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2 2冲激响应和阶跃响应 一 冲激响应 由单位冲激函数 t 所引起的零状态响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 记为h t h t T 0 t 例1描述某系统的微分方程为y t 5y t 6y t f t 求其冲激响应h t 解根据h t 的定义有h t 5h t 6h t t h 0 h 0 0先求h 0 和h 0 因方程右端有 t 故利用系数平衡法 h t 中含 t h t 含 t h 0 h 0 h t 在t 0连续 即h 0 h 0 积分得 h 0 h 0 5 h 0 h 0 6 1 考虑h 0 h 0 由上式可得h 0 h 0 0 h 0 1 h 0 1对t 0时 有h t 5h t 6h t 0故系统的冲激响应为一齐次解 微分方程的特征根为 2 3 故系统的冲激响应为h t C1e 2t C2e 3t t 代入初始条件求得C1 1 C2 1 所以h t e 2t e 3t t 例2描述某系统的微分方程为y t 5y t 6y t f t 2f t 3f t 求其冲激响应h t 解根据h t 的定义有h t 5h t 6h t t 2 t 3 t 1 h 0 h 0 0先求h 0 和h 0 由方程可知 h t 中含 t 故令h t a t p1 t pi t 为不含 t 的某函数 h t a t b t p2 t h t a t b t c t p3 t 代入式 1 有 a t b t c t p3 t 5 a t b t p2 t 6 a t p1 t t 2 t 3 t 整理得a t b 5a t c 5b 6a t p3 t 5p2 t 6p1 t t 2 t 3 t 利用 t 系数匹配 得a 1 b 3 c 12所以h t t p1 t 2 h t t 3 t p2 t 3 h t t 3 t 12 t p3 t 4 对式 3 从0 到0 积分得h 0 h 0 3对式 4 从0 到0 积分得h 0 h 0 12故h 0 3 h 0 12 微分方程的特征根为 2 3 故系统的冲激响应为h t C1e 2t C2e 3t t 0代入初始条件h 0 3 h 0 12求得C1 3 C2 6 所以h t 3e 2t 6e 3t t 0结合式 2 得h t t 3e 2t 6e 3t t 对t 0时 有h t 5h t 6h t 0 二 阶跃响应 g t T t 0 由于 t 与 t 为微积分关系 故 例3如图所示的LTI
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