高中数学第二章1椭圆的标准方程学案新人教选修.docx

2.2.1椭圆的标准方程1理解椭圆的定义2掌握椭圆的标准方程的定义1椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的_等于常数(_)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个_叫做椭圆的焦点，_的距离叫做椭圆的焦距在椭圆的定义中，(1)当常数等于|F1F2|时，动点的轨迹是线段F1F2.(2)当常数小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在【做一做11】到两定点F1(5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点M的轨迹是()A椭圆 B线段C圆 D以上都不对【做一做12】已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1，F2的距离之和等于10，且椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3，则点Q到焦点F2的距离为()A2 B3C5 D72椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程_焦点坐标_a，b，c的关系_由求椭圆的标准方程的过程可知：只有当椭圆的两个焦点都在坐标轴上，且关于原点对称时，才能得到椭圆的标准方程反之亦成立【做一做2】椭圆1的焦点坐标为_1椭圆的定义剖析：(1)用集合语言叙述为：点集PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|；(2)在椭圆的定义中，若定长不大于|F1F2|，则动点轨迹不是椭圆如：动点P到两定点F1(1,0)和F2(1,0)的距离之和为1.此时定长1小于|F1F2|，由平面几何知识知这样的点不存在2椭圆的标准方程剖析：1(ab0)为椭圆的标准方程，其焦点在x轴上，焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，且a，b，c满足a2b2c2.当焦点在y轴上时，标准方程为1(ab0)，焦点为F1(0，c)，F2(0，c)，且a，b，c满足a2b2c2(当且仅当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才是标准形式)在椭圆的标准方程中，a表示椭圆上的点M到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆，a，b，c恰构成一个直角三角形的三条边，都是正数，a是斜边，所以ab，ac且a2b2c2，其中c是焦距的一半，叫做半焦距方程Ax2By2C(A，B，C均不为0)可化为1，即1.只有A，B，C同号，且AB时，方程表示椭圆当时，椭圆的焦点在x轴上；当时，椭圆的焦点在y轴上题型一 利用椭圆的定义解题【例1】设定点F1(0，3)，F2(0,3)，动点P(x，y)满足条件|PF1|PF2|a(a0)，则动点P的轨迹为()A椭圆 B线段C椭圆或线段或不存在 D不存在反思：凡涉及动点到两定点距离和的问题，首先要考虑它是否满足椭圆的定义|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)，再确定其轨迹一定要注意2a与两定点间距离的大小关系题型二 求椭圆的标准方程【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；(3)经过点P(2，1)，Q(，2)分析：应用待定系数法求椭圆的标准方程，注意“定位”与“定量”的确定反思：(1)椭圆的焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点时，椭圆的方程是标准的(2)求椭圆的标准方程分两步：求出a2，b2的值；确定焦点所在的坐标轴，写出椭圆的标准方程(3)已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0，且mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的坐标轴题型三 与椭圆有关的轨迹问题【例3】若一个动点P(x，y)到两个定点A(1,0)，A(1,0)的距离和为定值m，试求点P的轨迹方程分析：|PA|PA|m，|AA|2，|PA|PA|AA|，m2，然后分m2和m2两种情况来讨论，即可求轨迹方程反思：在求动点的轨迹方程时，要对动点仔细分析，当发现动点到两定点的距离之和为定值且大于两定点之间的距离时，由椭圆的定义知其轨迹是椭圆，然后写出其方程，这种求轨迹方程的方法叫定义法题型四 易错题型【例4】若方程1表示椭圆，求k的取值范围错解：由题意知，得3k5.错因分析：错解中没有注意椭圆方程中的ab0这一条件，当ab时，方程并不表示椭圆反思：解椭圆的标准方程等相关问题时，常见的误区有：(1)忽略定义中的条件2a|F1F2|；(2)在没有明确椭圆焦点位置的情况下，椭圆的标准方程可能有两个；(3)忽略标准方程中ab0这一条件1到两定点F1(0,4)，F2(0，4)的距离之和为6的点M的轨迹是()A椭圆B线段C椭圆或线段或不存在D不存在2焦点在x轴上，且过点(5,0)和(0,3)的椭圆的标准方程为_3如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是_4已知B，C是两个定点，|BC|4，且ABC的周长等于10，则三角形的顶点A的轨迹方程为_5已知点P在椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5,3，过P且与焦点所在的坐标轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的标准方程答案：基础知识梳理1距离的和大于|F1F2|定点两焦点【做一做11】B由题意可知：|MF1|MF2|10|F1F2|，故点M的轨迹是线段F1F2.【做一做12】D由椭圆的定义得：点Q到另一个焦点的距离为1037.21(ab0)1(ab0)F1(c，0)F2(c，0)F1(0，c)F2(0，c)a2b2c2a2b2c2【做一做2】(0，)，(0，)由椭圆的方程知焦点在y轴上，故a29，b24，c25.所以焦点坐标为(0，)，(0，)典型例题领悟【例1】C比较常数a与|F1F2|的大小可知动点P的轨迹当a6时，轨迹不存在；当a6时，轨迹为线段；当a6时，轨迹为椭圆【例2】解：(1)由于椭圆的焦点在x轴上，设它的标准方程为1(ab0)2a10.a5.又c4，b2a2c225169.故所求椭圆的标准方程为1.(2)由于椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为1(ab0)由于椭圆经过点(0,2)和(1,0)，故所求椭圆的标准方程为x21.(3)设椭圆的标准方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)，点P(2，1)，Q(，2)在椭圆上，代入上述方程得解得故所求椭圆的标准方程为1.【例3】解：|PA|PA|m，|AA|2，|PA|PA|AA|，m2.(1)当m2时，点P的轨迹是线段AA，其方程为y0(1x1)(2)当m2时，由椭圆的定义知，点P的轨迹是以A，A为焦点的椭圆2c2，2am，a，c1，b2a2c21.点P的轨迹方程为1.【例4】正解：由题意知，3k4或4k5.随堂练习巩固1D|MF1|MF2|6|F1F2|8，轨迹不存在2130k1方程可化为1，焦点在y轴上，则0k1.41(y0)以过B，C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，如图所示，由|BC|4，可知B(2,0)，C(2,0)，由|AB|AC|BC|10，可知|AB|AC|6|BC|4，因此点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a6，但A不在x轴上，由a3，c2得b2a2c2945.所以点A的轨迹方程