数列通项公式的求法及数列求和方法.doc

数列通项公式的求法及数列求和方法详解专题一：数列通项公式的求法一、 观察法（关键是找出各项与项数n的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）答案：（1） （2） （3） （4）.二、 公式法 公式法1：特殊数列例2： 已知数列an是公差为d的等差数列，数列bn是公比为q的(qR且q1)的等比数列，若函数f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求数列 a n 和 b n 的通项公式；答案：an=a1+(n1)d = 2(n1)； bn=bqn1=4(2)n1例3. 等差数列是递减数列，且=48，=12，则数列的通项公式是（ ） (A) (B) (C) (D) (D)例4. 已知等比数列的首项，公比，设数列的通项为，求数列的通项公式.简析：由题意，又是等比数列，公比为，故数列是等比数列，易得.点评：当数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求首项及公差公比.公式法2： 知利用公式 .例5：已知下列两数列的前n项和sn的公式，求的通项公式.（1）. （2）答案：（1）=3，（2）点评：先分n=1和两种情况，然后验证能否统一.三、累加法 【型如的递推关系】简析：已知,，其中f(n)可以是关于n的一次、指数函数、分式函数，求通项.若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则时时，上式也成立.所以评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。练习1：已知数列6，9，14，21，30，求此数列的一个通项. .答案：练习2：若在数列中，求通项 .答案：=练习3：已知数列满足，求此数列的通项公式. 答案：四、累积法 【 形如=(n)型】（1）当f(n)为常数，即：（其中q是不为0的常数），此时数列为等比数列，=.（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 例7、已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。例8、（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列满足，求的通项公式。解：因为所以用式式得则，因为所以故所以由，则，又知，则，代入得。所以，的通项公式为评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，从而可得当的表达式，最后再求出数列的通项公式。练习1：在数列中， =1, (n+1)=n，求的表达式. 答案： 练习2： 已知数列中，前项和与的关系是 ，试求通项公式. 答案： 思考题1：已知,求数列an的通项公式.分析：原式化为 若令,则问题进一步转化为形式，累积得解.五、构造特殊数列法构造1：【形如,其中)型】 （1）若c=1时，数列为等差数列; （2）若d=0时，数列为等比数列;（3）若且时，数列为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设,得,与题设比较系数得， 所以：,即构成以为首项，以c为公比的等比数列.例9：已知数列的递推关系为，且求通项. 答案：构造2：相邻项的差为特殊数列例10：在数列中，求.提示：变为. 答案：构造3：倒数为特殊数列【形如】例11： 已知数列中且（），求数列的通项公式. 答案 构造4：例12：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。例13：已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边同除以，得，则，故时因此，则时也成立.评注：本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式，最后再求数列的通项公式。例14：已知数列满足，求数列的通项公式。解：上式两边同时除以得，令，则设，即，所以，故，因为，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，所以评注：符合形式的数列，可以两边同时除以，然后构造新的数列求通项公式.六、待定系数法：例15：设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通项公式cn解析：设 建立方程组，解得.点评：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前n项和公式为某一多项式，一般地，若数列为等差数列：则，（b、为常数），若数列为等比数列，则，.七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例16：（1）数列满足,且,求数列an的通项公式.解析：由题得 时， 由、得.（2）数列满足,且,求数列an的通项公式 答案（3）已知数列中，求通项. 答案八、数学归纳法例17 已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。评注：本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。九、【讨论法-了解】（1）若（d为常数），则数列为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分为奇数项和偶数项来讨论. （2）形如型若(p为常数)，则数列为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过逐差法得，两式相除后，分奇偶项来分求通项.例18： 数列满足,求数列an的通项公式. 答案：专题二：数列求和方法详解（六种方法）一、公式法 1、等差数列求和公式： 2、等比数列求和公式： 例1 已知，求的前n项和. 答案例2 设Sn1+2+3+n，nN*,求的最大值. 答案n8时，二、错位相减法方法简介：此法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例3 求和：()解析：由题可知，的通项是等差数列2n1的通项与等比数列的通项之积：设得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得：.试一试1：求数列前n项的和. 答案： 三、倒序相加法方法简介：这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个，然后再除以2得解.例4 求的值 . 答案S44.5四、分组法求和方法简介：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通项公式由通项公式确定如何分组；例5 求数列的前n项和：，答案.试一试1 求之和 .简析：由于与，分别求和.五、裂项法求和方法简介：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项及分母有理化）如：（1） ； （2）=；（3）；（4） （5） .例6 求数列的前n项和.例7 在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.试一试1：