高二数学导数中的恒成立问题专题学案(含答案)

既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 1 第第 讲讲 导数中的恒成立问题导数中的恒成立问题 时间 时间 年年 月月 日日 刘满江老师刘满江老师 学生签名 学生签名 一 一 兴趣导入兴趣导入 二 二 学前测试学前测试 1 1 函数函数在点在点处的导数的几何意义处的导数的几何意义 xfy 0 x 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率 相应的切线 xfy 0 x xfy 00 xfxP 方程是 2 2 几种常见函数的导数几种常见函数的导数 C n x sin x cos x x a x e log a x ln x 3 导数的运算法则导数的运算法则 1 2 3 uv uv u v 0 v 4 4 复合函数求导法则复合函数求导法则 复合函数的导数和函数的导数间的关系为 即对的 yf g x yf u ug x xux yyu yx 导数等于对的导数与对的导数的乘积 yuux 解题步骤 分层 层层求导 作积还原 5 5 函数的极值函数的极值 1 极值定义 极值是在附近所有的点 都有 则是函数的极 值 0 x xf 0 xf 0 xf xf 极值是在附近所有的点 都有 则是函数的极 值 0 x xf 0 xf 0 xf xf 2 判别方法 如果在附近的左侧 0 右侧 0 那么是极 值 0 x xf xf 0 xf 如果在附近的左侧 0 右侧 0 那么是极 值 0 x xf xf 0 xf 三 三 方法培养方法培养 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 2 一 单参数放在不等式上型 一 单参数放在不等式上型 例题 1 设函数 若对所有都有 求的取值范围 xx f xee 0 x f xax a 解 令 则 g xf xax xx g xfxaeea 1 若 当时 故在上为增函数 2a 0 x 20 xx g xeeaa g x 0 时 即 0 x 0 g xg f xax 2 若 方程的正根为 2a 0g x 2 1 4 ln 2 aa x 此时 若 则 故在该区间为减函数 1 0 xx 0g x g x 时 即 与题设相矛盾 1 0 xx 0 0g xg f xax f xax 综上 满足条件的的取值范围是 a 2 说明 上述方法是不等式放缩法 针对练习 1 设函数 当时 求的取值范围 2 1 x f xexax 0 x 0f x a 解 例题 2 设函数在及时取得极值 32 2338f xxaxbxc 1x 2x 1 求 的值 2 若对于任意的 都有成立 求的取值范围 ab 0 3 x 2 f xc c 解 1 2 663fxxaxb 函数在及取得极值 则有 f x1x 2x 1 0 f 2 0 f 即 解得 6630 24 1230 ab ab 3a 4b 2 由 1 可知 32 29128f xxxxc 2 618126 1 2 fxxxxx 当时 当时 当时 0 1 x 0fx 1 2 x 0fx 2 3 x 0fx 当时 取得极大值 又 1x f x 1 58fc 0 8fc 3 98fc 则当时 的最大值为 0 3 x f x 3 98fc 对于任意的 有恒成立 解得或 0 3 x 2 f xc 2 98cc 1c 9c 因此的取值范围为 c 1 9 最值法总结 区间给定情况下 转化为求函数在给定区间上的最值 针对练习 2 已知函数在处取得极值 其中 44 ln 0 f xaxxbxc x 1x 3c 为常数 abc 1 试确定 的值 2 讨论函数的单调区间 ab f x 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 3 3 若对任意 不等式恒成立 求的取值范围 0 x 2 2f xc c 解 针对练习 3 已知函数 其中 若在区间上 32 3 1 2 f xaxx xR 0a 1 1 2 2 恒成立 求的取值范围 0f x a 解 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 4 例题 3 已知函数 2 2 ln 1 1 x f xx x 1 求函数的单调区间 f x 2 若不等式对任意的都成立 其中是自然对数的底数 求的最大值 1 1 n ae n nN ea 解 1 函数的定义域是 f x 1 22 22 2ln 1 22 1 ln 1 2 1 1 1 xxxxxxx fx xxx 设 2 2 1 ln 1 2g xxxxx 则 令 则 2ln 1 2g xxx 2ln 1 2h xxx 22 2 11 x h x xx 当时 在上为增函数 10 x 0h x h x 1 0 当时 在上为减函数 在处取得极大值 0 x 0h x h x 0 h x0 x 而 函数在上为减函数 0 0h 0 0 g xx g x 1 于是当时 当时 10 x 0 0g xg 0 x 0 0g xg 当时 在上为增函数 10 x 0 fx f x 1 0 当时 在上为减函数 0 x 0fx f x 0 故函数的单调递增区间为 单调递减区间为 f x 1 0 0 2 不等式等价于不等式 由知 1 1 n ae n 1 ln 1 1na n 1 11 n 设 则 1 1 ln 1 an n 11 ln 1 G x xx 0 1 x 22 2222 11 1 ln 1 1 ln 1 1 ln 1 xxx G x xxxxxx 由 1 知 即 2 2 ln 1 0 1 x x x 22 1 ln 1 0 xxx 于是在上为减函数 0G x 0 1 x G x 0 1 故函数在上的最小值为 a 的最大值为 G x 0 1 1 1 1 ln2 G 1 1 ln2 小结 解决此类问题用的是恒成立问题的变量分离的方法 此类方法的解题步骤是 分离变量 构 造 函数 非变量一方 对所构造的函数求最值 一般需要求导数 有时还需求两次导数 写出 变 量的取值范围 针对练习 4 已知 若 求的取值范围 1 ln1f xxxx 2 1xfxxax a 解 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 5 针对练习 5 若对所有的都有成立 求实数的取值范围 xe lnxxaxa a 解 二 单参数放在区间上型 二 单参数放在区间上型 例题 4 已知三次函数图象上点处的切线经过点 并且在 32 5f xaxxcxd 1 8 3 0 xf 处有极值 3x 1 求的解析式 2 当时 恒成立 求实数的取值范围 xf 0 xm 0f x m 解 1 2 310fxaxxc 1 310fac 于是过点处的切线为 1 8 8 310 1 yac x 又切线经过点 3 0 360ac 在处有极值 xf3x 3 27300fac 又 1 58facd 由 解得 1a 3c 9d 32 539f xxxx 2 由得 2 3103 31 3 fxxxxx 0fx 1 1 3 x 2 3x 当时 单调递增 1 0 3 x 0fx f x 0 9f xf 当时 单调递减 1 3 3 x 0fx f x 3 0f xf 当时 在内不恒成立 当且仅当时 在内恒3m 0f x 0 m 0 3 m 0f x 0 m 成立 的取值范围为 m 0 3 针对练习 6 07 陕西文 已知在区间上是增函数 在区间 cxbxaxxf 23 0 1 0 1 上是减函数 又 13 22 f 1 求的解析式 2 若在区间上恒有成立 求的取值范围 xf 0 0 mm f xx m 解 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 6 三 双参数中知道其中一个参数的范围型 三 双参数中知道其中一个参数的范围型 例题 5 已知函数 其中 0 a f xxb x x abR 1 讨论函数的单调性 f x 2 若对于任意的 不等式在上恒成立 求的取值范围 1 2 2 a 10f x 1 1 4 b 解 1 2 1 a fx x 当时 显然 这时在 上内是增函数 0a 0 0 fxx f x 0 0 当时 令 解得 0a 0fx xa 当变化时 的变化情况如下表 x fx f x 在 内是增函数 在 内是减函数 f x a a 0 a 0 2 法一 化归为最值 由 2 知 在上的最大值为与的较大者 对于任意的 不等 f x 1 1 4 1 4 f 1 f 1 2 2 a 式 在上恒成立 当且仅当 即 对成立 0 1 f x 1 1 4 10 1 1 4 10 f f 39 4 4 9 a ba b 1 2 2 a 从而得 满足条件的的取值范围是 7 4 b b 7 4 法二 变量分离 即 10f x 10 a bx x min 10 a bx x 令 10 a g xx x 2 22 10 axa g x xx 在上递减 最小值为 g x 1 1 4 g x 139397 44 2 4444 ga 从而得 满足条件的的取值范围是 7 4 b b 7 4 x a a 0 a 0 aa a fx 0 0 f x 极大值 极小值 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 7 或用 即 进一步分离变量得 2 10 axb x 2 10 2xb x 2 10 bx x 利用导数可以得到在时取得最小值 2 10 x x 1 4 x 7 4 从而得 满足条件的的取值范围是 7 4 b b 7 4 法三 变更主元 在上恒成立 即 10f x 1 1 4 10 a xb x 100 a axb x 在递增 即的最大值为 1 1 4 x a 1 2 2 a 2 2 100 xb x 以下同上法 说明 本题是在对于任意的 在上恒成立相当于两次恒成立 这样的题 往往 2 2 a 1f x 1 1 先保证一个恒成立 在此基础上 再保证另一个恒成立 4 4 强化练习强化练习 A 1 已知函数对任意 mxfxfxx 0 1 2121 不等式 恒成立 2 39 24 f xxx 试求 m 的取值范围 五 训练辅导五 训练辅导 双参数中的范围均未知型 双参数中的范围均未知型 例题 7 10 湖南理 已知函数 对任意的 恒有 2 f xxbxc b cR xR fxf x 1 证明 当时 0 x 2 f xxc 2 若对满足题设条件的任意 不等式恒成立 求的最小值 bc 22 f cf bM cb M 解 1 易知 由题设 对任意的 即 2fxxb xR 2 2xbxbxc 恒成立 从而 2 2 0 xbxcb 2 2 4 0bcb 2 1 4 b c 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 8 于是 且 因此 1c 2 21 4 b c b2 0cbccb 故当时 有 即当时 0 x 2 2 1 0 xcf xcb xc c 0 x 2 f xxc 2 由 1 知 c b 当时 有 c b 222 2222 2f cf bcbbcbcb M cbcbbc 令 则 而函数的值域是 b t c 11t 21 2 1 cb bct 1 2 11 1 g tt t 3 2 因此 当时 的取值集合为 c bM 3 2 当时 由 1 知 此时或 c b2b 2c 8f cf b 0 22 0cb 从而恒成立 综上所述 的最小值为 22 3 2 f cf bcb M 3 2 针对练习 8 若图象上斜率为 3 的两切线间的距离为 设 3 2 x f x a 2 10 5 2 2 3 3 bx g xf x a 1 若函数在处有极值 求的解析式 xg1 x g x 2 若函数在区间上为增函数 且在区间上都成立 求实数 xg 1 1 2 4 bmbg x 1 1 的取值范围 m 解 六 六 家庭作业布置 家庭作业布置 家长签字 请您先检查确认孩子的作业完成后再签字 既然选择了远方 就必须风雨兼程 摒弃侥幸之念 必取百炼成钢 厚积分秒之功 始得一鸣惊人 9 附件 堂堂清落地训练附件 堂堂清落地训练 坚持堂堂清 学习很爽心 坚持堂堂清 学习很爽心 1 双参数中的绝对值存在型 双参数中的绝对值存在型 1 设是函数的一个极值点 3x 23 x f xxaxb exR 1 求与的关系式 用表示 并求的单调区间 abab f x 2 设 若存在 使得成立 求的0a 2 25 4 x g xae 1 2 0 4 12 fg 1 a 取值范围 解 1 由 得 23 2 x fxxaxba e 3 0 f 23 3 3 2 3 0aba e 即得 则 32ba 233 2 33 3 1 xx fxxaxa exxae 令 得或 由于是极值点 即 0fx 1 3x 2 1xa 3x 12 xx 4a 当时 则在区间上 为减函数 4a 21 3xx 3 0fx f x 在区间上 为增函数 3 1 a 0fx f x 在区间上 为减函数 1 a 0fx f x 当时 则在区间上 为减函数 4a 21 3xx 1 a 0fx f x 在区间上 为增函数 1 3 a 0fx f x 在区间上 为减函数 3 0fx f x 2 由 1 知 当时 在区间上的单调递增 在区间上单调递0a 10a f x 0 3 3 4 减 那么在区间上的值域是 f x 0 4 min 0 4 3 fff 而 3 0 23 0fae 1 4 213 0fae 3 6fa 那么在区