“线束原理”在几何证明中的应用.doc

线束原理”在几何证明中的应用刚上初中三年级的同学现在开始学“平行线分线段成比例”和“相似三角形”，这两部分有相互交叉的内容，例如在“A”字型相似模型和“X”型相似模型中，“平行线分线段成比例”中也有这两种模型（详见比例与相似高级教程（十）：线束原理），它们的共同点是有两条或两条以上的线段经过同一点，那么用“相似”的原理或“平行线分线段成比例”的原理都可以得到应有的结论。但是，当线段较多让人眼花缭乱时，我们仅用相似的原理来求解就显得过程臃肿，较为繁杂，反而用“平行线分线段成比例”的原理来求解则显得简洁明了。当经过同一点的线段超过两条（至少三条）时，可用其推论“线束原理”（详见比例与相似高级教程（十）：线束原理）来解决。【例1】如图1，M、N为ABC边BC上两点，且满足BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN延长线于点D、E和F。求证：EF=3DE。【提示】有三条线段经过点A，且BM=MN=NC，所以构造“线束模型”来解决。如图1-1，过点D作DGBC，分别交AM、AN、AC于点R、S、G，则根据“线束原理”，DRRSSG=BMMN：NC=111，DEAG=DRRG=12；DFAG=DSSG=21。【例2】如图2，设E、F分别为ABC的边AC、AB的中点，D为BC边上一点，P在BF上，DPCF，Q在CE上，DQBE，PQ交BE于点R，交CF于点S，求证：PR=RS=SQ。【提示】点G为ABC的重心（或中心），故：FGFC=EGEB=13；PRPQ=PKPD，QSPQ=QHQD；根据“线束原理”，PKPD= FGFC=13；QHQD= EGEB=13，PRPQ= QSPQ= 13。【注】此题图形线段较多，要充分利用已知条件识别比例关系。【例3】如图3，梯形ABCD的底边AB上任取一点M，过M作MKBD，MNAC，分别交AD、BC于点P，Q，求证：KP=QN。【提示】KPKN=KRKM=DODB=DC(DC +AB)；QNKN=NSMN=COCA=DC(DC +AB)；故KP=QN【注】求出KP和QN与KN的比例关系是解开此题的关键思想。【例4】如图4，AB=AC，BDAC，ABCE，过A点的直线分别交BD、CE于点D、E，求证：（1）AM=NC；（2）MNDE。【提示】（1）利用平型关系构造“线束模型”，如图4-1。延长DB交EC延长线于点F，则四边形ABFC为菱形。根据线束原理：AMAB=ECEF；又NCBF=ECEF，AMAB=NCBF=NCAB；AM=NC。（2）用以前学的角度关系来证明MNDE不太容易，此题考虑用“平行线分线段成比例”的逆定理（详见比例与相似高级教程（二）：成比例线段判断平行关系）来证明。根据线束原理：BMMA=CFCE=ABCE=BNNE，MNDE。【注】通过此题，我们证明两直线平行的方法又多了一种，就是“平行线分线段成比例”的逆定理。【例5】如图5，ABC为等腰直角三角形，点P为AB上任意一点，PFBC，PEAC，AF交PE于点N，BE交PF于点M。求证：（1）PM=PN；（2）MNAB。【提示】（1）根据线束原理：ENNP=CFBF=CFFP；PMMF=AECE=CFFP；EN:NP=PM:MF=CFFP；设CF=a,FP=b，则：PN=PM。（2）PNM=45，APE=45，MNAB.【练习题】如图6，正方形BFDE内接于ABC，CE与DF交于点N，AF交DE于点M，CE与AF交于点P。求证：（1）EM=DN（MD=FN）；（2）MNAC。【提