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2 1数列的概念与简单表示法 1 首先我们来看一些例子 1 三角形数1 3 6 10 2 正方形数1 4 9 16 1 数列的定义 按一定顺序排列的一列数叫做数列 有序性 1 1 3 5 7 2 7 5 3 1 数列中的数和集合中的元素的区别 1 数列中的数有顺序 而集合中的元素是无序的 2 数列中的数是可以重复出现的 而集合中的元素是互异的 3 1 1 1 1 2 序号和项 数列中的每一个数都叫做这个数列的项 各项依次叫做这个数列的第1项 首项 第2项 第n项 注意 an 和an的区别an表示这个数列中的第n项 注 右下角标表示这一项在数列中的位置序号 an 2n 4 数列的分类 按项数来分为 有穷数列和无穷数列 按项数之间的大小关系来分 递增数列和递减数列和摆动数列和常数数列 书本p28 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 递增数列 从第2项起 每一项都不小于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起 每一项都不大于它的前一项的数列 常数数列 各项相等的数列 摆动数列 从第2项起 有些项大于它的前一项 有些项小于它的前一项的数列 数列的通项公式 可以用来表示数列的第n项与n关系的一个公式 注意 并不是所有数列都能写出其通项公式 一个数列的通项公式有时是不唯一的 数列通项公式的作用 求数列中任意一项 检验某数是否是该数列中的一项 6 数列实质 从映射 函数的观点来看 数列也可看作是一个定义域为正整数集n 或它的有限子集 1 2 3 n 的函数 当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值 数列的通项公式就是相应函数的解析式 例1 根据下面数列的通项公式 写出前3项 1 思考 例2 写出下列数列的一个通项公式 使它的前四项分别是下列各数 2 2 0 2 0 6 数列的三种表示形式 列表法 通项公式法和图象法 一些孤立的点 例3 课本p35例2 图2 1 5中的三角形称为希尔宾斯基 sierpinski 三角形 在下图4个三角形中 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项 请写出这个数列的一个通项公式 并在直角坐标系中画出它的图象 7 递推数列 问题 如果一个数列 an 的首项a1 1 从第二项起每一项等于它的前一项的2倍再加1 即an 2an 1 1 n n n 1 求该数列的前三项 像上述问题中给出数列的方法叫做递推法 式称为递推公式 递推公式也是数列的一种表示方法 例4设数列 an 满足a1 1 an 1 n 2 写出它的前5项 深化练习 例5 写出下面数列的通项公式 使它的前面四项分别是下列个数 1 3 5 9 17 33 5 1 11 111 1111 6 0 1 0 11 0 111 0 1111 7 2 6 12 20 30 42 8 1 3 3 5 5 7 7 9 9 求通项公式的一般方法 1 整数和分数同时存在 将整数化为分数 2 正数与负数分离 3 分子与分母分离 4 整数与分数分离 作业 课本p33习题a1 2 4 6
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