山东实验中学高三数学上旬质量检测试卷理

山东省实验中学2019届高三数学4月上旬质量检测试卷 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求解出两个集合，根据交集定义求解出结果.【详解】因为所以本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.已知复数z满足，则复数z的虚部为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据复数的运算法则求出，由此得到虚部.【详解】z1+i=3+2iz=3+2i1+i=3+2i1-i1+i1-i=5-i2=52-12i复数的虚部为-12本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的运算及复数的基本概念，属于基础题.3.设等差数列an的前n项和为Sn，若a4+S5=2,S7=14，a10=A. 8B. 18C. 14D. 14【答案】D【解析】【分析】利用a1和d表示出已知条件，解出a1和d，利用a10=a1+9d求出结果.【详解】因为a4+S5=2，且S7=14所以6a1+13d=27a1+21d=14，解得a1=4d=2所以a10=a1+9d=4+18=14本题正确选项：D【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，属于基础题.4.已知三个村庄A，B，C构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米为了方便市民生活，现在ABC内任取一点M建一大型生活超市，则M到A，B，C的距离都不小于2千米的概率为A. 25B. 35C. 115D. 15【答案】C【解析】【分析】根据条件作出对应的图象，求出对应的面积，根据几何概型的概率公式进行计算即可【详解】解：在ABC中，AB5，BC12，AC13，则ABC为直角三角形，且B为直角。则ABC的面积S12512=30，若在三角形ABC内任取一点，则该点到三个定点A，B，C的距离不小于2，则该点位于阴影部分，则三个小扇形的圆心角转化为180，半径为2，则对应的面积之和为S222=2，则阴影部分的面积S302 ，则对应的概率PS阴影SABC30-2301-15 ，故选：C【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出对应区域的面积是解决本题的关键5.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑若一个鳖臑的主视图、侧视图、俯视图均为直角边长为2的等腰直角三角形(如图所示)，则该鳖臑的表面积为A. 8B. 2+42C. 4+42D. 4十22【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原出直观图，可得到四面体ABCD，分别求解出各个面的面积，加和得到表面积.【详解】根据三视图可以画出该几何体的直观图为如图所示的四面体ABCDAB垂直于等腰直角三角形BCD所在平面，将其放在正方体中易得该鳖臑的表面积为：S=1222+22+222+22=4+42本题正确选项：C【点睛】本题考查三视图还原直观图、椎体表面积的求解，属于基础题.6.在平行四边形ABCD中，DAB=120,|AB|=2,|AD|=1，若E为线段AB中点，则DEAC=A. 12B. 1C. 32D. 2【答案】C【解析】【分析】根据向量的线性运算将所求向量进行拆解，得到DEAC=12ABADAB+AD，然后利用数量积的运算律，求解得到结果.【详解】因为平行四边形ABCD中，DAB=120，AB=2，AD=1，E为线段AB中点所以DEAC=AEADAB+BC=12ABADAB+AD=12AB2AD212ABAD=1222121212cos120=32本题正确选项：C【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积运算，关键在于能够将所求向量进行拆解，转化为已知向量的形式.7.在侧棱长为a的正三棱锥OABC中，侧棱OA，OB，OC两两垂直，现有一小球P在该几何体内，则小球P最大的半径为A. 3+36aB. 336aC. 236aD. 2+36a【答案】B【解析】【分析】原题即为求正三棱锥内切球的半径，利用体积桥的方式建立等量关系，解方程求出内切球半径.【详解】当小球与三个侧面OAB，OAC，OBC及底面ABC都相切时，小球的体积最大此时小球的半径最大，即该小球为正三棱锥OABC的内切球设其半径为OA=OB=OC=a AB=AC=BC=2aVO-ABC=1312a2a=16a3VPOAB+VPOBC+VPOAC+VPABC=1312a2+12a2+12a2+342a2r=3+36a2r由题可知VOABC=VPOAB+VPOBC+VPOAC+VPABC因此16a3=3+36a2rr=13+3a=336a本题正确选项：B【点睛】本题考查三棱锥的内切球问题，求解三棱锥的内切球半径通常采用体积桥的方式，利用几何体体积和表面积，得到r=3VS.8.设抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F(1，0)，过点P(1，1)的直线l与抛物线C交于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，则|AB|=A. 2B. 15C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】由抛物线焦点坐标求得抛物线方程，设出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，利用P是AB中点列方程，求得直线的斜率.由此求得直线的方程，利用弦长公式求得弦长AB.【详解】由于焦点F1,0，故p2=1,p=2，抛物线方程为y2=4x.设Ax1,y1,Bx2,y2，由于直线的斜率存在且不为零，设：y1=kx1，由y1=kx1y2=4x，消去x，得ky24y+44k=0，由P为线段AB的中点可知，y1+y2=4k=2，所以k=2，所以直线的方程为y=2x1，y1y2=2，所以AB=1+1k2y1+y224y1y2 =15.故选B.【点睛】本小题主要考查抛物线方程的求法，考查直线和抛物线相交所得弦长的求法，属于中档题.9.记函数f(x)=x2+2ax3在区间(,3上单调递减时实数a的取值集合为A；不等式x+1x2a(x2)恒成立时实数a的取值集合为B，则“xB”是“xA”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用二次函数对称轴求出集合A，利用基本不等式求解出集合B，从而得到AB，得到结论.【详解】函数fx=x2+2ax3在区间,3上单调递减2a23a3，即A=a|a3不等式x+1x2a(x2)恒成立等价于x+1x2mina(x2)又当x2时，x20x+1x2=x2+1x2+22x21x2+2=4当且仅当x2=1x2时，即x=3时等号成立，符合条件所以x+1x2min=4 a4，即B=a|a4AB“xB”是“xA”的必要不充分条件本题正确选项：B【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断、恒成立问题的求解，解题关键在于能够将恒成立问题变为最值得求解，利用基本不等式求出最值，从而得到结果.10.已知函数f(x)=2sin(x+)(0,|2)的最小正周期为，将函数f(x)的图象向右平移6个单位得到函数g(x)的图象，且g(x+3)=g(3x)，则的取值为A. 512B. 3C. 6D. 12【答案】C【解析】【分析】通过最小正周期得到，再通过平移得到gx解析式，根据x=3是gx的对称轴可得3+=2+k，再根据的范围确定结果.【详解】函数fx的最小正周期为 =2 fx=2sin2x+将函数fx的图象向右平移6个单位得到函数gx的图象gx=2sin2x6+=2sin2x+3又gx+3=g3x x=3为函数gx图象的一条对称轴sin23+3=sin3+=13+=2+k，kZ，即=6+k，kZ又0,a0)的左焦点为F，点B的坐标为(0，b)，若直线BF与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点，且PB=5BQ，则双曲线C的离心率为A. 23B. 32C. 3D. 2【答案】B【解析】【分析】将直线BF与双曲线渐近线联立，可求得x的值；利用PB=5BQ可得xP=5xQ，将x的值代入，可得3a2c=0，从而求得离心率.【详解】由题可知，Fc,0，B0,b则直线BF方程为xc+yb=1又双曲线C渐近线方程为y=bax由xc+yb=1y=bax可解得x=acca或x=acac由PB=5BQ可知，xP=5xQ由题可知：xP=acca，xQ=acac，则acca=5acac化简得3a2c=0，所以e=ca=32【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键在于能够通过向量的关系得到a,c的齐次方程，通过方程求得离心率.12.已知(0,2),(0,2),sin(2+)=32sin,cos的最小值为A. 53B. 55C. 12D. 23【答案】A【解析】【分析】将已知等式变为sin+=32sin+，展开可求得tan+=5tan，利用两角和差公式可得tan=4tan1+5tan2，利用基本不等式求得tan的范围，从而求得cos的最小值.【详解】因为sin2+=32sin，即sin+=32sin+则sin+cos+cos+sin=32sin+coscos+sin有sin+cos=5cos+sin tan+=5tan即tan+tan1tantan=5tan那么tan=4tan1+5tan2=45tan+1tan425=25当5tan=1tan即tan=55时等号成立因此tan2=sin2cos2=1cos2cos245，即cos259又0,2，cos0 cos53本题正确选项：A【点睛】本题考查两角和差正弦公式、正切公式的应用，基本不等式求最值问题，关键在于能够将已知角进行拆解，从而得到tan；求解最值问题时，常用方法是构造出基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若C=3,b=2,c=3，则A=_【答案】512【解析】【分析】利用正弦定理得到B，再由内角和定理得到结果.【详解】C=3,b=6,c=3，根据正弦定理可得bsinB=csinC，即6sinB=332解得sinB=22，又bc，故B为锐角，故B=4A=-4-3=512故答案为：512【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查计算能力，属于基础题.14.已知直线l:mx+ny1=0与圆O:x2+y2=1相交的弦长|AB|=22，则m2+n2=_【答案】87【解析】【分析】利用AB=2r2d2=22得到关于m2+n2的方程，解方程得到结果.【详解】设圆心O到直线l:mx+ny1=0的距离为d则d=1m2+n2 AB=2r2d2=211m2+n2又AB=22 211m2+n2=22解得m2+n2=87本题正确结果：87【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长问题，关键是明确截得的弦长等于2r2d2，属于基础题.15.某同学手中有4张不同的“猪年画”，现要将其投放到A、B、C三个不同号的箱子里，则每个箱子都不空的概率为_【答案】49【解析】【分析】首先确定总体的方法总数，再利用平均分组的方式求得每个箱子不空的方法数量，利用古典概型公式求得结果.【详解】每张“猪年画”的投放方法有3种4张不同的“猪年画”投放的方法总数为34=81又由于每个箱子不空，其组合为2,1,1型所以投放方法有C42A33=36P=3681=49本题正确结果：49【点睛】本题考查利用排列组合解决古典概型的问题，关键是在解决平均分组问题时，要注意平均分了n组，需要除以Ann来去除重复.16.已知f(x)=0,01,g(x)=|lnx|，若函数y=f(x)+g(x)m(x0)恰有两个不相等的零点，则实数m的取值范围为_【答案】(ln33,0)5,+)【解析】【分析】通过分类讨论，得到hx=fx+gx的解析式；将问题转化为y=m与hx图象有两个交点的问题；分别判断出hx在每一段上的单调性和值域，结合函数图象得到m的取值范围.【详解】因为fx=0,01，gx=lnx所以fx+gx=hx=lnx,0x1lnxx2+6,13因为函数y=fx+gxm(x0)恰有两个不相等的零点所以直线y=m与函数hx=lnx,0x1lnxx2+6,13的图象共有2个不同的公共点当0x1，hx单调递减，所以hx0,+当1x3时，hx=1x2x=12x2x3时，hx单调递增，所以hxln33,+数形结合可知，当且仅当mln33,05,+时，直线y=m与函数y=hx的图象有2个不同的公共点，即函数y=fx+gxm(x0)恰有两个不相等的零点本题正确结果：ln33,05,+【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围问题，关键在于能够将零点问题转化为两个函数的交点个数问题，然后根据函数的单调性得到函数图象，采用数形结合的方式求得需要的结果.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.设数列an的前n项和为Sn，若anSn2=1(nN)(1)求出数列an的通项公式；(2)已知bn=2n(an1)(an+11)(nN)，数列bn的前n项和记为Tn，证明：Tn23,1)【答案】（1）an=2n（2）见解析【解析】【分析】（1）利用Sn+1-Sn=an+1，列出an+1-Sn+12=1后与an-Sn2=1作差，可得an+1=2an，从而得到an为等比数列，利用a1-S12=1求出a1后，可得到通项公式；（2）写出bn的通项公式，采用裂项相消的方法可得Tn=1-12n+1-1，可知n=1时，Tn最小且Tn1，从而证得结论.【详解】（1）因为an-Sn2=1，所以an+1-Sn+12=1两式相减可得an+1-an-Sn+1-Sn2=0 an+1=2an，即an+1an=2在an-Sn2=1中，令n=1可得：a1=2所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列an=2n（2）bn=2n2n-12n+1-1=12n-1-12n+1-1所以：Tn=121-1-122-1+122-1-123-1+.+12n-1-12n+1-1=1-12n+1-1所以Tn是一个单调递增的数列当n=1时，Tnmin=T1=1-122-1=23当n+时，Tn1所以Tn23,1【点睛】本题考查利用递推关系求解数列通项公式、裂项相消法求和，关键在于能够利用Sn+1-Sn=an得到an为等比数列；在进行数列求和时，要根据通项公式所满足的形式选取合适的方法，对于分式且分母为乘积形式的通项公式，求和时多选取裂项相消的方法.18.如图所示，底面为正方形的四棱锥PABCD中，AB=2，PA=4，PB=PD=25，AC与BD相交于点O，E为PD中点(1)求证：EO/平面PBC；(2)设线段BC上点F满足CF=2BF，求锐二面角EOFC的余弦值【答案】（1）见解析（2）4141【解析】【分析】（1）利用三角形中位线证得EO/PB,进而证得EO/平面PBC.（2）建立空间直角坐标系后，通过平面EOF和平面COF的法向量，计算出二面角的余弦值.【详解】（1）因为O为AC与BD交点，且ABCD是正方形，所以O为BD中点，因为E为PD的中点，所以EO/PB，PB平面PBC,EO平面PBC，所以EO/平面PBC.（2）因为AB=2,PA=4,PB=PD=25，所以PA2+AB2=PB2,PA2+AD2=PD2,所以PAAB,PAAD,所以PA平面ABCD，因为ABCD是正方形，所以ADAB，分别以AB,AD,AP为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系.则A0,0,0,O1,1,0,E0,1,2,F2,23,0.OE=1,0,2,OF=1,13,0，设平面EOF的法向量为n=x,y,z，则nOE=0nOF=0，令z=1，则x=2,y=6，所以n=2,6,1.因为PA平面ABCD，所以平面OFC的法向量可以取n1=0,0,1，所以cosn,n1=nn1nn1=4141.所以锐二面角EOFC的余弦值为4141.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题.19.为了调查民众对国家实行“新农村建设”政策的态度，现通过网络问卷随机调查了年龄在20周岁至80周岁的100人，他们年龄频数分布和支持“新农村建设”人数如下表：(1)根据上述统计数据填下面的22列联表，并判断是否有95的把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异；(2)为了进一步推动“新农村建设”政策的实施，中央电视台某节目对此进行了专题报道，并在节目最后利用随机拨号的形式在全国范围内选出4名幸运观众(假设年龄均在20周岁至80周岁内)，给予适当的奖励若以频率估计概率，记选出4名幸运观众中支持“新农村建设”人数为，试求随机变量的分布列和数学期望参考数据：参考公式：【答案】（1）22列联表见解析，无95的把握（2）期望为，分布列见解析【解析】【分析】（1）根据题目所给数据填写好22联表，计算K2的值，由此判断没有95%把握认为以50岁为分界点对“新农村建设”政策的支持度有差异.（2）利用二项分布计算公式，计算出分布列和数学期望.【详解】（1）列联表如下图所示：K2=100402020202604060402.7780当xa1,+时，fx0fx的单调递增区间为x,a1，单调递减区间为xa1,+当x=a1时，函数fx有极大值fa1=ea11，fx没有极小值（2）当a=1时，由（1）知，函数fx在x=a1=0处有最大值f0=e01=0又因为gx=xt2+lnxmt20方程fx1=gx2有解，必然存在x20,+，使gx2=0x=t，lnx=mt等价于方程lnx=mx有解，即m=xlnx在0,+上有解记hx=xlnx，x0,+hx=lnx+1，令hx=0，得x=1e当x0,1e时，hx0，hx单调递增所以当x=1e时，hxmin=1e所以实数m的最小值为1e【点睛】本题考查利用导数求解函数单调区间和极值、能成立问题的求解.解题关键是能够将原题的能成立问题转化为方程有解的问题，从而进一步转化为函数最值问题的求解，对于学生转化与化归思想的应用要求较高.21.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的短轴长为23，且离心率为12，圆D:x2+y2=a2+b2(1)求椭圆C的方程，(2)点P在圆D上，F为椭圆右焦点，线段PF与椭圆C相交于Q，若PF=QF，求的取值范围【答案】（1）x24+y23=1（2）7+13,53【解析】【分析】（1）根据短轴长和离心率求解出a,b，从而得到椭圆方程；（2）假设P,Q坐标，利用PF=QF可得x1=x0+1y1=y0，代入圆中整理消元可得到关于x0的等式：142x02+21x0+4226=0，则此方程在2,2上必有解；将方程左侧看做二次函数fx，通过二次函数图像，讨论得出的取值范围.【详解】（1）由题可知2b=23e=ca=12，又a2=b2+c2，解得b=3a=2椭圆C的方程为x24+y23=1（2）由（1）知圆D:x2+y2=7 D:x2+y2=7，点F坐标为1,0设Px1,y1，Qx0,y0，由PF=QF可得：1x1,y1=1x0,y0，(0)所以x1=x0+1y1=y0，由x12+y12=7可得：x0+12+y02=7又y02=334x02，代入，消去y0，整理成关于x0的等式为：142x02+21x0+4226=0，则此方程在2,2上必须有解令fx=142x2+21x+4226则f2=9266，f2=2+26，=2106若f2=0，则=173（舍去）或=1+73若f2=0，则=17（舍去）或=1+7若fx=0在2,2上有且仅有一实根则由f2f20得：1+730f20024122解得：7153综上可得：的取值范围是7+13,53【点睛】本题考查椭圆标准方程求解、二次函数零点分布问题.解决此题的难点在于能够通过向量关系将问题转化为二次函数在特定区间内的根的个数的问题，即二次函数图象问题.讨论二次函数图象通常需讨论以下内容：开口方向、对称轴位置、判别式、区间端点值符号.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的方程为x24+y23=1以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为sin(4)=2(1)求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程；(2)若直线与x轴和y轴分