第八章第5讲知能训练轻松闯关.DOC

1已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是_解析：依题意，设椭圆方程为1(ab0)，所以解得a24，b23.答案：12中心在坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则该椭圆的方程为_解析：依题意，2c4，c2，又e，则a2，b2，所以椭圆的标准方程为1.答案：13已知点M(，0)，椭圆y21与直线yk(x)交于点A，B，则ABM的周长为_解析：M(，0)与F(，0)是椭圆的焦点，则直线AB过椭圆左焦点F(，0)，且ABAFBF，ABM的周长等于ABAMBM(AFAM)(BFBM)4a8.答案：84“mn0”是“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的_条件解析：把椭圆方程化成1.若mn0，则0.所以椭圆的焦点在y轴上反之，若椭圆的焦点在y轴上，则0即有mn0.故为充要条件答案：充要5椭圆x2my21的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m_.解析：由题意可得，所以m4.答案：46若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距依次成等差数列，则该椭圆的离心率为_解析：由题意知2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，所以e或e1(舍去)答案：7已知P是以F1，F2为焦点的椭圆1(ab0)上的一点，若0，tanPF1F2，则此椭圆的离心率为_解析：因为0，所以，所以PF1PF2c2a，所以e.答案：8已知椭圆C：1(ab0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连结AF，BF.若AB10，AF6，cosABF，则C的离心率e_.解析：设椭圆的右焦点为F1，在ABF中，由余弦定理可解得BF8，所以ABF为直角三角形，又因为斜边AB的中点为O，所以OFc5，连结AF1，因为A，B关于原点对称，所以BFAF18，所以2a14，a7，所以离心率e.答案：9若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为21，则此椭圆离心率的取值范围是_解析：设P到两个焦点的距离分别为2k，k，根据椭圆定义可知：3k2a，又结合椭圆的性质可知椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c，即k2c，所以2a6c，即e.又因为0e1，所以e1.答案：，1)10椭圆：1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，若直线y(xc)与椭圆的一个交点M满足MF1F22MF2F1，则该椭圆的离心率等于_解析：直线y(xc)过点F1，且倾斜角为60，所以MF1F260，从而MF2F130，所以MF1MF2.在RtMF1F2中，MF1c，MF2c，所以该椭圆的离心率e1.答案：111已知椭圆1(ab0)，点P在椭圆上(1)求椭圆的离心率；(2)设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点，若点Q在椭圆上且满足AQAO，求直线OQ的斜率解：(1)因为P在椭圆上，故1，可得.于是e21，所以椭圆的离心率e.(2)设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx.设点Q的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由AQAO，A(a,0)及y0kx0得，(x0a)2k2xa2，整理得(1k2)x2ax00.而x00，故x0.代入，整理得(1k2)24k24.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k.12点A，B分别是椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解：(1)由题意可知点A(6,0)，F(4,0)设点P的坐标为(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)，且y0，由已知得即2x29x180，解得或(舍)所以点P的坐标为.(2)直线AP的方程为xy60，设点M的坐标为(m,0)，由题意可知|m6|.又6m6，所以m2，所以d2(x2)2y2x24x420x2215.所以当x时，d取得最小值.1已知P为椭圆1上的一点，M，N分别为圆(x3)2y21和圆(x3)2y24上的点，则PMPN的最小值为_解析：由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且PF1PF210，从而PMPN的最小值为PF1PF2127.答案：72设F1，F2分别是椭圆1的左，右焦点，P为椭圆上任一点，点M的坐标为(6,4)，则PMPF1的最大值为_解析：因为P在椭圆上，所以PF1PF22a10，所以PMPF1PM10PF210PMPF210MF210515，当P，M，F2三点共线时取等号答案：153以椭圆上任意一点与焦点所连结的线段为直径的圆与以长轴为直径的圆的位置关系是_解析：如图，设线段是PF1，O1是线段PF1的中点，连结O1O，PF2，其中O是椭圆的中心，F2是椭圆的另一个焦点，则在PF1F2中，由三角形中位线定理可知，两圆的连心线的长是OO1PF2(2aPF1)aPF1Rr.答案：内切4设e1，e2分别为具有公共焦点F1与F2的椭圆和双曲线的离心率，P为两曲线的一个公共点，且满足120，则的值为_解析：设椭圆的长半轴长为a1，双曲线的实半轴长为a2，F1F22c，由题意得PF1PF22a1，PF1PF22a2，所以PFPF2a2a.又因为120，所以PF1PF2.所以PFPFF1F，即2a2a4c2.所以222，即2，即2.答案：25椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2.点P(a，b)满足PF2F1F2.(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点若直线PF2与圆(x1)2(y)216相交于M，N两点，且MNAB，求椭圆的方程解：(1)设F1(c,0)，F2(c,0)(c0)，因为PF2F1F2，所以2c.整理得2()210.即2e2e10，所以e或1(舍)(2)由(1)知a2c，bc，可得椭圆方程为3x24y212c2，直线PF2的方程为y(xc)A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x28cx0.解得x10，x2c.得方程组的解不妨设A，B(0，c)，所以ABc.于是MNAB2c.圆心(1，)到直线PF2的距离d.因为d2242，所以(2c)2c216.整理得7c212c520，得c(舍)或c2.所以椭圆方程为1.6(选做题)已知直线l：yx，圆O：x2y25，椭圆E：1(ab0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值解：(1)设椭圆的半焦距为c，圆心O到直线l的距离d，所以b.由题意知所以a23，b22.所以椭圆E的方程为1.(2)证明：设点P(x0，y0)，过点P的椭圆E的切线l0的方程为yy0k(xx0)，联立直线l0与椭圆E的方程得消去y得(32k