投影区域Dxy 二重积分是在区域上Dxy进行的 说明 可有类似的公式 如果曲面方程为 4 例1 计算曲面积分 其中 是球面 被平面 截出的顶部 解 5 思考 若 是球面 被平行平面z h截 出的上下两部分 则 6 例2 计算 其中 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面 解 设 上的部分 则 与 分别表示 在平面 7 解 Dxy x2 y2 2ax 例3 计算其中 锥面 被柱面x2 y2 2ax a 0 割下的部分 因为 关于xoz面对称 xy yz是y的奇函数 所以 8 例4 解 9 10 例5 计算 其中 是球面 利用对称性可知 解 显然球心为 半径为 利用重心公式 11 设 为光滑的有向曲面 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点 分 记作 P Q R叫做被积函数 叫做积分曲面 或第二类曲面积分 下列极限都存在 向量场 若对 的任 定义 注 区别于重积分里的dydz dzdx dxdy 三 对坐标的曲面积分的概念与性质 12 引例中 流过有向曲面 的流体的流量为 称为Q在有向曲面 上对z x的曲面积分 称为R在有向曲面 上对x y的曲面积分 称为P在有向曲面 上对y z的曲面积分 若记 正侧的单位法向量为 令 则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 13 3 性质 1 若 之间无公共内点 则 2 用 表示 的反向曲面 则 4 物理意义 流向曲面 指定侧的流量 可表示为 14 四 对坐标的曲面积分的计算法 定理 设光滑曲面 取上侧 是 上的连续函数 则 函数z f x y 在Dxy上具有一阶连续偏导数 被积函数R x y z 在 上连续 在xOy面上的投影区域为Dxy 设积分曲面 是由方程z f x y 所给出的曲面上侧 一代 二投 三定向 15 若 则有 若 则有 前正后负 右正左负 说明 如果积分曲面 取下侧 则 注意 对坐标的曲面积分 必须注意曲面所取的侧 计算方法 一代 二投影 三定向 16 解 把 分为上下两部分 例6 计算曲面积分 其中 为球面 外侧在第一和第五卦限部分 17 偶零奇倍 18 例7 设S是球面 的外侧 计算 解 利用轮换对称性 有 偶零奇倍 19 例8计算 解 其中 为平面x y z 1 与三坐标平面所围 立体的表面 取外侧 20 21 五 两类曲面积分之间的联系 1 设有向曲面 由方程z z x y 给出 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数z z x y 在Dxy上具有一阶连续偏导数 R x y z 在 上连续 如果 取上侧 则由对坐标的曲面积分计算公式有 上述有向曲面 的法向量的方向余弦为 22 由对面积的曲面积分计算公式有 由此可见 有 如果 取下侧 则有 但这时 因此 1 式仍成立 23 类似可推得 2 3 合并 1 2 3 三式 得两类曲面积分之间的如下关系 其中cos cos cos 是有向曲面 上点 x y z 处的法向量的方向余弦 24 有向曲面元 两类面积分之间的关系可记为 An Pcos Qcos Rcos An为A在n上的投影 25 例9 对坐标的曲面积分 解 N zx zy 1 2x 2y 1 化成对面积的曲面积分 其中 是z 8 x2 y2 在xOy面上方部分的上侧 n cos cos cos 26 例10设 是其外法线与z轴正向 夹成的锐角 计算 解 27 利用两类曲面积分之间的联系计算对坐标的曲面积分 投影转换法 设 z z x y 取上侧 则 N zx zy 1 所以 28 如取下侧 则N zx zy 1 上式仍成立 如 由x x y z 给出 则 其中N 1 xy xz 前正后负 如 由y y z x 给出 则 其中N yx 1 yz 右正左负 29 例11 计算曲面积分 解 Dxy x2 y2 4 N zx zy 1 x y 1 于是 介于平面z 0和z 2之间的部分的下侧 其中 是旋转抛物面 30 六 高斯 Gauss 公式 定理1 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲 上有连续的一阶偏导数 函数P Q R在 面 所围成 的方向取外侧 则有 Gauss公式 31 Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系 由两类曲面积分之间的关系 得高斯公式的另一种形式 32 关于高斯公式的说明 1 如穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的交点多于两个时 采用分块的方法 2 关于 的边界曲面的正向 是单连通区域时取外侧 是复连通区域时外层取外侧 内层取内侧 3 高斯公式成立的条件 光滑或分片光滑 P Q R在 上一阶偏导连续 4 不闭合时 采取 补面 的方法 1封闭 所围区域 33 例12 用Gauss公式计算 其中 为柱面 闭域 的整个边界曲面的外侧 解 这里 利用Gauss公式 得 原式 用柱坐标 及平面z 0 z 3所围空间 34 例13 利用Gauss公式计算积分 其中 为锥面 解 作辅助面 取上侧 介于z 0及 z h之间部分的下侧 所围区域为 则 35 利用重心公式 注意 36 例14 设 为曲面 取上侧 求 解 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 37 例15 计算曲面积分 其中 解 思考 本题 改为椭球面 时 应如何 计算 提示 在椭球面内作辅助小球面 内侧 然后用高斯公式 38 解 由对称性知 所以除原点外处处有 例16 设 是曲面 取上侧 计算 39 第二项添加辅助面 再用高斯公式计算 得 为xoy平面上夹于 之间的部分 且取下侧 则 取足够小的正数 作曲面 取下侧 40 七 斯托克斯 Stokes 公式 定理设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线 斯托克斯公式 个空间域内具有连续一阶偏导数 的 侧与 的正向符合右手法则 在包含 在内的一 则有 注意 如果 是xoy面上的一块平面区域 则斯托克斯公式就是格林公式 故格林公式是斯托克斯公式的特例 41 为便于记忆 斯托克斯公式还可写作 或用第一类曲面积分表示 Stokes公式的实质 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系 42 例17 为柱面 与平面y z的交线 从z 轴正向看为顺时针 计算 解 设 为平面z y上被 所围椭圆域 且取下侧 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 43 解 记 为平面x y z 2被柱面 x y 1割下的有限部分 取上侧 则 为 的边界曲线 的方向与 的侧符合右手规则 由Stokes公式 其中 是柱面 x y 1与平面x y z 2的交线 且从z轴正向看去取逆时针方向 例18 计算 44 设 在xOy面上的投