平面的概念及表示.ppt

2 1 1平面 一 平面的特征 平面 是最基本的几何概念 对它只能描述而不加定义 特点 平 无限伸展 无大小 无厚薄 练习 判断下列说法是否正确 1 平行四边形是一个平面 2 一个平面的面积是100cm2 3 两个平面叠在一起比一个平面厚 4 一个平面把空间分成了两部分 二 平面的表示方法 1几何表示 一般用平行四边形表示 但在特殊情况下 也可以用三角形或其它图形来表示 注意 1 当平面水平放置时 通常把平行四边形的锐角画成45 横边画成邻边的2倍长 2 画直线与平面或平面与平面相交时 被遮挡的部分画成虚线或不画 2字母表示 用希腊字母 来表示 例 平面 注意 平面 二字不能省略 用图形的顶点字母来表示 例 平面ABCD 用平行四边形的一条对角线的顶点字母来表示 例 平面AC 二 平面的表示方法 长方体是我们非常熟悉的空间几何图形 有8个顶点 12条棱 6个面 你能发现图中的点 线 面之间有哪些位置关系呢 请举例说明 三 点 线 面的基本位置关系的符号表示 从运动的观点看 点动成线 线动成面 从而可以把直线 平面看成是点的集合 因此它们之间的关系亦可借用集合中的符号来表示 A a A A A a b a a a A 例1 如图 用符号表示下列图形中点 直线 平面之间的位置关系 a A B a b P l 四 练习 1 将下列文字语言转化为符号语言 6 点A在平面 内 但不在平面 内 7 直线a经过平面 外一点M 8 直线l在平面 内 又在平面 内 1 点A B在直线a上 2 点C在平面 内 3 直线a在平面 内 4 点O不在平面 内 5 直线b不在平面 内 长方体是我们非常熟悉的空间几何图形 你能发现图中的点 线 面之间有哪些位置关系呢 例2三个平面可以将空间分为多少部分 4或6或7或8部分 作业 P511 2 8 平面 P51作业 1 2 8 解 共分为 3 9 27部分 桌面 A B 观察下图 你能得到什么结论 桌面 A B 观察下图 你能得到什么结论 公理1如果一条直线上两点在一个平面内 那么这条直线上的所有的点都在这个平面内 即直线在平面内 桌面 A B 观察下图 你能得到什么结论 一 平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 说明 也叫做直线在平面内或平面经过直线 这是判断一条直线是否在平面内的依据 用图形表示时 表示直线的线段一定要画在表示平面的平行四边形内部 图形表示 观察下图 你能得到什么结论 B C A B C A B C A 观察下图 你能得到什么结论 公理2过不在同一直线上的三点 有且只有一个平面 B C A B C A 观察下图 你能得到什么结论 23 可编辑 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 说明 可以叙述为 不共线的三点确定一平面 这是确定一个平面的依据 有且只有 和 确定 的含义包括两方面 一是存在性 二是唯一性 这三点必须是不共线的 图形表示 练习 判断下列说法是否正确 1 三点确定一个平面 2 一个圆周上的三点可以确定一个平面 3 如果两个平面有三个不共线的公共点 那么这两个平面就重合 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论2经过两条相交直线 有且只有一个平面 推论3经过两条平行直线 有且只有一个平面 推论1经过一条直线和这条直线外一点 有且只有一个平面 公理2经过不共线的三点 有且只有一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过公共点的公共直线 图形表示 这条公共直线叫做这两个平面的交线 称这两个平面相交 记作 l 说明 这是判断两个平面相交的依据 练习 1 判断下列说法是否正确 1 两个平面相交至少有两个公共点 2 两个平面相交 它们只有有限个公共点 3 过一条直线的平面有无数个 4 两个平面的交线可能是一条线段 5 两个相交平面有不在同一直线上的公共点 6 两个平面有无数个公共点 则它们重合 图形表示 判断题 1 经过空间中一个点和一条直线只能作一个平面 2 若平面和有一条公共直线L和一个公共点P 则P 3 三条直线两两相交 则它们在同一个平面内 4 三条直线两两平行 则它们在同一个平面内 5 如果两个平面有三个公共点 则这两个平面重合 二 选择题1 经过同一条直线上三个点的平面 A有且只有1个B有且只有3个C有无数个D只有0个2 直线a b c两两平行 但不共面 经过其中两条直线的平面共有 A1个B3个C0个D6个3 过不共面的4个点中的3个点的平面共有 A0个B3个C4个D无数个4 空间可以确定一个平面的条件是 A两条直线B一点和一直线C一个三角形D三个点 C B C C 5 已知平面 与 都相交 则这三个平面可能的交线有 A1条或2条B2条或3条C1条或3条D1条或2条或3条 C 7 下列说法中正确的是 A空间的三个点确定一平面B四边形一定是平面图形C梯形一定是平面图形D六边形一定是平面图形8 下列的命题1 两条直线确定一个平面 2 点A在平面 内 也在直线a上 则直线a在平面 内 3 平面 和 相交于不在同一条直线上的三个点A B C 4 三条直线两两平行 则最多可确定三个平面 其中正确的有 A0B1C2D3 C B 2 小结 平面的基本性质 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内 那么这条直线上的所有点都在这个平面内 公理2 过不在一条直线上的三点 有且只有一个平面 推论2两条相交直线确定一个平面 推论3两条平行直线确定一个平面 推论1一条直线和外一点确定一个平面 公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们有且只有一条过公共点的公共直线 3 练习 P 43 练习 1 2 3 2 描述三个公理的三种语言 文字语言 图形语言 符号语言 4 作业 P 51习题2 1 3 1 2 7 再见 要努力啊 5 空间平行线的传递性 公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行 即a b b c 则a c 说明 公理4是判断空间两直线平行的依据 例1如图 定义 若A B C D四点不共面 顺次连接四点得四边形ABCD是称作空间四边形 若空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 四边形EFGH是平行四边形 若再加条件AC BD 则四边形EFGH是什么图形 例 请你作出长方体ABCD A1B1C1D1两个对角面AA1C1C和BB1D1D的交线 解 设AC与BD相交于O A1C1与B1D1相交于O1 连结OO1 即为所求 证明 一 共线问题 证明A B C三点共线 一般先证直线AB是平面 的交线 再证点C是 与 的公共点 从而点C在AB上 所以A B C三点共线 例4 若空间四边形ABCD的四边AB BC CD DA上各有一点P Q R S 且直线PS与QR交于点K 求证 B D K三点共线 二 共点问题 空间四边形ABCD中 E F G H分别是AB BC CD DA上的点 已知EH和FG交于P点 求证 EH FG BD三线共点 例5 A E F B H D G C P 三